信號(hào)與線性系統(tǒng)翻轉(zhuǎn)課堂筆記12

The Flipped Classroom12 of Signals and Linear Systems

對(duì)應(yīng)教材：《信號(hào)與線性系統(tǒng)分析（第五版）》高等教育出版社，吳大正著

一、要點(diǎn)

（1）了解信號(hào)取樣的概念；
（2，重點(diǎn)）理想取樣信號(hào)及其頻譜：能利用頻域方法，熟練分析理想取樣過程及其頻譜，掌握理想取樣頻譜的特點(diǎn)，與原信號(hào)頻譜的關(guān)系以及取樣信號(hào)頻譜不發(fā)生混疊的條件；
（3）了解矩形脈沖取樣過程及其頻譜特點(diǎn)、不發(fā)生混疊的條件；
（4）由取樣信號(hào)重構(gòu)原信號(hào)的原理和方法：能夠分別在時(shí)域和頻域熟練分析采用理想低通濾波器進(jìn)行重構(gòu)的過程；
（5，重點(diǎn)）了解時(shí)域取樣定理，能夠基于時(shí)域取樣定理熟練分析信號(hào)取樣的奈奎斯特頻率。

二、問題與解答

（1*）采用理想取樣的方式對(duì)信號(hào)f(t)進(jìn)行取樣，所得取樣信號(hào)的頻譜與f(t)的頻譜有何種聯(lián)系？請(qǐng)基于頻域卷積定理進(jìn)行分析（要求畫出f(t)、取樣脈沖序列、取樣信號(hào)的頻譜）。這種取樣過程滿足什么條件時(shí)，取樣信號(hào)的頻譜不會(huì)發(fā)生混疊？
（2*）由于理想取樣的周期沖激序列是不可實(shí)現(xiàn)的，實(shí)際應(yīng)用中通常采用周期矩形脈沖進(jìn)行取樣，當(dāng)采用周期矩形脈沖進(jìn)行取樣時(shí)，與理想取樣相比，取樣信號(hào)的頻譜會(huì)有何不同？頻譜有無混疊的條件會(huì)不會(huì)發(fā)生改變？請(qǐng)基于頻域卷積定理，參考教材圖4.9-4進(jìn)行分析。

（3）在取樣信號(hào)頻譜無混疊的條件下，欲由取樣信號(hào)重構(gòu)f(t)，可以采用一個(gè)理想低通濾波器（重構(gòu)濾波器）對(duì)取樣信號(hào)進(jìn)行濾波。該重構(gòu)濾波器的截止頻率應(yīng)該在哪個(gè)范圍內(nèi)取值？圖1是這種重構(gòu)過程的頻域和時(shí)域分析示意圖。請(qǐng)針對(duì)此圖，根據(jù)自己的理解，敘述時(shí)域和頻域重構(gòu)的基本原理，并結(jié)合教材式（4.9-12）和圖1(d)-(f)，說明為什么把"Sa"(t)稱為取樣（樣本）信號(hào)？

圖1 無混疊條件下由理想取樣信號(hào)重構(gòu)原信號(hào)的頻域和時(shí)域圖解
（4*）圖2(a)、(b)分別給出了無混疊和有混疊取樣和重構(gòu)的仿真結(jié)果。請(qǐng)基于信號(hào)取樣與重建過程的原理，分析為什么對(duì)于兩個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)進(jìn)行取樣，所恢復(fù)的卻是相同頻率（1kHz）的正弦信號(hào)？給出詳細(xì)的分析思路和過程（重點(diǎn)針對(duì)有混疊的情形進(jìn)行分析）。

圖2（a）無混疊取樣

圖2（b）有混疊取樣
（5）針對(duì)第（4）題有混疊取樣的結(jié)果，討論：在實(shí)際工程應(yīng)用中為什么對(duì)信號(hào)進(jìn)行取樣之前，往往需要先采用一個(gè)抗混疊濾波器對(duì)待取樣的信號(hào)進(jìn)行濾波（即如果不這樣做，可能會(huì)有什么后果）？這種抗混疊濾波器是什么類型（低通、高通、帶通等）的濾波器？其截止頻率應(yīng)如何選擇？
（6*）分析習(xí)題4.48？請(qǐng)給出必要的分析過程和結(jié)果。
4.48、有限頻帶信號(hào)f(t)的最高頻率為100Hz，若對(duì)下列信號(hào)進(jìn)行時(shí)域采樣，求最小取樣頻率f_s。
a、f(3t)
b、f^2(t)
c、f(t)*f(2t)
d、f(t)+f^2(t)

（7）設(shè)某帶通信號(hào)f(t)的頻譜F(jω)如圖3所示，以采樣頻率ω_s=2rad/s對(duì)該信號(hào)進(jìn)行時(shí)域取樣，再用截止頻率ω_s=1rad/s的理想低通濾波器對(duì)取樣信號(hào)進(jìn)行濾波，請(qǐng)分別分析取樣信號(hào)和濾波輸出信號(hào)的頻譜。

圖3 帶通信號(hào)f(t)的頻譜

1、理想取樣的頻譜混疊

采用理想取樣的方式對(duì)信號(hào)f(t)進(jìn)行取樣，所得取樣信號(hào)的頻譜與f(t)的頻譜有何種聯(lián)系？請(qǐng)基于頻域卷積定理進(jìn)行分析（要求畫出f(t)、取樣脈沖序列、取樣信號(hào)的頻譜）。這種取樣過程滿足什么條件時(shí)，取樣信號(hào)的頻譜不會(huì)發(fā)生混疊？

