4.5.1 范數(shù)與權(quán)重衰減

整節(jié)理論，詳見書本。

4.5.2 高維線性回歸

%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

# 生成一些數(shù)據(jù)，為了使過擬合效果更明顯，將維數(shù)增加到 200 并使用一個只包含 20 個樣本的小訓(xùn)練集。
n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05  # 設(shè)置真實參數(shù)
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

4.5.3 從零開始實現(xiàn)

1. 初始化模型參數(shù)

def init_params():w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)b = torch.zeros(1, requires_grad=True)return [w, b]

2. 定義 $L_2$ 范數(shù)懲罰

def l2_penalty(w):return torch.sum(w.pow(2)) / 2

3. 定義訓(xùn)練代碼實現(xiàn)

   損失函數(shù)直接通過 d2l 包導(dǎo)入，損失包含了懲罰項。

def train(lambd):w, b = init_params()net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_lossnum_epochs, lr = 100, 0.003animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])for epoch in range(num_epochs):for X, y in train_iter:# 增加了L2范數(shù)懲罰項，# 廣播機制使l2_penalty(w)成為一個長度為batch_size的向量l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)l.sum().backward()d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)if (epoch + 1) % 5 == 0:animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print('w的L2范數(shù)是：', torch.norm(w).item())

4. 忽略正則化直接訓(xùn)練

train(lambd=0)

w的L2范數(shù)是： 14.042692184448242

5. 使用權(quán)重衰減

train(lambd=3)

w的L2范數(shù)是： 0.35160931944847107

4.5.4 簡潔實現(xiàn)

def train_concise(wd):net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))for param in net.parameters():param.data.normal_()loss = nn.MSELoss(reduction='none')num_epochs, lr = 100, 0.003trainer = torch.optim.SGD([{"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},  # PyTorch默認同時衰減權(quán)重和偏置，此處使用 weight_decay指定僅權(quán)重衰減{"params":net[0].bias}], lr=lr)animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])for epoch in range(num_epochs):for X, y in train_iter:trainer.zero_grad()l = loss(net(X), y)l.mean().backward()trainer.step()if (epoch + 1) % 5 == 0:animator.add(epoch + 1,(d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print('w的L2范數(shù)：', net[0].weight.norm().item())

train_concise(0)

w的L2范數(shù)： 12.836501121520996

train_concise(3)

w的L2范數(shù)： 0.3978956639766693

練習(xí)

（1）在本節(jié)的估計問題中使用 $\lambda$ 的值進行實驗。繪制訓(xùn)練精度和測試精度有關(guān) $\lambda$ 的函數(shù)圖，可以觀察到什么？

隨著 $\lambda$ 的增大可以改善過擬合的現(xiàn)象，但是 $\lambda$ 過大也會影響收斂。

for i in (0, 2, 8, 32, 128, 256):train_concise(i)

w的L2范數(shù)： 0.008308843709528446

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（2）使用驗證集來找最優(yōu)值 $\lambda$。它真的是最優(yōu)值嗎？

不至于說是最優(yōu)的，畢竟再怎么樣驗證集也和訓(xùn)練集分布有些許區(qū)別，只能說是比較接近最優(yōu)值。

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（3）如果我們使用 ${\sum }_i|w_i|$ 作為我們選擇的懲罰（$L_1$正則化），那么更新的公式會是什么樣子？

如果使用 $L_1$ 正則化則最小化預(yù)測損失和懲罰項之和為：

$$LR(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}^{(i)}+b?y^{(i)}{)}^2+\lambda \sum _{i=1}^n|w_i|$$

$L_1$ 范數(shù)有求導(dǎo)問題，在此，規(guī)定在不可導(dǎo)點 $x=0$ 的導(dǎo)數(shù)為 0，則：

$$\mathbf{w}\leftarrow \mathbf{w}?\eta \frac{?LR(\mathbf{w},b)}{?\mathbf{w}}=\mathbf{w}?\frac{\eta }{|B|}\sum _{i\in B}{\mathbf{x}}^{(i)}({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}^{(i)}+b?y^{(i)})?\lambda \eta \text{sign}(\mathbf{w})$$

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（4）我們知道 $||\mathbf{w}|{|}^2={\mathbf{w}}^T\mathbf{w}$。能找到類似的矩陣方程嗎？（見 2.3.10 節(jié)中的弗羅貝尼烏斯范數(shù)）

弗羅貝尼烏斯范數(shù)時矩陣元素平方和的平方根：

$$||\mathbf{X}|{|}_F=\sqrt{\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{x}_{ij}^2}$$

和L2范數(shù)的平方相似，弗羅貝尼烏斯范數(shù)的平方：

$$||\mathbf{X}|{|}_F^2={\mathbf{X}}^T\mathbf{X}$$

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（5）回顧訓(xùn)練誤差和泛化誤差之間的關(guān)系。除了權(quán)重衰減、增加訓(xùn)練數(shù)據(jù)、使用適當(dāng)復(fù)雜度的模型，還有其他方法來處理過擬合嗎？

Dropout暫退法、多種模型組合等

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（6）在貝葉斯統(tǒng)計中，我們使用先驗和似然的乘積，通過公式 $P(w|x)\propto P(x|w)P(w)$ 得到后驗。如何得到正則化的 $P(w)$？

以下參見王木頭大佬的視頻《貝葉斯解釋“L1和L2正則化”，本質(zhì)上是最大后驗估計。如何深入理解貝葉斯公式？》

使用最大后驗估計，令：

$$\begin{array}{rl}w& =\underset{w}{\mathrm{argmax}}P(w|x)\\ & =\underset{w}{\mathrm{argmax}}\frac{P(x|w)}{P(x)}?P(w)\\ & =\underset{w}{\mathrm{argmax}}P(x|w)?P(w)\\ & =\underset{w}{\mathrm{argmax}}\log (P(x|w)?P(w))\\ & =\underset{w}{\mathrm{argmax}}(\log P(x|w)+\log P(w))\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$

其中：

• $(2)?(3)$ 是由于分母 $P(x)$ 是與 $w$ 無關(guān)的常數(shù)，故可以忽略。
• $(3)?(4)$ 是由于習(xí)慣上添加 $\log$ 運算。

$P(w)$ 作為先驗概率可以任取

• 如果取高斯分布 $w～\mathrm{N}(0,{\sigma }^2)$，則出現(xiàn) $L_2$ 正則化：

$$\begin{array}{rl}\log P(w)& =\log \prod _i\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{(w_i?0{)}^2}{2{\sigma }^2}}\\ & =?\frac{1}{2{\sigma }^2}\sum _i{w}_i^2+C\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$

• 如果取拉普拉斯分布 $w～\mathrm{Laplace}(0,b)$，則出現(xiàn) $L_1$ 正則化：

$$\begin{array}{rl}\log P(w)& =\log \prod _i\frac{1}{2b}{e}^{?\frac{|w_i?0|}{b}}\\ & =?\frac{1}{b}\sum _i|w_i|+C\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$

太奇妙了！