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西安網(wǎng)站建設(shè)首選那家2345電腦版網(wǎng)址導(dǎo)航

西安網(wǎng)站建設(shè)首選那家,2345電腦版網(wǎng)址導(dǎo)航,cssci期刊是什么意思,微信公眾號(hào)文章編輯wordpressLecture 2 θ和它的導(dǎo)數(shù)符號(hào)是通過(guò) Julia 中的變量命名方式實(shí)現(xiàn)的 變量 θ 的輸入: 在 Julia 中,θ 是一個(gè)合法的變量名,就像普通的字母 x 或 y 一樣。要輸入 θ,可以使用以下方法: 在 Jupyter Notebook 或 Julia REP…

Lecture 2

θ和它的導(dǎo)數(shù)符號(hào)是通過(guò) Julia 中的變量命名方式實(shí)現(xiàn)的

  1. 變量 θ 的輸入

    • 在 Julia 中,θ 是一個(gè)合法的變量名,就像普通的字母 xy 一樣。
    • 要輸入 θ,可以使用以下方法:
      • 在 Jupyter Notebook 或 Julia REPL 中直接鍵入 \theta,然后按 Tab 鍵,Julia 會(huì)自動(dòng)將其轉(zhuǎn)化為 θ
      • 這是 Julia 支持的 Unicode 字符的一部分,可以直接作為變量名。
  2. 變量 θ? 的輸入

    • θ? 是帶點(diǎn)的變量(表示導(dǎo)數(shù)),它也是 Julia 的一個(gè)合法變量名。
    • 鍵入 \theta,后按 Tab 鍵,鍵入 \dot,后按 Tab
  3. 變量 θ? 的輸入

    • θ? 是加速度(帶兩個(gè)點(diǎn)的變量名)。
    • 鍵入 \theta,后按 Tab 鍵,鍵入 \ddot,后按 Tab
  • θθ? 是 Julia 中的 Unicode 變量名,可以通過(guò)快捷輸入實(shí)現(xiàn)。
  • 在代碼中,這些符號(hào)只是普通變量名,它們的含義通過(guò)上下文和賦值來(lái)表達(dá):
    • θ 是角度。
    • θ? 是角速度。
    • θ? 是角加速度,計(jì)算公式是 ? ( g / l ) sin ? ( θ ) -(g/l) \sin(θ) ?(g/l)sin(θ)。
      在這里插入圖片描述

. 使得操作符能夠逐個(gè)元素地應(yīng)用于整個(gè)數(shù)組或集合,而不需要顯式地使用循環(huán)

在 Julia 中,等號(hào)前面的 . 是一個(gè) 廣播(broadcasting) 操作符,它的作用是讓一個(gè)操作應(yīng)用于整個(gè)數(shù)組或容器,而不僅僅是單一的元素。這是 Julia 中非常常見和強(qiáng)大的特性。

x_hist[:,1] .= x0
  • x_hist[:,1]:這是對(duì) x_hist 數(shù)組的訪問(wèn),表示提取 x_hist 的第一列(所有行,第一列)。
  • .=:這是廣播賦值操作符。它表示對(duì) x_hist[:,1] 的每個(gè)元素執(zhí)行賦值操作,等價(jià)于逐元素地把 x0 的每個(gè)值賦給 x_hist[:,1] 的每個(gè)元素。
  • x0:這是一個(gè)向量,通常是初始狀態(tài)向量,比如 [0.1; 0],表示擺的初始角度和角速度。

示例

假設(shè) x0[0.1, 0],而 x_hist[:,1] 是一個(gè)長(zhǎng)度為 2 的列向量(例如 [0, 0]),那么:

  • 無(wú)廣播(普通賦值)
    如果直接使用 =(沒有點(diǎn)操作符),會(huì)發(fā)生維度不匹配的錯(cuò)誤,因?yàn)槟悴荒軐⒁粋€(gè)列向量直接賦值給數(shù)組的某一列。

    x_hist[:,1] = x0  # 這會(huì)報(bào)錯(cuò)
    
  • 使用廣播賦值
    使用 .= 后,x0 的每個(gè)元素都會(huì)依次賦值給 x_hist[:,1] 的每個(gè)元素:

    x_hist[:,1] .= x0  # 正確:x0 的每個(gè)元素逐個(gè)賦值給 x_hist[:,1]
    

總結(jié)

  • . 操作符使得賦值操作可以應(yīng)用到整個(gè)數(shù)組或容器的每個(gè)元素,而不僅僅是簡(jiǎn)單的元素賦值。
  • .= 用于廣播賦值,使得多個(gè)值可以逐元素地賦給目標(biāo)數(shù)組或集合。

