### 什么是Fibonacci查找

Fibonacci查找是一種搜索算法，它結(jié)合了Fibonacci數(shù)列和二分查找的思想，用于在有序數(shù)組中查找目標(biāo)值。它的主要優(yōu)點(diǎn)是在某些情況下可以比普通二分查找更高效。

### Fibonacci數(shù)列
Fibonacci數(shù)列是一個(gè)遞歸定義的數(shù)列，通常表示為：
\[ F(n) = F(n-1) + F(n-2) \]
其中，\( F(0) = 0 \) 和 \( F(1) = 1 \)。

前幾個(gè)Fibonacci數(shù)是：
\[ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \ldots \]

### Fibonacci查找步驟
以下是Fibonacci查找的詳細(xì)步驟：

1. **準(zhǔn)備階段**:
? ?- 計(jì)算出一個(gè)足夠大的Fibonacci數(shù)，使得該數(shù)大于或等于數(shù)組的長(zhǎng)度。這可以通過迭代方法實(shí)現(xiàn)。
? ?
2. **初始化指針**:
? ?- 初始化三個(gè)指針：\( fibMm2 \)（表示\( F(m-2) \)），\( fibMm1 \)（表示\( F(m-1) \)），以及\( fibM \)（表示\( F(m) \)）。初始值是\( fibMm2 = 0 \)，\( fibMm1 = 1 \)，\( fibM = fibMm2 + fibMm1 \)。

3. **搜索階段**:
? ?- 通過不斷調(diào)整指針來縮小搜索范圍，直到找到目標(biāo)值或確認(rèn)目標(biāo)值不存在。
? ?- 具體過程如下：
? ? ?- 計(jì)算“檢查點(diǎn)”位置：\( offset + fibMm2 \)。
? ? ?- 比較該位置的值與目標(biāo)值：
? ? ? ?- 如果相等，則找到目標(biāo)值。
? ? ? ?- 如果目標(biāo)值小于該位置的值，則調(diào)整指針以縮小搜索范圍至左側(cè)部分。
? ? ? ?- 如果目標(biāo)值大于該位置的值，則調(diào)整指針以縮小搜索范圍至右側(cè)部分。

4. **結(jié)束條件**:
? ?- 確定目標(biāo)值是否存在于數(shù)組中。
? ?- 如果搜索范圍縮小到單個(gè)元素，直接比較該元素與目標(biāo)值。

### 示例
讓我們通過一個(gè)示例來更好地理解Fibonacci查找：

假設(shè)我們有一個(gè)有序數(shù)組\[10, 22, 35, 40, 45, 50, 80, 82, 85, 90, 100\]，我們要查找目標(biāo)值85。

1. **準(zhǔn)備階段**:
? ?- 數(shù)組長(zhǎng)度為11，找到的最小Fibonacci數(shù)大于或等于11的是13（即F7 = 13）。
? ?
2. **初始化指針**:
? ?- \( fibMm2 = 5 \)（F5 = 5）
? ?- \( fibMm1 = 8 \)（F6 = 8）
? ?- \( fibM = 13 \)（F7 = 13）

3. **搜索階段**:
? ?- 初始檢查點(diǎn)位置：\( offset + fibMm2 = -1 + 5 = 4 \)。
? ? ?- 數(shù)組中第4個(gè)位置的值是45，小于85，因此我們縮小搜索范圍至右側(cè)部分。
? ?- 更新指針：
? ? ?- \( fibM = fibMm1 = 8 \)
? ? ?- \( fibMm1 = fibMm2 = 5 \)
? ? ?- \( fibMm2 = fibM - fibMm1 = 3 \)
? ?- 新的檢查點(diǎn)位置：\( offset + fibMm2 = 4 + 3 = 7 \)。
? ? ?- 數(shù)組中第7個(gè)位置的值是82，小于85，因此我們繼續(xù)縮小搜索范圍至右側(cè)部分。
? ?- 更新指針：
? ? ?- \( fibM = fibMm1 = 5 \)
? ? ?- \( fibMm1 = fibMm2 = 3 \)
? ? ?- \( fibMm2 = fibM - fibMm1 = 2 \)
? ?- 新的檢查點(diǎn)位置：\( offset + fibMm2 = 7 + 2 = 9 \)。
? ? ?- 數(shù)組中第9個(gè)位置的值是85，正好等于目標(biāo)值，因此查找成功。