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所得取樣信號(hào)的頻譜是f(t)頻譜等幅周期性延拓，幅度值相差1/Ts。

當(dāng)采樣頻率（f_s）大于2倍的信號(hào)最高頻率（f_m）時(shí)，不會(huì)發(fā)生混疊。

2、周期矩形脈沖取樣

由于理想取樣的周期沖激序列是不可實(shí)現(xiàn)的，實(shí)際應(yīng)用中通常采用周期矩形脈沖進(jìn)行取樣，當(dāng)采用周期矩形脈沖進(jìn)行取樣時(shí)，與理想取樣相比，取樣信號(hào)的頻譜會(huì)有何不同？（第一問）頻譜有無混疊的條件會(huì)不會(huì)發(fā)生改變？（第二問）請(qǐng)基于頻域卷積定理，參考教材圖4.9-4進(jìn)行分析。

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（1）
F(jw)同樣是以ws為周期對(duì)F(jw)的延拓，只是該周期延拓不是等幅的(幅度包絡(luò)為取樣信號(hào))；
n= 0時(shí), Fs (jw)=τF (jw )/Ts,包含原信號(hào)的全部信息，幅度差r/T倍。
（2）
頻譜有無混疊的條件不會(huì)發(fā)生改變，仍然為f_s>2f_m。

3、信號(hào)重構(gòu)濾波器

在取樣信號(hào)頻譜無混疊的條件下，欲由取樣信號(hào)重構(gòu)f(t)，可以采用一個(gè)理想低通濾波器（重構(gòu)濾波器）對(duì)取樣信號(hào)進(jìn)行濾波。該重構(gòu)濾波器的截止頻率應(yīng)該在哪個(gè)范圍內(nèi)取值？圖1是這種重構(gòu)過程的頻域和時(shí)域分析示意圖。請(qǐng)針對(duì)此圖，根據(jù)自己的理解，敘述時(shí)域和頻域重構(gòu)的基本原理，并結(jié)合教材式（4.9-12）和圖1(d)-(f)，說明為什么把"Sa"(t)稱為取樣（樣本）信號(hào)？


圖1 無混疊條件下由理想取樣信號(hào)重構(gòu)原信號(hào)的頻域和時(shí)域圖解

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該重構(gòu)濾波器的截止頻率應(yīng)該滿足Wm<Wc<Ws-Wm。
時(shí)域和頻域重構(gòu)的基本原理：通過一個(gè)低通濾波器把采樣過后的頻譜按照頻率進(jìn)行過濾，滿足原信號(hào)的頻率成分留下，不滿足的過濾掉，剩下的即重構(gòu)過的頻譜。
因?yàn)檫B續(xù)信號(hào)f(t)可以展開成Sa函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)，該級(jí)數(shù)的系數(shù)等于取樣值f(nTs)。在取樣信號(hào)fs(t)的每一個(gè)樣點(diǎn)處，畫一個(gè)最大峰值為f(nTs)的Sa函數(shù)波形，其合成波形就是原信號(hào)f(t)。

4、有混疊與無混疊取樣與重構(gòu)

圖2(a)、(b)分別給出了無混疊和有混疊取樣和重構(gòu)的仿真結(jié)果。請(qǐng)基于信號(hào)取樣與重建過程的原理，分析為什么對(duì)于兩個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)進(jìn)行取樣，所恢復(fù)的卻是相同頻率（1kHz）的正弦信號(hào)？給出詳細(xì)的分析思路和過程（重點(diǎn)針對(duì)有混疊的情形進(jìn)行分析）。

圖2（a）無混疊取樣

圖2（b）有混疊取樣

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無混疊情況：輸入信號(hào)頻率為1KHz，取樣頻率為8KHz，滿足，根據(jù)頻域分析，恢復(fù)濾波器截止頻率為1KHZ,能夠恢復(fù)1KHz的原信號(hào)。
有混疊情況：輸入信號(hào)頻率為7KHz，取樣頻率為8KHz，不滿足時(shí)域取樣定理，即7KHz的頻譜以8KHz為周期延拓，在W=1KHz和-1KHz處有頻譜，恢復(fù)濾波器截止頻率為1KHz,所以恢復(fù)的是1KHz的正弦信號(hào)。
無混疊：

有混疊：

5、抗混疊濾波器

針對(duì)第（4）題有混疊取樣的結(jié)果，討論：在實(shí)際工程應(yīng)用中為什么對(duì)信號(hào)進(jìn)行取樣之前，往往需要先采用一個(gè)抗混疊濾波器對(duì)待取樣的信號(hào)進(jìn)行濾波（即如果不這樣做，可能會(huì)有什么后果）？這種抗混疊濾波器是什么類型（低通、高通、帶通等）的濾波器？其截止頻率應(yīng)如何選擇？

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6、最小取樣頻率的確定

分析習(xí)題4.48。請(qǐng)給出必要的分析過程和結(jié)果。

4.48、有限頻帶信號(hào)f(t)的最高頻率為100Hz，若對(duì)下列信號(hào)進(jìn)行時(shí)域采樣，求最小取樣頻率f_s。
a、f(3t)
b、f^2(t)
c、f(t)*f(2t)
d、f(t)+f^2(t)

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三、反思總結(jié)

暫無