一、問(wèn)題

兩個(gè)向量組等價(jià),其中一個(gè)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān),另一個(gè)向量組也是線(xiàn)性無(wú)關(guān)嗎?

二、答案

不一定,當(dāng)兩個(gè)向量組中的向量個(gè)數(shù)也相同時(shí),結(jié)論才成立.若向量個(gè)數(shù)不相同,結(jié)論不成立.
例如：
向量組一：(1,0),(0,1)
向量組二：(1,0),(0,1),(1,1)
兩個(gè)向量組等價(jià),向量組一線(xiàn)性無(wú)關(guān),向量組二線(xiàn)性相關(guān)

參考：

兩個(gè)向量組等價(jià),其中一個(gè)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān),那另一個(gè)向量組也是線(xiàn)性無(wú)關(guān)嗎?_作業(yè)幫若向量組a1,a2,a3,a4線(xiàn)性無(wú)關(guān),那么他們的等價(jià)向量組怎樣?也無(wú)關(guān)? - 雨露學(xué)習(xí)互助

向量組的等價(jià)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)

三、GPT給的回答

線(xiàn)性無(wú)關(guān)指的是一組向量中沒(méi)有任何一個(gè)向量可以表示為其他向量的線(xiàn)性組合。如果我們有一組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量，我們對(duì)這些向量進(jìn)行任何線(xiàn)性變換（比如旋轉(zhuǎn)、縮放、反射等），而這些變換沒(méi)有使任一向量變成零向量或者使得某些向量變成了其它向量的線(xiàn)性組合，那么變換后的向量組依然保持著線(xiàn)性無(wú)關(guān)的屬性。

具體來(lái)說(shuō)，如果我們有一組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量集合 V = {v1, v2, ..., vn}，我們通過(guò)某種線(xiàn)性變換 T 得到另一組向量集合 V' = {T(v1), T(v2), ..., T(vn)}，只要這種變換 T 是可逆的（也即是說(shuō)，它有一個(gè)逆變換 T^(-1)），那么 V' 也是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。

這是因?yàn)?#xff0c;如果變換是可逆的，任何對(duì) V' 的線(xiàn)性組合嘗試將 T(vi) 表達(dá)為其他 T(vj)（i ≠ j）的組合，都可以通過(guò)變換的逆運(yùn)算轉(zhuǎn)換回 V，這將違反 V 的線(xiàn)性無(wú)關(guān)性，即我們?cè)仍O(shè)定的條件。

因此，線(xiàn)性無(wú)關(guān)性是保持在等價(jià)向量組之間的。記住，這樣的結(jié)論只有在變換是線(xiàn)性且可逆的情況下才成立。如果變換是不可逆的，可能導(dǎo)致一些向量“坍縮”到較低的維度，使得新的向量組不再線(xiàn)性無(wú)關(guān)。?