這種廣播機(jī)制使得在 Julia 中處理數(shù)組和矩陣時(shí)更加簡(jiǎn)潔高效。


解釋匿名函數(shù) x -> fd_pendulum_rk4(x, 0.1)

在 Julia 中,匿名函數(shù)是一種無(wú)需命名的函數(shù),通常用于臨時(shí)計(jì)算。形式為:

x -> expression

其中,x 是輸入?yún)?shù),expression 是處理該參數(shù)的表達(dá)式。

代碼部分

x -> fd_pendulum_rk4(x, 0.1)

這是一個(gè)匿名函數(shù),具體含義如下:

  1. 輸入?yún)?shù):

    • x 是匿名函數(shù)的輸入?yún)?shù),代表當(dāng)前狀態(tài)變量,通常為一個(gè)向量。例如,對(duì)于擺動(dòng)系統(tǒng),x 可能是 x = [ angle ; angular?velocity ] x = [\text{angle}; \text{angular velocity}] x=[angle;angular?velocity](角度和角速度)。
  2. 調(diào)用 fd_pendulum_rk4:

    • 匿名函數(shù)內(nèi)部調(diào)用了 fd_pendulum_rk4 函數(shù),這是一個(gè)實(shí)現(xiàn)四階龍格-庫(kù)塔(RK4)積分方法的函數(shù)。
    • fd_pendulum_rk4(x, 0.1) 的兩個(gè)參數(shù):
      • x: 當(dāng)前狀態(tài)(例如 x = [ 角度 ; 角速度 ] x = [\text{角度}; \text{角速度}] x=[角度;角速度])。
      • 0.1: 時(shí)間步長(zhǎng) h h h,表示模擬的離散時(shí)間間隔。
  3. 輸出結(jié)果:

    • 函數(shù)返回 RK4 方法計(jì)算的狀態(tài)更新結(jié)果,即從狀態(tài) x x x 經(jīng)一步積分后的新狀態(tài) x n + 1 x_{n+1} xn+1?。
    • 該結(jié)果是一個(gè)新的狀態(tài)向量,表示在給定時(shí)間步長(zhǎng)下,系統(tǒng)從狀態(tài) x x x 演化到的下一個(gè)狀態(tài)。

用途

匿名函數(shù) x -> fd_pendulum_rk4(x, 0.1) 的核心作用是:

  • 將輸入狀態(tài) x x x(如擺的當(dāng)前角度和角速度)映射為通過(guò) RK4 方法計(jì)算得到的下一個(gè)狀態(tài)。
  • 在調(diào)用 ForwardDiff.jacobian 時(shí),匿名函數(shù)為 ForwardDiff 提供了所需的輸入-輸出關(guān)系。

示例

假設(shè):

  • 初始狀態(tài)為 x = [ π / 4 ; 0 ] x = [\pi/4; 0] x=[π/4;0](角度 π / 4 \pi/4 π/4,角速度 0)。
  • 時(shí)間步長(zhǎng) h = 0.1 h = 0.1 h=0.1。

匿名函數(shù)的計(jì)算流程如下:

# 定義匿名函數(shù)
f = x -> fd_pendulum_rk4(x, 0.1)# 調(diào)用匿名函數(shù)
new_state = f([pi/4; 0])

結(jié)果 new_state 是通過(guò) RK4 積分計(jì)算出的下一步狀態(tài)(新的角度和角速度)。

為什么使用匿名函數(shù)?

  1. 簡(jiǎn)潔性:

    • 不需要顯式定義一個(gè)新函數(shù),而是直接將 fd_pendulum_rk4 封裝成滿足特定需求的函數(shù)(固定步長(zhǎng)為 0.1)。
  2. 靈活性:

    • 匿名函數(shù)可以動(dòng)態(tài)封裝不同的參數(shù)和邏輯。例如,步長(zhǎng)可以通過(guò)匿名函數(shù)靈活指定。
  3. ForwardDiff.jacobian 配合:

    • ForwardDiff.jacobian 需要輸入一個(gè)函數(shù),該函數(shù)的輸入是狀態(tài) x x x,輸出是對(duì)應(yīng)的更新結(jié)果。匿名函數(shù)很好地滿足這一要求。

總結(jié)

