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1. 定義
注意，本文中正定和半正定矩陣不要求是對稱或Hermite的。
2. 性質(zhì)
3. 作用
（1）Ax=b直接法求解
| cholesky | 實(shí)對稱正定矩陣求解 |
| 復(fù)共軛對稱正定矩陣求解 | |
| LDL | 實(shí)對稱非正定矩陣求解 |
| 復(fù)共軛對稱非正定矩陣求解 | |
| 復(fù)對稱矩陣求解 | |
| LU | 實(shí)非對稱矩陣求解 |
| 復(fù)非對稱矩陣求解 |
（2）特征值求解
在ARPACK（隱式重啟Arnoldi算法）中，對K*x=lambda*M*x該廣義特征值問題
M必須得是
| Mode | Operator | M |
| Shift | OP = inv[M]*K,?and ?B = M. | 對稱-正定 或Hemitian-正定 |
| Shift-and-invert | OP = (inv[K - sigma*M])*M,?and ?B = M. | 對稱-半正定 或Hemitian-半正定 |
注釋：
- OP：operator，表示Arnoldi過程中與向量作用的算子，用戶需要提供矩陣向量乘積w ← OPv
- M-inner product: <x,y> =
。
- M-orthogonal: x, y稱為M-orthogonal若<x,y> = 0
- B: 用來定義M-inner product中的矩陣，用戶需要提供矩陣向量乘積w ← Mv
Slepc有提及，若M不是正定也不是半正定的話，可以用EPS_GHIEP求解。
特征值中，正定或半正定性質(zhì)對于 M 矩陣來說是一個(gè)優(yōu)良屬性，因?yàn)樗_保了問題的物理可解性和數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。例如，在結(jié)構(gòu)動力學(xué)中，M 作為質(zhì)量矩陣時(shí)，其正定性意味著系統(tǒng)的質(zhì)量分布是非負(fù)的，這是物理上合理的。正定或半正定的 M 矩陣也有助于保證廣義特征值問題解的良好性質(zhì)，如確保所有特征值是實(shí)數(shù)且特征向量是良定義的。
然而，在某些情況下，M 矩陣可能不是正定或半正定的，這并不意味著廣義特征值問題就無法求解。這些情況下，問題可能更加復(fù)雜，需要特別的數(shù)值方法來處理可能出現(xiàn)的數(shù)值不穩(wěn)定性或解的不確定性。