### 總結(jié)
Fibonacci查找通過利用Fibonacci數(shù)列中的數(shù)來確定分割點(diǎn)，從而有效地縮小搜索范圍。在某些情況下，它比傳統(tǒng)的二分查找更具優(yōu)勢(shì)。它的實(shí)現(xiàn)和理解需要一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和對(duì)Fibonacci數(shù)列的熟悉。

下面是Fibonacci查找的Python代碼實(shí)現(xiàn)以及逐行解釋：

```python
# 導(dǎo)入所需的模塊
def fibonacci_search(arr, x):
? ? """
? ? 在有序數(shù)組arr中查找目標(biāo)值x，如果找到則返回其索引，否則返回-1
? ? """
? ? # 初始化Fibonacci數(shù)
? ? fibMm2 = 0 ?# (m-2)'th Fibonacci number
? ? fibMm1 = 1 ?# (m-1)'th Fibonacci number
? ? fibM = fibMm1 + fibMm2 ?# m'th Fibonacci number

? ? # 找到一個(gè)大于或等于數(shù)組長(zhǎng)度的Fibonacci數(shù)
? ? n = len(arr)
? ? while fibM < n:
? ? ? ? fibMm2 = fibMm1
? ? ? ? fibMm1 = fibM
? ? ? ? fibM = fibMm1 + fibMm2

? ? # 標(biāo)記被檢查的子數(shù)組的起始位置
? ? offset = -1

? ? # 當(dāng)還有元素需要檢查時(shí)
? ? while fibM > 1:
? ? ? ? # 檢查位置應(yīng)該是在offset之后的第fibMm2個(gè)位置
? ? ? ? i = min(offset + fibMm2, n - 1)

? ? ? ? # 如果x大于當(dāng)前索引的值，向右子數(shù)組移動(dòng)
? ? ? ? if arr[i] < x:
? ? ? ? ? ? fibM = fibMm1
? ? ? ? ? ? fibMm1 = fibMm2
? ? ? ? ? ? fibMm2 = fibM - fibMm1
? ? ? ? ? ? offset = i

? ? ? ? # 如果x小于當(dāng)前索引的值，向左子數(shù)組移動(dòng)
? ? ? ? elif arr[i] > x:
? ? ? ? ? ? fibM = fibMm2
? ? ? ? ? ? fibMm1 = fibMm1 - fibMm2
? ? ? ? ? ? fibMm2 = fibM - fibMm1

? ? ? ? # 如果找到目標(biāo)值，返回其索引
? ? ? ? else:
? ? ? ? ? ? return i

? ? # 檢查最后一個(gè)元素是否是目標(biāo)值
? ? if fibMm1 and offset < (n - 1) and arr[offset + 1] == x:
? ? ? ? return offset + 1

? ? # 如果目標(biāo)值不存在于數(shù)組中，返回-1
? ? return -1

# 示例數(shù)組和目標(biāo)值
arr = [10, 22, 35, 40, 45, 50, 80, 82, 85, 90, 100]
x = 85

# 調(diào)用Fibonacci查找函數(shù)
result = fibonacci_search(arr, x)

# 打印結(jié)果
if result != -1:
? ? print(f"元素 {x} 在數(shù)組中的索引為 {result}")
else:
? ? print("元素不在數(shù)組中")
```

### 逐行解釋

1. **函數(shù)定義**：
? ? ```python
? ? def fibonacci_search(arr, x):
? ? ```
? ? - 定義一個(gè)名為`fibonacci_search`的函數(shù)，接受一個(gè)有序數(shù)組`arr`和一個(gè)目標(biāo)值`x`作為參數(shù)。