  • 匿名函數(shù) x -> fd_pendulum_rk4(x, 0.1) 將狀態(tài)變量 x x x 映射為通過(guò) RK4 方法計(jì)算得到的下一個(gè)狀態(tài)。
  • 它的主要作用是為 ForwardDiff.jacobian 提供輸入-輸出映射關(guān)系,以計(jì)算狀態(tài)更新過(guò)程的雅可比矩陣。

Lecture 3

?r \ r 表示 矩陣左除

在 Julia 中,表達(dá)式 ?r \ r 表示 矩陣左除,也就是 求解線性方程組 的一種簡(jiǎn)潔方式。

線性方程組的求解

線性方程組的一般形式是:

A ? x = b A \cdot x = b A?x=b

其中:

  • A A A 是系數(shù)矩陣(這里對(duì)應(yīng) ?r)。
  • x x x 是未知量向量(這里對(duì)應(yīng) Δ x \Delta x Δx)。
  • b b b 是右側(cè)的已知向量(這里對(duì)應(yīng) r)。

A \ x 的含義是 求解 x x x 的值,即:

x = A ? 1 ? b x = A^{-1} \cdot b x=A?1?b

  • 相當(dāng)于將 A A A 的逆矩陣 A ? 1 A^{-1} A?1 左乘到 b b b,求解 x x x 的值。

但是,顯式求逆(即 A ? 1 A^{-1} A?1)的計(jì)算代價(jià)很高,且可能會(huì)引入數(shù)值不穩(wěn)定性。因此,?r \ r 使用了一種數(shù)值高效的方式解決這個(gè)問(wèn)題。

Julia 的 \ 運(yùn)算符

  • 在 Julia 中,A \ b 是求解線性方程組 A ? x = b A \cdot x = b A?x=b 的符號(hào),表示“將矩陣 A A A 左除向量 b b b”。
  • 實(shí)現(xiàn)時(shí),Julia 使用優(yōu)化的數(shù)值線性代數(shù)方法(如 LU 分解、QR 分解或 Cholesky 分解)來(lái)高效求解,而不是直接計(jì)算矩陣的逆。

數(shù)值計(jì)算的優(yōu)勢(shì)

  • 高效性: 求解 A ? x = b A \cdot x = b A?x=b 的方法通常比顯式逆矩陣的計(jì)算更高效。
  • 數(shù)值穩(wěn)定性: 顯式計(jì)算逆矩陣可能會(huì)導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定性(尤其當(dāng)矩陣接近奇異時(shí)),而直接求解方程組能夠減少誤差。
  • 靈活性: Julia 的 \ 運(yùn)算符會(huì)自動(dòng)選擇最適合的分解算法(如 LU、QR 或其他方法)來(lái)解決問(wèn)題,適用于稠密矩陣或稀疏矩陣。

梯度和雅可比矩陣在 Julia 中的使用規(guī)則

  • 梯度 (gradient): 用于標(biāo)量值函數(shù),返回一個(gè)列向量。
  • 雅可比矩陣 (jacobian): 用于矢量值函數(shù),返回一個(gè)矩陣。
  • 在實(shí)際使用中,必須明確函數(shù)的輸入和輸出維度,誤用可能導(dǎo)致報(bào)錯(cuò)。

1. 梯度(gradient)

梯度是用于標(biāo)量值函數(shù)的,它返回的是一個(gè)列向量。

例子
using ForwardDiff# 定義一個(gè)標(biāo)量函數(shù)
f(x) = x[1]^2 + x[2]^2 + x[3]^2# 對(duì) f 求梯度
x = [1.0, 2.0, 3.0]
grad = ForwardDiff.gradient(f, x)
println("梯度: ", grad)
輸出

在這里插入圖片描述

  • 解析:
    • 函數(shù) f ( x ) = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 f(x) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 f(x)=x12?+x22?+x32?
    • 梯度為 ? f = [ ? f ? x 1 , ? f ? x 2 , ? f ? x 3 ] T = [ 2 x 1 , 2 x 2 , 2 x 3 ] T \nabla f = [\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \frac{\partial f}{\partial x_3}]^T = [2x_1, 2x_2, 2x_3]^T ?f=[?x1??f?,?x2??f?,?x3??f?]T=[2x1?,2x2?,2x3?]T。
    • 結(jié)果為 [2.0, 4.0, 6.0]

2. 雅可比矩陣(Jacobian)

雅可比矩陣用于矢量值函數(shù),返回的是一個(gè)矩陣。

例子
using ForwardDiff# 定義一個(gè)矢量值函數(shù)
g(x) = [x[1]^2, x[1]*x[2], x[2]^2]# 對(duì) g 求雅可比矩陣
x = [1.0, 2.0]
jacobian = ForwardDiff.jacobian(g, x)
println("雅可比矩陣: ")
println(jacobian)
輸出

