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核函數(shù)（Kernel Function）是一種數(shù)學(xué)函數(shù)，主要用于將數(shù)據(jù)映射到一個(gè)更高維的特征空間，以便于在這個(gè)新特征空間中更容易找到數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)或模式。核函數(shù)的主要作用是在不需要顯式計(jì)算高維特征空間的情況下，通過(guò)內(nèi)積操作來(lái)實(shí)現(xiàn)高維映射，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。
核函數(shù)的作用
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處理非線(xiàn)性問(wèn)題：很多機(jī)器學(xué)習(xí)算法（如支持向量機(jī)）在原始特征空間中僅能處理線(xiàn)性可分?jǐn)?shù)據(jù)。通過(guò)核函數(shù)，可以將數(shù)據(jù)映射到更高的特征空間，使得即使在原始空間中非線(xiàn)性可分的數(shù)據(jù)，也可以在線(xiàn)性可分的高維空間中找到分離超平面。
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提高模型的靈活性：通過(guò)選擇不同的核函數(shù)，模型可以適應(yīng)不同類(lèi)型的數(shù)據(jù)分布，從而優(yōu)化分類(lèi)、回歸等任務(wù)的性能。
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避免維度災(zāi)難：直接進(jìn)行高維計(jì)算可能會(huì)帶來(lái)計(jì)算復(fù)雜度高和數(shù)據(jù)稀疏的問(wèn)題。核函數(shù)通過(guò)計(jì)算內(nèi)積的方式在更低的維度上完成挑戰(zhàn)，從而減輕了這一問(wèn)題。
常用的核函數(shù)
- 線(xiàn)性核：?
? ? 于線(xiàn)性可分?jǐn)?shù)據(jù)。
- 多項(xiàng)式核：?
? 其中?c是常數(shù)，d是多項(xiàng)式的度數(shù)。
- 高斯（RBF）核：
高斯核非常常用，能夠處理許多非線(xiàn)性問(wèn)題。 - Sigmoid核：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
適用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的某些模型。
這些核函數(shù)在選擇和應(yīng)用時(shí)可以根據(jù)具體問(wèn)題的需要而定。不同的核函數(shù)對(duì)模型的表現(xiàn)可以產(chǎn)生顯著影響，因此在實(shí)踐中往往需要進(jìn)行選擇和調(diào)優(yōu)。
例子：使用高斯 (RBF) 核的支持向量機(jī)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.svm import SVC
from sklearn.metrics import classification_report, confusion_matrix # 生成一個(gè)分類(lèi)數(shù)據(jù)集
X, y = datasets.make_moons(n_samples=100, noise=0.1, random_state=42) # 分割數(shù)據(jù)集為訓(xùn)練集和測(cè)試集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42) # 創(chuàng)建高斯核支持向量機(jī)模型
svm_rbf = SVC(kernel='rbf', gamma='scale') # 訓(xùn)練模型
svm_rbf.fit(X_train, y_train) # 對(duì)測(cè)試集進(jìn)行預(yù)測(cè)
y_pred = svm_rbf.predict(X_test) # 輸出分類(lèi)報(bào)告
print("Confusion Matrix:\n", confusion_matrix(y_test, y_pred))
print("\nClassification Report:\n", classification_report(y_test, y_pred)) # 可視化結(jié)果
plt.scatter(X_test[:, 0], X_test[:, 1], c=y_pred, cmap='coolwarm', s=50, edgecolor='k')
plt.title('SVM with RBF Kernel')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.show()示例 2: 使用線(xiàn)性核的支持向量機(jī)
# 生成一個(gè)線(xiàn)性可分的數(shù)據(jù)集
X_linear, y_linear = datasets.make_blobs(n_samples=100, centers=2, random_state=6) # 分割數(shù)據(jù)集為訓(xùn)練集和測(cè)試集
X_train_linear, X_test_linear, y_train_linear, y_test_linear = train_test_split(X_linear, y_linear, test_size=0.3, random_state=42) # 創(chuàng)建線(xiàn)性核支持向量機(jī)模型
svm_linear = SVC(kernel='linear') # 訓(xùn)練模型
svm_linear.fit(X_train_linear, y_train_linear) # 對(duì)測(cè)試集進(jìn)行預(yù)測(cè)
y_pred_linear = svm_linear.predict(X_test_linear) # 輸出分類(lèi)報(bào)告
print("\nConfusion Matrix (Linear SVM):\n", confusion_matrix(y_test_linear, y_pred_linear))
print("\nClassification Report (Linear SVM):\n", classification_report(y_test_linear, y_pred_linear)) # 可視化結(jié)果
plt.scatter(X_test_linear[:, 0], X_test_linear[:, 1], c=y_pred_linear, cmap='coolwarm', s=50, edgecolor='k')
plt.title('SVM with Linear Kernel')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.show()