文章目錄

• • @[toc]
  • • 問題描述
    • 回溯算法
    • `Python`實現(xiàn)
    • 時間復(fù)雜性

問題描述

• 給定一組城市和它們之間的距離矩陣，找到一條距離最短的路徑，使得旅行商從一個城市出發(fā)，經(jīng)過所有城市恰好一次，并最終回到出發(fā)城市

回溯算法

• 旅行售貨員問題的解空間是一棵排列樹

• 當(dāng)$i=n$時，算法搜索至葉結(jié)點，其相應(yīng)的路徑長度為$cd$，如果$cd<bestd$，則表示當(dāng)前解優(yōu)于當(dāng)前最優(yōu)解，此時更新$bestd$

• 當(dāng)$i<n$時，當(dāng)前擴展結(jié)點位于排列樹的第$i$層，圖$G$中存在從頂點$x[i]$到頂點$x[i+1]$的邊時，$x[1:i+1]$構(gòu)成圖$G$的一條路徑，且當(dāng)$x[1:i+1]$的路徑長度小于當(dāng)前最優(yōu)值時算法進入排列樹的第$i+1$層，否則將剪去相應(yīng)的子樹

Python實現(xiàn)

import numpy as npdef backtrack_tsp(cities):n = len(cities)visited = [False] * n  # 記錄城市是否已經(jīng)被訪問shortest_path = []shortest_distance = float('inf')def distance(city1, city2):x1, y1 = city1x2, y2 = city2return np.sqrt((x2 - x1) ** 2 + (y2 - y1) ** 2)# 創(chuàng)建距離矩陣dist_matrix = np.zeros((n, n))for i in range(n):for j in range(n):dist_matrix[i][j] = distance(cities[i], cities[j])def backtrack(path, distance):nonlocal shortest_path, shortest_distanceif len(path) == n:  # 所有城市都已經(jīng)訪問過distance += dist_matrix[path[-1]][path[0]]  # 回到起點的距離if distance < shortest_distance:  # 更新最短路徑和最短距離shortest_path = path[:]shortest_distance = distancereturnlast_city = path[-1] if path else 0  # 上一個訪問的城市for next_city in range(n):if not visited[next_city]:visited[next_city] = Truepath.append(next_city)distance += dist_matrix[last_city][next_city]backtrack(path, distance)# 恢復(fù)回溯前狀態(tài)distance -= dist_matrix[last_city][next_city]path.pop()visited[next_city] = False# 開始回溯搜索visited[0] = Truebacktrack([0], 0)return shortest_path, shortest_distancecities = [(0, 0), (1, 5), (2, 3), (5, 2), (6, 4)]
shortest_path, shortest_distance = backtrack_tsp(cities)print(f'最短路徑: {shortest_path}')
print(f'最短距離: {shortest_distance}')

最短路徑: [0, 2, 1, 4, 3]
最短距離: 18.56187155119086

時間復(fù)雜性

• 回溯算法解TSP問題的時間復(fù)雜性為$O(n!)$