在這里插入圖片描述

  • 解析:
    • 函數(shù) g ( x ) = [ x 1 2 , x 1 x 2 , x 2 2 ] g(x) = [x_1^2, x_1 x_2, x_2^2] g(x)=[x12?,x1?x2?,x22?]。

    • 雅可比矩陣為:

      J = [ ? g 1 ? x 1 ? g 1 ? x 2 ? g 2 ? x 1 ? g 2 ? x 2 ? g 3 ? x 1 ? g 3 ? x 2 ] J = \begin{bmatrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_1} & \frac{\partial g_1}{\partial x_2} \\ \frac{\partial g_2}{\partial x_1} & \frac{\partial g_2}{\partial x_2} \\ \frac{\partial g_3}{\partial x_1} & \frac{\partial g_3}{\partial x_2} \end{bmatrix} J= ??x1??g1???x1??g2???x1??g3????x2??g1???x2??g2???x2??g3??? ?= [ 2 x 1 0 x 2 x 1 0 2 x 2 ] \begin{bmatrix} 2x_1 & 0 \\ x_2 & x_1 \\ 0 & 2x_2 \end{bmatrix} ?2x1?x2?0?0x1?2x2?? ?

    • x = [ 1.0 , 2.0 ] x = [1.0, 2.0] x=[1.0,2.0] 時(shí),結(jié)果為:
      [ 2.0 0.0 2.0 1.0 0.0 4.0 ] \begin{bmatrix} 2.0 & 0.0 \\ 2.0 & 1.0 \\ 0.0 & 4.0 \end{bmatrix} ?2.02.00.0?0.01.04.0? ?

3. 錯(cuò)誤調(diào)用的情況

錯(cuò)誤調(diào)用 gradient 對(duì)矢量值函數(shù)

如果嘗試對(duì)矢量值函數(shù)調(diào)用 gradient 會(huì)導(dǎo)致報(bào)錯(cuò),因?yàn)樘荻戎贿m用于標(biāo)量值函數(shù)。

例子
g(x) = [x[1]^2, x[1]*x[2], x[2]^2]
x = [1.0, 2.0]
grad = ForwardDiff.gradient(g, x)  # 錯(cuò)誤
報(bào)錯(cuò)信息

在這里插入圖片描述

  • 原因:
    • gradient 只能對(duì)標(biāo)量值函數(shù)使用,而這里的 g ( x ) g(x) g(x) 是矢量值函數(shù)。
錯(cuò)誤調(diào)用 jacobian 對(duì)標(biāo)量值函數(shù)

如果嘗試對(duì)標(biāo)量值函數(shù)調(diào)用 jacobian理論上應(yīng)返回梯度的轉(zhuǎn)置,但通常會(huì)導(dǎo)致報(bào)錯(cuò)。

例子
f(x) = x[1]^2 + x[2]^2
x = [1.0, 2.0]
jacobian = ForwardDiff.jacobian(f, x)  # 錯(cuò)誤
報(bào)錯(cuò)信息

在這里插入圖片描述

  • 原因:
    • jacobian 期望輸入是矢量值函數(shù),而這里的 f ( x ) f(x) f(x) 是標(biāo)量值函數(shù)。

Lecture 4

Kronecker 積(Kronecker Product)

Kronecker 積的定義

給定兩個(gè)矩陣 A ∈ R m × n A \in \mathbb{R}^{m \times n} ARm×n B ∈ R p × q B \in \mathbb{R}^{p \times q} BRp×q,它們的 Kronecker 積 A ? B A \otimes B A?B 是一個(gè)大小為 ( m p ) × ( n q ) (mp) \times (nq) (mp)×(nq) 的矩陣。具體構(gòu)造規(guī)則如下:

  • A ? B A \otimes B A?B矩陣 A A A 的每個(gè)元素 a i j a_{ij} aij? 替換為該元素與矩陣 B B B 的乘積 a i j B a_{ij}B aij?B。

數(shù)學(xué)表達(dá)為:
A ? B = [ a 11 B a 12 B … a 1 n B a 21 B a 22 B … a 2 n B ? ? ? a m 1 B a m 2 B … a m n B ] A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} B & a_{12} B & \dots & a_{1n} B \\ a_{21} B & a_{22} B & \dots & a_{2n} B \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} B & a_{m2} B & \dots & a_{mn} B \\ \end{bmatrix} A?B= ?a11?Ba21?B?am1?B?a12?Ba22?B?am2?B??a1n?Ba2n?B?amn?B? ?

