前言

《線性空間》定義了空間，這章節(jié)來研究空間與空間的關(guān)聯(lián)性

函數(shù)

函數(shù)是一個(gè)規(guī)則或映射，將一個(gè)集合中的每個(gè)元素（稱為自變量）映射到另一個(gè)集合中的唯一元素（稱為因變量）。

一般函數(shù)從 “A” 的每個(gè)元素指向 “B” 的一個(gè)函數(shù)
它不會(huì)有一個(gè) “A” 的元素指向多于一個(gè) “B” 的元素，所以一對(duì)多在函數(shù)是不允許的（“f(x) = 7 或 9” 是不允許的）
但多于一個(gè) “A” 的元素可以指向同一個(gè) “B” 的元素（多對(duì)一是允許的）

• 單射的意思是 “A” 的每個(gè)元素都有 它獨(dú)有的在 “B” 的相對(duì)元素。單射也稱為 “一對(duì)一”。但可以有些 “B” 的元素沒有相對(duì)的 “A” 的元素。單射存在可逆函數(shù)，使得B對(duì)A單射
• 滿射，每個(gè)（所有） “B” 的元素都有至少一個(gè)相對(duì)的 “A” 的元素（可能多于一個(gè)）。
• 雙射，單射和滿射都成立。

線性空間的同構(gòu)

• 同構(gòu)映射具有反身性、對(duì)稱性與傳遞性。
• 內(nèi)積空間同構(gòu)，還需要滿足內(nèi)積不變,$?\alpha ,\beta \in V,有(\sigma (\alpha ),\sigma (\beta ))=(\alpha ,\beta )$

使用單射，滿射滿足性線空間性質(zhì)的稱為同態(tài)（了解下）

線性變換

把上述同構(gòu)定義中的$V^{\prime }$換成$V$,即$V$空間通過雙射函數(shù)到$V$空間的映射。稱為“自同構(gòu)”。如果是“單射”或者“滿射”函數(shù)映射，則稱為“自同態(tài)”。也稱叫“線性變換”。

線性變換（linear transformation）是線性空間V到其自身的線性映射

線性變換的矩陣

從公式可得，因?yàn)樽罱K值是不變的，如果基組選取不同，A矩陣會(huì)變動(dòng)

線性變換不同基下的矩陣

由上面的關(guān)系式可以看出，若選定不同的基，則同一個(gè)線性變換在不同基下面的矩陣是不同的，但是這兩個(gè)矩陣之間存在著一種特殊的關(guān)系

矩陣$A$和矩陣$B$ 之間的這種關(guān)系為相似關(guān)系，即同一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣是相似的。即有相似矩陣的性質(zhì)

矩陣的相似對(duì)角化

上面講述了線性變換在不同基下的矩陣之間的關(guān)系，知道了線性變換在不同基下的矩陣是相似的。進(jìn)而我們可以通過選取不同的基，使得線性變換在這組基下的矩陣的形式最簡(jiǎn)單，由于對(duì)角矩陣具有良好的性質(zhì)，因此我們希望通過選取合適的基，使得線性變換在這組基下的矩陣是對(duì)角矩陣。怎么找到對(duì)角矩陣$\Lambda$？
$$\Lambda =P^{?1}AP$$
A是已知$\phi$,問題等價(jià)于尋找一個(gè)可逆矩陣P

反過來，若$A$是可相似對(duì)角化，那么$A$是否有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量呢？

綜上，矩陣$A$可相似對(duì)角化的充分必要條件是矩陣$A$有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量

