一.為什么需要離散小波變換

連續(xù)小波分解，通過改變分析窗口大小，在時域上移動窗口和基信號相乘，最后在全時域上整合。通過離散化連續(xù)小波分解可以得到偽離散小波分解， 這種離散化帶有大量冗余信息且計算成本較高。

小波變換的公式如下：

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通過下面步驟即可得到不同尺度下的小波變換。

二.離散小波變換

我們將小波的尺度和平移參數(shù)以2的指數(shù)冪的形式進行變換，我們可以得到一串不同的小波。這些子小波的尺度參數(shù)以2的j次方的形式增長。當使用這一系列的子小波，對一個連續(xù)函數(shù)進行離散分析時，我們所獲得的是一組小波分析的系數(shù)，這個分析過程稱為**小波系列分解**。而高尺度小波代表著低頻信息，小尺度的小波代表著高頻信息。因此如下圖所示，不同尺度的小波來實現(xiàn)頻率上的覆蓋。

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因此我們可以理解，為什么離散小波變換可以等效為通過一個高通和低通濾波器。

更直觀的可以用下面的圖片來表示。

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三.直觀意義

當我們懂了上面的內(nèi)容，再來看看小波變換的過程，是否能有了以下體會。

小波分解的多尺度可以類比為我們使用不同的“放大鏡”去觀察一個物體。想象一下你手里有一張非常復雜的畫，畫面上有大的物體，如山脈、樹木，但也有非常細小的細節(jié)，如葉子上的紋理或昆蟲的觸角。
粗尺度（低分辨率） ：當你使用低倍的放大鏡（或者站得很遠）去看這幅畫時，你可以看到大的物體，如山脈和樹木，但可能看不到細小的紋理或昆蟲。在小波分解中，這就像我們查看信號的低頻部分，捕獲其主要的、寬泛的特征。
細尺度（高分辨率） ：現(xiàn)在，如果你換一個高倍的放大鏡（或者走近一些）去看同一幅畫，你可能會失去對整體的感知，但可以清晰地看到葉子上的紋理或昆蟲的觸角等細節(jié)。在小波分解中，這就像我們查看信號的高頻部分，捕獲其細節(jié)和快速的變化。
小波分解的美妙之處在于，它同時提供了多個尺度的視角，讓我們既可以看到信號的整體特征，又可以看到其細節(jié)。這就像我們可以同時擁有多個不同倍率的放大鏡，讓我們在需要的時候選擇合適的一個來觀察畫面。

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四.小波變換實現(xiàn)分解和重構(gòu)。

如圖a是帶有噪聲的信號，經(jīng)過4層小波變換得到的變換后的先后如下。

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代碼如下所示：

%% 1.生成仿真信號
Fs = 1000; % 采樣頻率
t = 0:1/Fs:1-1/Fs; % 時間向量
% 創(chuàng)建一個合成信號：包含不同頻率的正弦波、趨勢和噪聲
signal = cos(2*pi*10*t) + 0.5*sin(2*pi*50*t) + t + 0.5*randn(size(t));
figure('color','white')
subplot(3,2,1)
%%  2.繪制DWT分解圖
subplot(6,1,1);
plot(signal)
ylabel(['a']);
[C,L] = wavedec(signal,4,waveletType);
for i=1:4a = wrcoef('a',C,L,waveletType,5-i);subplot(6,1,i+1);plot(a);ylabel(['a',num2str(5-i)]);
end

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