特征值究竟體現(xiàn)了矩陣的什么特征？

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是x經(jīng)過(guò)矩陣A映射后和自己平行

希爾伯特第一次提出eigenvalue,這里的eigen就是自己的。所以eigenvalue也稱作本征值

特征值和特征向量刻畫了矩陣變換空間的特征

對(duì)平面上的任意向量可以如法炮制，把他在特征向量的坐標(biāo)系下分解。分別在每個(gè)軸上伸縮，再用平行四邊形法則加起來(lái)。就可以輕松確定任何一個(gè)向量被映射后到底在哪里。

可以說(shuō)，矩陣特征向量的變化很好的描述了矩陣對(duì)空間的影響

將以上總結(jié)為3步

1. 把向量分解為特征向量的線性組合

   

2. 根據(jù)特征值分別縮放每個(gè)特征向量，兩個(gè)特征值分別是2和3，所以兩個(gè)系數(shù)就變成了兩倍和三倍

3. 重新將這些特征向量組合起來(lái)，將變換后的這些組合的系數(shù)向量使用線性映射P再變回去，就得到了原始空間的最終結(jié)果

經(jīng)過(guò)以上3步就得到了A作用于一個(gè)向量映射的整個(gè)過(guò)程。

我們?yōu)槭裁匆M(fèi)這么大的勁求這個(gè)分解呢？

1. 計(jì)算簡(jiǎn)便

其中求特征值，利用特征多項(xiàng)式來(lái)求

線性空間當(dāng)中幾乎所有向量，經(jīng)過(guò)某個(gè)線性映射的反復(fù)迭代以后，都會(huì)趨近于特征值最大的一個(gè)方向。

為什么要講相似矩陣？

P這個(gè)矩陣承擔(dān)著兩個(gè)視角（默認(rèn)視角和特征向量視角）之間的轉(zhuǎn)換。

使用不同的視角來(lái)觀察同一個(gè)線性映射。會(huì)得到不同的矩陣，于是這些矩陣叫做相似矩陣

頭尾兩個(gè)矩陣，就是這兩個(gè)視角的轉(zhuǎn)移矩陣

這個(gè)映射具有的性質(zhì)，就被所有能夠用相似變換所觀察到的其他矩陣所共有。在某些方向上，方向不變時(shí)，伸長(zhǎng)的倍數(shù)是保持的。這就是為什么**所有相似矩陣，他們特征值的集合是一樣的。**而特征向量不一樣

在特征向量的視角下，矩陣的迭代累乘變得特別簡(jiǎn)單，才使得我們可以用特征分解快速的計(jì)算出一個(gè)矩陣的冪次

一些結(jié)論

1.矩陣所有特征值的乘積等于行列式

2.幾何重?cái)?shù)不會(huì)超過(guò)代數(shù)重?cái)?shù)

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