求相似對(duì)角化矩陣

1. 已知： Λ = P ? 1 A P , { ε } P = { η } \Lambda = P^{-1}AP, \{\varepsilon\}P = \{\eta\} Λ=P?1AP,{ε}P={η}, P是過渡矩陣
2. 假設(shè) { ε } \{\varepsilon\} {ε}是歐式空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基組，已矩陣A
3. 驗(yàn)證充分必要條件：矩陣$A$有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量
4. 將n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，組建新的基組{$\beta$}
5. 為了更方便的計(jì)算，我們將基組{$\beta$}，施密特正交化，求出標(biāo)準(zhǔn)正交基本組{$\eta$}
6. 根據(jù) { ε } P = { η } \{\varepsilon\}P = \{\eta\} {ε}P={η}得 P = { η } P=\{\eta\} P={η}
7. 代入公式$\Lambda =P^{?1}AP$,得對(duì)角矩陣$\Lambda$

具體計(jì)算過程：實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化

對(duì)于n維線性空間V上的線性變換A，如果能夠找到一個(gè)基{$a_1,a_2,...a_n$}使得在此基下的矩陣A是對(duì)角矩陣，那么稱A是可對(duì)角化。但是如果A不能對(duì)角化呢？我們便退而求其次，找到一個(gè)基{$a_1,a_2,...a_n$}使得在此基下的矩陣A是分塊對(duì)角矩陣。

不變子空間

$\mathrm{A}$是線性變換

• $\mathrm{Im}A$ 是指線性變換 A 的值域（Image），也被稱為像空間或范圍。它表示所有通過該線性變換 A 映射到的向量的集合。
• $\mathrm{Ker}A$是指線性變換A的核空間（Kernel），也被稱為零空間（Null Space）。它表示所有在該線性變換下映射到零向量的向量的集合。
• A的特征子空間（Eigenspace）是指在線性變換A下與給定特征值$\lambda$相對(duì)應(yīng)的所有特征向量構(gòu)成的子空間$V_{\lambda }$。

一些重要不變子空間

1. $\mathrm{Im}A$或V空間本身

   • 任取$a\in V,Aa\in V$
   • $Aa\in \mathrm{Im}A,A(Aa)\in \mathrm{Im}A$

2. $\mathrm{Ker}A$或0空間

3. A的特征子空間

   假設(shè)V在A線性變化下，有一特征值為$\lambda$，對(duì)應(yīng)特征向量組成的空間為A的特征子空間，記$V_{\lambda }$.

   • 任取$a\in V_{\lambda },Aa=\lambda a\in V_{\lambda }$

4. 設(shè)B也是V上的線性變換，如果A和B可交換，那么 $\mathrm{Im}B,\mathrm{Ker}B,B$的特征子空間 是A-子空間

5. V上的線性變換A的不變子空間的和與交仍是A的不變子空間.

   • $a\in A_1?,b\in A_2?,a+b\in A_1?\oplus A_2?$
   • $A(a+b)=Aa+Ab\in A?\oplus B?$

6. 

線性變換在不變子空間上的限制

不變子空間與線性變換的矩陣化簡(jiǎn)

把基本不變子空間W分成$({\epsilon }_w,{\epsilon }_{othrer})$,又因?yàn)?span id="vxwlu0yf4" class="katex--inline">$A_1$是W的線性變化，在${\epsilon }_w$下必是${\epsilon }_w{A}_1$.即當(dāng)僅僅當(dāng)矩陣滿足以下形狀
$$\left(\begin{array}{cc}{A}_1& A_2\\ 0& A_3\end{array}\right)$$
才能滿足需求。

即：V的線性變換A可分塊對(duì)角矩陣化的充要條件是 V可分解為A的不變子空間的直和

Hamilton-Cayley定理與值和分解

即將特征多項(xiàng)式
$$f(\lambda )=｜\lambda I?A|$$
再根據(jù)多項(xiàng)式因式分解得
$$f(\lambda )=f_1(\lambda )f_2(\lambda )...f_n(\lambda )=0$$
其中$f_1(\lambda )f_2(\lambda )...f_n(\lambda )$互為素?cái)?shù)
$$V=\mathrm{Ker}f(\lambda )=\mathrm{Ker}{f}_1(\lambda )?\mathrm{Ker}{f}_2(\lambda )?...?\mathrm{Ker}{f}_n(\lambda )$$
將$f(\lambda )$進(jìn)一步分解
$$f(\lambda )=(\lambda ?{\lambda }_1{)}^{r_1}(\lambda ?{\lambda }_2{)}^{r_2}...(\lambda ?{\lambda }_n{)}^{r_n}$$
再線性變換A代入得
$$V=\mathrm{Ker}((A?{\lambda }_{1}I{)}^{r_1})?\mathrm{Ker}((A?{\lambda }_{2}I{)}^{r_2})?...?\mathrm{Ker}((A?{\lambda }_{n}I{)}^{r_n})$$