Kronecker 積的計(jì)算方法

假設(shè):
A = [ 1 2 3 4 ] , B = [ 0 5 6 7 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 7 \\ \end{bmatrix} A=[13?24?],B=[06?57?]

計(jì)算 A ? B A \otimes B A?B
A ? B = [ 1 ? B 2 ? B 3 ? B 4 ? B ] = [ [ 0 5 6 7 ] [ 0 10 12 14 ] [ 0 15 18 21 ] [ 0 20 24 28 ] ] A \otimes B = \begin{bmatrix} 1 \cdot B & 2 \cdot B \\ 3 \cdot B & 4 \cdot B \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 7 \\ \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 0 & 10 \\ 12 & 14 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 0 & 15 \\ 18 & 21 \\ \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 0 & 20 \\ 24 & 28 \\ \end{bmatrix} \\ \end{bmatrix} A?B=[1?B3?B?2?B4?B?]= ?[06?57?][018?1521?]?[012?1014?][024?2028?]? ?

最終結(jié)果為:
A ? B = [ 0 5 0 10 6 7 12 14 0 15 0 20 18 21 24 28 ] A \otimes B = \begin{bmatrix} 0 & 5 & 0 & 10 \\ 6 & 7 & 12 & 14 \\ 0 & 15 & 0 & 20 \\ 18 & 21 & 24 & 28 \\ \end{bmatrix} A?B= ?06018?571521?012024?10142028? ?

Kronecker 積的性質(zhì)

  1. 尺寸
    如果 A A A m × n m \times n m×n B B B p × q p \times q p×q,那么 A ? B A \otimes B A?B 的大小為 ( m p ) × ( n q ) (mp) \times (nq) (mp)×(nq)。
  2. 分布律
    ( A + C ) ? B = A ? B + C ? B (A + C) \otimes B = A \otimes B + C \otimes B (A+C)?B=A?B+C?B
  3. 結(jié)合律
    ( A ? B ) ? C = A ? ( B ? C ) (A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C) (A?B)?C=A?(B?C)
  4. 與標(biāo)量的關(guān)系
    ( α A ) ? B = A ? ( α B ) (\alpha A) \otimes B = A \otimes (\alpha B) (αA)?B=A?(αB)

Kronecker 積的應(yīng)用

  1. 生成重復(fù)矩陣

    • 在 Julia 中,kron(ones(m), A) 會(huì)生成一個(gè)矩陣,其中矩陣 A A A 的每一行重復(fù) m m m 次。
    • 類似地,kron(ones(m)', A) 會(huì)生成一個(gè)矩陣,其中矩陣 A A A 的每一列重復(fù) m m m 次。
  2. 向量化操作

    • Kronecker 積常用于將向量化表達(dá)與矩陣展開結(jié)合。比如,將矩陣 A A A 的每一項(xiàng)與另一個(gè)矩陣 B B B 關(guān)聯(lián)。
  3. 量子計(jì)算

    • Kronecker 積在量子力學(xué)中用于描述復(fù)合量子系統(tǒng)的狀態(tài)和操作,比如計(jì)算張量積態(tài)。
  4. 系統(tǒng)理論和信號(hào)處理

    • Kronecker 積用于構(gòu)造大規(guī)模系統(tǒng)矩陣,特別是在多維信號(hào)處理中的應(yīng)用。

在 Julia 中的實(shí)現(xiàn)

在 Julia 中,kron 函數(shù)用于計(jì)算 Kronecker 積,語(yǔ)法為:

C = kron(A, B)

在這里插入圖片描述

在equality-constraints.ipynb代碼中的作用

plot_landscape 函數(shù)中,Kronecker 積被用來(lái)生成網(wǎng)格點(diǎn):

  1. kron(ones(Nsamp), LinRange(-4, 4, Nsamp)')
    • 生成一個(gè)矩陣,其中每一行是從 ? 4 -4 ?4 4 4 4 的序列,表示 x x x 坐標(biāo)。
  2. kron(ones(Nsamp)', LinRange(-4, 4, Nsamp))
    • 生成一個(gè)矩陣,其中每一列是從 ? 4 -4 ?4 4 4 4 的序列,表示 y y y 坐標(biāo)。

這樣,通過(guò) Kronecker 積可以快速構(gòu)造二維網(wǎng)格,用于繪制等高線圖。

http://www.risenshineclean.com/news/55014.html

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