2. **初始化Fibonacci數(shù)**：
? ? ```python
? ? fibMm2 = 0 ?# (m-2)'th Fibonacci number
? ? fibMm1 = 1 ?# (m-1)'th Fibonacci number
? ? fibM = fibMm1 + fibMm2 ?# m'th Fibonacci number
? ? ```
? ? - 初始化三個(gè)Fibonacci數(shù)：`fibMm2`（F(m-2)），`fibMm1`（F(m-1)）和`fibM`（F(m)）。

3. **找到大于或等于數(shù)組長(zhǎng)度的Fibonacci數(shù)**：
? ? ```python
? ? n = len(arr)
? ? while fibM < n:
? ? ? ? fibMm2 = fibMm1
? ? ? ? fibMm1 = fibM
? ? ? ? fibM = fibMm1 + fibMm2
? ? ```
? ? - 通過循環(huán)找到一個(gè)大于或等于數(shù)組長(zhǎng)度`n`的Fibonacci數(shù)。

4. **初始化偏移量**：
? ? ```python
? ? offset = -1
? ? ```
? ? - 用于標(biāo)記被檢查的子數(shù)組的起始位置。

5. **開始查找**：
? ? ```python
? ? while fibM > 1:
? ? ? ? i = min(offset + fibMm2, n - 1)
? ? ```
? ? - 當(dāng)還有元素需要檢查時(shí)，計(jì)算檢查點(diǎn)位置`i`，它是偏移量加上`fibMm2`，但不能超過數(shù)組的長(zhǎng)度。

6. **比較當(dāng)前元素與目標(biāo)值**：
? ? ```python
? ? if arr[i] < x:
? ? ? ? fibM = fibMm1
? ? ? ? fibMm1 = fibMm2
? ? ? ? fibMm2 = fibM - fibMm1
? ? ? ? offset = i
? ? ```
? ? - 如果當(dāng)前元素小于目標(biāo)值，更新Fibonacci數(shù)并調(diào)整偏移量`offset`，繼續(xù)向右子數(shù)組查找。

? ? ```python
? ? elif arr[i] > x:
? ? ? ? fibM = fibMm2
? ? ? ? fibMm1 = fibMm1 - fibMm2
? ? ? ? fibMm2 = fibM - fibMm1
? ? ```
? ? - 如果當(dāng)前元素大于目標(biāo)值，更新Fibonacci數(shù)，繼續(xù)向左子數(shù)組查找。

? ? ```python
? ? else:
? ? ? ? return i
? ? ```
? ? - 如果當(dāng)前元素等于目標(biāo)值，返回其索引。

7. **檢查最后一個(gè)元素**：
? ? ```python
? ? if fibMm1 and offset < (n - 1) and arr[offset + 1] == x:
? ? ? ? return offset + 1
? ? ```
? ? - 檢查最后一個(gè)元素是否是目標(biāo)值，如果是，返回其索引。

8. **目標(biāo)值不在數(shù)組中**：
? ? ```python
? ? return -1
? ? ```
? ? - 如果目標(biāo)值不存在于數(shù)組中，返回-1。

9. **示例數(shù)組和目標(biāo)值**：
? ? ```python
? ? arr = [10, 22, 35, 40, 45, 50, 80, 82, 85, 90, 100]
? ? x = 85
? ? ```

10. **調(diào)用Fibonacci查找函數(shù)**：
? ? ```python
? ? result = fibonacci_search(arr, x)
? ? ```

11. **打印結(jié)果**：
? ? ```python
? ? if result != -1:
? ? ? ? print(f"元素 {x} 在數(shù)組中的索引為 {result}")
? ? else:
? ? ? ? print("元素不在數(shù)組中")
? ? ```
? ? - 根據(jù)查找結(jié)果打印相應(yīng)的消息。