其中$\mathrm{Ker}((A?{\lambda }_{n}I{)}^{r_n}),n=1,\mathrm{2...}s$,稱為根子空間

對(duì)角矩陣中的每個(gè)分塊矩陣，對(duì)應(yīng)著不同特征值$\lambda$對(duì)應(yīng)的空間

λ矩陣

所謂$\lambda$矩陣，實(shí)際上我們并不陌生，在學(xué)習(xí)線性變換的特征值與特征向量時(shí)，我們引入了線性變換的特征矩陣$\lambda E?A$ , 其中 $A$是數(shù)域$P$上的n維線性空間 $V$中的線性變換$A$ 在某一組基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,...{\epsilon }_3$下的矩陣，這個(gè)特征矩陣$\lambda E?A$ 就是一個(gè)$\lambda$矩陣.

在我們學(xué)習(xí)數(shù)字矩陣時(shí)，矩陣當(dāng)中的每一個(gè)位置都放置一個(gè)數(shù)字元素，而如果將數(shù)字矩陣當(dāng)中的數(shù)字全部替換成數(shù)域 $P$上的一元多項(xiàng)式環(huán) $P[\lambda ]$中的一元多項(xiàng)式 $f(\lambda )$，那么對(duì)應(yīng)得到的新的矩陣就稱之為$\lambda$矩陣.

關(guān)于一元多項(xiàng)式環(huán)，請(qǐng)參考《補(bǔ)充P4關(guān)于環(huán)的知識(shí)》

• 由于一元多項(xiàng)式環(huán)$P[\lambda ]$中的多項(xiàng)式之間的運(yùn)算——加法、減法、乘法與數(shù)字之間的加、減、乘遵循同樣的運(yùn)算規(guī)律，因此，對(duì)于$\lambda$矩陣我們可以類似的定義$\lambda$矩陣之間的加法、數(shù)乘以及乘法，這些運(yùn)算與數(shù)字矩陣具有完全相同的運(yùn)算規(guī)律。、
• 以定義$n\times n$的$\lambda$矩陣.所對(duì)應(yīng)的行列式，它與數(shù)字矩陣的行列式具有完全相同的性質(zhì). 矩陣乘積的行列式等于行列式的乘積，這一結(jié)論同樣是成立的
• $\lambda$矩陣.的子式的概念，其與數(shù)字矩陣的子式的概念也是完全類似的
• $\lambda$矩陣可逆的定義與數(shù)字矩陣中的可逆的矩陣的定義是類似的
• $\lambda$矩陣可逆條件是$|A(\lambda )|=d$

$\lambda$矩陣的初等行列變換

1. 互換矩陣中任意兩行（列）的位置；
2. 將矩陣中的任意一行（列）乘以一個(gè)非零常數(shù)；
3. 將矩陣的任意一行（列）乘以任意 $\phi (\lambda )$后加到另外一行（列）上。

在數(shù)字矩陣中，如果兩個(gè)數(shù)字矩陣$A$和$B$ 可以經(jīng)過初等變換互化，那么我們稱這兩個(gè)矩陣是等價(jià)的，同樣的我們也可以定義$\lambda$矩陣的等價(jià)的概念。

