假設(shè)我們研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績、英語成績和學(xué)習(xí)時間之間的關(guān)系。收集了100名學(xué)生這三項數(shù)據(jù)作為樣本。

樣本協(xié)方差矩陣

計算得到的樣本協(xié)方差矩陣如下（假設(shè)數(shù)據(jù)簡化）：
$$\left[\begin{array}{ccc}Var(數(shù)學(xué))& Cov(數(shù)學(xué),英語)& Cov(數(shù)學(xué),學(xué)習(xí)時間)\\ Cov(英語,數(shù)學(xué))& Var(英語)& Cov(英語,學(xué)習(xí)時間)\\ Cov(學(xué)習(xí)時間,數(shù)學(xué))& Cov(學(xué)習(xí)時間,英語)& Var(學(xué)習(xí)時間)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}25& 10& 8\\ 10& 16& 6\\ 8& 6& 9\end{array}\right]$$
這里$Var(數(shù)學(xué))$表示數(shù)學(xué)成績的方差，$Cov(數(shù)學(xué),英語)$表示數(shù)學(xué)成績和英語成績的協(xié)方差，以此類推，體現(xiàn)了實際樣本中這三個變量之間的離散和相關(guān)關(guān)系。

隱含協(xié)方差矩陣

我們構(gòu)建一個結(jié)構(gòu)方程模型，假設(shè)學(xué)習(xí)時間會影響數(shù)學(xué)和英語成績，通過模型計算得到隱含協(xié)方差矩陣：
$$\left[\begin{array}{ccc}23& 9& 7\\ 9& 15& 5\\ 7& 5& 8\end{array}\right]$$
這是基于我們設(shè)定的模型，推導(dǎo)出來的變量之間的協(xié)方差關(guān)系。

比較擬合程度

用樣本協(xié)方差矩陣減去隱含協(xié)方差矩陣，得到殘差矩陣：
$$\left[\begin{array}{ccc}25?23& 10?9& 8?7\\ 10?9& 16?15& 6?5\\ 8?7& 6?5& 9?8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$$
如果殘差矩陣?yán)锏脑囟急容^小，就說明我們構(gòu)建的這個模型推導(dǎo)出來的變量關(guān)系，和實際樣本數(shù)據(jù)中的變量關(guān)系差異不大，模型擬合較好。但如果殘差矩陣元素值較大，那就說明模型和實際數(shù)據(jù)不太相符，擬合程度差。

為了讓你更好地理解，下面再以一個更簡單的例子詳細(xì)說明隱含協(xié)方差矩陣的計算過程：

假設(shè)我們有一個非常簡單的結(jié)構(gòu)方程模型，只包含兩個觀測變量$X$和$Y$，它們都受到一個共同的潛變量$Z$的影響，且模型中路徑系數(shù)分別為$a$（$Z$對$X$的影響）和$b$（$Z$對$Y$的影響），潛變量$Z$的方差為$Var(Z)={\sigma }^2$。

首先，根據(jù)結(jié)構(gòu)方程模型的理論，觀測變量$X$和$Y$的方差可以表示為：
$$Var(X)=a^2\times Var(Z)=a^2{\sigma }^2$$
$$Var(Y)=b^2\times Var(Z)=b^2{\sigma }^2$$

觀測變量$X$和$Y$之間的協(xié)方差可以表示為：
$$Cov(X,Y)=a\times b\times Var(Z)=ab{\sigma }^2$$

那么，這個模型的隱含協(xié)方差矩陣就是：
$$\left[\begin{array}{cc}Var(X)& Cov(X,Y)\\ Cov(Y,X)& Var(Y)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}^2{\sigma }^2& ab{\sigma }^2\\ ab{\sigma }^2& b^2{\sigma }^2\end{array}\right]$$

例如，假設(shè)$a=0.6$，$b=0.5$，${\sigma }^2=4$，則：
$$Var(X)=a^2{\sigma }^2=0.6^2\times 4=1.44$$
$$Var(Y)=b^2{\sigma }^2=0.5^2\times 4=1$$
$$Cov(X,Y)=ab{\sigma }^2=0.6\times 0.5\times 4=1.2$$

所以隱含協(xié)方差矩陣為：
$$\left[\begin{array}{cc}1.44& 1.2\\ 1.2& 1\end{array}\right]$$

這就是在這個簡單的結(jié)構(gòu)方程模型下，通過模型設(shè)定的參數(shù)計算得到隱含協(xié)方差矩陣的過程。在實際的結(jié)構(gòu)方程模型中，可能會有更多的觀測變量、潛變量以及更復(fù)雜的關(guān)系，但基本的計算原理是類似的。