第一章 數(shù)值分析與科學(xué)計(jì)算導(dǎo)引

1.1 數(shù)值分析的對象、作用與特點(diǎn)

數(shù)值分析是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，以下是關(guān)于其對象、作用與特點(diǎn)的具體介紹：

數(shù)值分析的對象

數(shù)值分析主要研究的是如何利用計(jì)算機(jī)等工具，對各種數(shù)學(xué)問題進(jìn)行數(shù)值求解。具體來說，其對象包括以下幾類：

• 方程求解：涵蓋代數(shù)方程和微分方程等。例如，求解一元二次方程(ax^{2}+bx + c = 0)的根，或者求解描述物理過程的偏微分方程，如熱傳導(dǎo)方程、波動方程等。
• 數(shù)值逼近：對于一些復(fù)雜的函數(shù)，難以直接進(jìn)行計(jì)算和處理，需要用簡單的函數(shù)（如多項(xiàng)式函數(shù)、三角函數(shù)等）來逼近。比如在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，用多項(xiàng)式曲線來逼近復(fù)雜的圖形輪廓。
• 數(shù)值積分與微分：計(jì)算定積分的值以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的數(shù)值近似。在物理中計(jì)算物體的質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量等問題時(shí)，常需要進(jìn)行數(shù)值積分；在分析信號的變化率等問題時(shí)，需要數(shù)值微分。
• 線性代數(shù)問題：像求解線性方程組(Ax = b)，其中(A)是系數(shù)矩陣，(x)是未知數(shù)向量，(b)是常數(shù)向量；以及求矩陣的特征值和特征向量等問題。在結(jié)構(gòu)力學(xué)、電路分析等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。

數(shù)值分析的作用

• 科學(xué)研究：在物理學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)等學(xué)科中，許多問題無法得到精確的解析解，數(shù)值分析提供了一種有效的求解途徑。比如在計(jì)算天體力學(xué)中行星的軌道時(shí)，通過數(shù)值方法可以得到滿足一定精度要求的軌道數(shù)據(jù)。
• 工程技術(shù)：在航空航天、機(jī)械制造、電子工程等領(lǐng)域，數(shù)值分析用于設(shè)計(jì)和優(yōu)化。例如在飛機(jī)機(jī)翼的設(shè)計(jì)中，通過數(shù)值模擬計(jì)算氣流在機(jī)翼表面的流動情況，以優(yōu)化機(jī)翼的形狀和結(jié)構(gòu)。
• 經(jīng)濟(jì)金融：用于風(fēng)險(xiǎn)評估、投資組合優(yōu)化、期權(quán)定價(jià)等。如利用數(shù)值方法求解布萊克-斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型，為金融市場的交易和風(fēng)險(xiǎn)管理提供重要依據(jù)。
• 數(shù)據(jù)分析與處理：在大數(shù)據(jù)時(shí)代，數(shù)值分析在數(shù)據(jù)擬合、數(shù)據(jù)插值、數(shù)據(jù)壓縮等方面發(fā)揮著重要作用。例如在氣象數(shù)據(jù)處理中，通過數(shù)值方法對離散的氣象觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行插值和擬合，得到連續(xù)的氣象場分布。

數(shù)值分析的特點(diǎn)

• 近似性：由于計(jì)算機(jī)的字長有限等原因，數(shù)值分析得到的結(jié)果通常是近似解。例如對無理數(shù)(\pi)，在計(jì)算機(jī)中只能用有限位小數(shù)來表示，計(jì)算結(jié)果必然存在一定的誤差。
• 遞推性：很多數(shù)值算法都采用遞推的方式進(jìn)行計(jì)算，通過已知的結(jié)果逐步推出后續(xù)的結(jié)果。如在計(jì)算斐波那契數(shù)列時(shí)，利用(F(n)=F(n - 1)+F(n - 2))的遞推關(guān)系，從初始值(F(0)=0)，(F(1)=1)開始逐步計(jì)算出后續(xù)的項(xiàng)。
• 穩(wěn)定性：數(shù)值算法的穩(wěn)定性至關(guān)重要，如果一個(gè)算法在計(jì)算過程中對初始數(shù)據(jù)的微小擾動非常敏感，導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)很大偏差，那么這個(gè)算法就是不穩(wěn)定的。例如在求解線性方程組時(shí)，有的算法可能因?yàn)橄禂?shù)矩陣的某些特性而出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定的情況。
• 高效性：需要在有限的時(shí)間和計(jì)算資源下得到滿足精度要求的結(jié)果。因此，設(shè)計(jì)高效的算法是數(shù)值分析的重要任務(wù)之一。比如在矩陣乘法中，Strassen算法通過分治思想，減少了乘法運(yùn)算的次數(shù)，提高了計(jì)算效率。

1.2 數(shù)值計(jì)算的誤差

誤差分類

誤差與有效數(shù)字

絕對誤差：簡稱誤差,設(shè)$x$為準(zhǔn)確值，$x^{?}$為$x$的一個(gè)近似值,稱$e^{?}=x^{?}?x$為絕對誤差。
絕對誤差限：$|e^{?}|=|x^{?}?x|??(x^{?})$,$?(x^{?})$稱絕對誤差限。
相對誤差：$e_r^{?}=\frac{x^{?}?x}{x^{?}}=\frac{e^{?}}{x^{?}}$
相對誤差限：$|{?}_r(x^{?})|=|\frac{?(x^{?})}{x^{?}}$|
有效數(shù)字：若近似值$x^{?}$的誤差限是一位的半個(gè)單位，該位到$x^{?}$的第一位非零數(shù)字共$n$位，就說$x^{?}$有$n$位有效數(shù)字。
相對誤差比值：$|\frac{x{f}^{{}^{\prime }}}{f}|$

• 容易得到以下定理：

1. 四舍五入得到的數(shù)據(jù)，其有效位數(shù)的確定方法如下：從左邊第一個(gè)非零數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字，包括$0$，都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。
2. 設(shè)近似數(shù)$x^{?}$表示為：
   $$x^{?}=\pm 10^m(\sum _{i=1}^l{a}_i\times 10^{?l+1})$$
   且$x^{?}$具有$n$位有效數(shù)字，則其相對誤差限滿足以下關(guān)系：${?}_r(x^{?})?\frac{1}{2a_1}\times 10^{?(n?1)}$。
3. ${?}_r(x^{?})?\frac{1}{2(a_1+1)}\times 10^{?(n?1)}$,則$x^{?}$至少具有$n$位有效數(shù)字。

數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)

$$?(\sum _{i=1}^n(\pm )x_i^{?})?\sum _{i=1}^n?(x_i^{?})$$
$$?(\prod _{i=1}^n{x}_i^{?})?\sum _{j=1}^n(?(x_j^{?})\prod _{i=1,i\ne j}^n|x_i^{?}|)$$
$${?}_{(}f(x^{?}))=|\frac{df(x^{?})}{dx}|?(x^{?})$$
$$?(f(x^{?},y^{?}))\approx \sqrt{{\left(\frac{?f}{?x}\right)}^2{?}^2(x^{?})+{\left(\frac{?f}{?y}\right)}^2{?}^2(y^{?})}$$

1.3 算法舉例

秦九韶算法求多項(xiàng)式值

開根號迭代算法

牛頓切線

加權(quán)平均的松弛技術(shù)