標(biāo)準(zhǔn)型

$\lambda$矩陣在進(jìn)行初等變換后能夠?qū)⒕仃嚮?jiǎn)成簡(jiǎn)單標(biāo)準(zhǔn)的模型。


有了上面的引理，我們就可以得到下面的重要定理。

• 對(duì)于正整數(shù)$k$， $1\le k\le r$， $A(\lambda )$中必有非零的 $k$級(jí)子式，$A(\lambda )$ 中全部 $k$級(jí)子式的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式 $D_k(\lambda )$稱為 $A(\lambda )$的 $k$級(jí)行列式因子。
• 等價(jià)的 $\lambda$矩陣具有相同的秩與相同的各級(jí)行列式因子

這種最簡(jiǎn)單的矩陣稱為 $A(\lambda )$的標(biāo)準(zhǔn)形,且是唯一的。

兩個(gè) $\lambda$矩陣等價(jià)的充要條件是它們有相同的行列式因子，或者它們有相同的不變因子

初等因子

初等因子，就是組成不變因子的“磚塊”：如果不變因子$d_k(\lambda )=(\lambda ?1{)}^2(\lambda ?1)$ ，對(duì)應(yīng)的初等因子就是 .

標(biāo)準(zhǔn)型的可逆條件

同樣相似矩陣的性質(zhì)也適用$\lambda$矩陣：

• $A$與$B$ 相似的充要條件是它們的特征矩陣 $\lambda E?A$與$\lambda E?B$等價(jià)。
• 相似 $A$與$B$ $?$有相同的不變因子 $?$有相同的初等因子

若爾當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形

Jordan標(biāo)準(zhǔn)形即分塊對(duì)角陣

矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是為了解決那些不可相似對(duì)角化的矩陣的化簡(jiǎn)問題，我們知道，如果一個(gè)矩陣可以進(jìn)行相似對(duì)角化，那么這個(gè)矩陣的一些運(yùn)算就可以被極大的簡(jiǎn)化，由于相似矩陣之間具有很多的相似不變量：特征多項(xiàng)式、特征值、矩陣的行列式、矩陣的跡、最小多項(xiàng)式、不變因子、行列式因子、初等因子。因此如果一個(gè)矩陣能夠相似一個(gè)形式簡(jiǎn)單的矩陣，那么在求上述相似不變量時(shí)就可以很容易的得到。

1. 諾爾當(dāng)塊 $J_0$的初等因子只有 $(\lambda ?{\lambda }_0{)}^n$（其中的${\lambda }_0$就是對(duì)角線上的元素）
2. 諾爾當(dāng)塊 $J_1,J_2,...J_x$的初等因子分別為 $(\lambda ?{\lambda }_1{)}^{k_1},(\lambda ?{\lambda }_2{)}^{k_2},...,(\lambda ?{\lambda }_s{)}^{k_s}$,它們組合起來的諾爾當(dāng)型$J$的初等因子，即是每個(gè)塊的對(duì)角線元素 ${\lambda }_0$與階數(shù)$k_i$的組合

于是，每個(gè)擁相同的初等因子的矩陣就都相似于$J$，對(duì)于任意的矩陣$A$ ,它的特征矩陣$\lambda E?A$ ，得到其初等因子為 $(\lambda ?{\lambda }_1{)}^{k_1},(\lambda ?{\lambda }_2{)}^{k_2},...,(\lambda ?{\lambda }_s{)}^{k_s}$.

主要參考

《單射、滿射和雙射》
《高等代數(shù)】線性空間的同構(gòu)》
《線性同構(gòu)與歐氏空間同構(gòu)》
《什么是矩陣對(duì)角化》
《淺談線性變換和矩陣之間的關(guān)系》
《淺談矩陣的相似對(duì)角化（一）》
《線性代數(shù)（實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化）》
《不變子空間》
《【高等代數(shù)(丘維聲著）筆記】6.8線性變換的不變子空間》
《補(bǔ)充P4關(guān)于環(huán)的知識(shí)》
《矩陣的初等變換》
《淺談λ—矩陣與矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形》
《laji高代題綱——λ-矩陣》