希望這個(gè)解釋能幫助你理解Fibonacci查找算法及其實(shí)現(xiàn)過程！

### Fibonacci查找的最好情況和平均情況

#### 最好情況
在最好情況下，Fibonacci查找的時(shí)間復(fù)雜度是 \(O(1)\)。這種情況發(fā)生在以下情形之一：
1. **目標(biāo)值在數(shù)組的初始位置**：如果目標(biāo)值位于數(shù)組的第一個(gè)位置，我們只需一次比較即可找到目標(biāo)值。
2. **目標(biāo)值恰好位于當(dāng)前檢查點(diǎn)**：如果每次計(jì)算的檢查點(diǎn)位置剛好是目標(biāo)值所在的位置，我們可以在最少的比較次數(shù)內(nèi)找到目標(biāo)值。

#### 平均情況
在平均情況下，Fibonacci查找的時(shí)間復(fù)雜度約為 \(O(\log n)\)。這是因?yàn)樵撍惴ㄔ诿恳徊蕉紝⑺阉鞣秶s小到一個(gè)與Fibonacci數(shù)有關(guān)的子范圍，類似于二分查找。

具體分析：
- Fibonacci查找的核心思想是將數(shù)組分割成較大和較小的兩部分，這兩部分的大小近似于連續(xù)的Fibonacci數(shù)。
- 每次分割后，算法會(huì)遞歸地在較小的子數(shù)組中繼續(xù)查找，這個(gè)過程類似于二分查找，但每次分割的位置不是中點(diǎn)，而是基于Fibonacci數(shù)。

### 對(duì)比二分查找
- **二分查找**：每次都將數(shù)組一分為二，分割點(diǎn)總是中間位置。時(shí)間復(fù)雜度是 \(O(\log n)\)。
- **Fibonacci查找**：每次的分割點(diǎn)是基于Fibonacci數(shù)，分割出來的兩個(gè)子數(shù)組的大小比為黃金分割比（大約是1.618:1）。時(shí)間復(fù)雜度同樣為 \(O(\log n)\)，但在某些特定情況下（例如某些硬件架構(gòu)），可能會(huì)更高效。

### 總結(jié)
- **最好情況**： \(O(1)\)，發(fā)生在目標(biāo)值在數(shù)組的初始位置或檢查點(diǎn)位置。
- **平均情況**： \(O(\log n)\)，與二分查找的時(shí)間復(fù)雜度相同，但在某些特定情況下，Fibonacci查找可能更高效。

Fibonacci查找與二分查找的主要區(qū)別在于分割點(diǎn)的選擇。雖然它們的平均時(shí)間復(fù)雜度相同，但在特定場(chǎng)景下，Fibonacci查找可能具有一定優(yōu)勢(shì)。

### 學(xué)生與老師的課堂討論：Fibonacci查找的最壞情況分析

#### 學(xué)生A：老師，什么是Fibonacci查找啊？🤔

#### 老師：Fibonacci查找是一種結(jié)合了Fibonacci數(shù)列和二分查找思想的搜索算法。它主要用于在有序向量中查找目標(biāo)值，比普通的二分查找更高效一些。

#### 學(xué)生B：那它和二分查找有什么不同呢？🧐

#### 老師：區(qū)別在于分割點(diǎn)的選擇。二分查找總是選擇中間點(diǎn)，而Fibonacci查找則使用Fibonacci數(shù)列中的位置來選擇分割點(diǎn)。這樣做可以使得查找過程在某些情況下更快。

#### 學(xué)生C：那最壞情況下，成功查找和失敗查找的比較次數(shù)一樣嗎？🤨

#### 老師：是的，最壞情況下，無論成功還是失敗，Fibonacci查找的比較次數(shù)都是一樣的。我們可以通過幾個(gè)具體的例子來理解這一點(diǎn)。

### 例子1：查找成功

#### 老師：假設(shè)我們有一個(gè)有序向量\[1, 3, 7, 15, 31, 63, 127\]，我們要查找值31。

#### 學(xué)生A：那我們?cè)撛趺醋瞿?#xff1f;

#### 老師：我們使用Fibonacci數(shù)列來選擇分割點(diǎn)。首先，我們找到小于或等于向量長(zhǎng)度的最大Fibonacci數(shù)，這里是8（F8 = 21，而F7 = 13，小于等于7）。

#### 學(xué)生B：然后呢？

#### 老師：我們用F8 = 21來分割向量，但因?yàn)橄蛄块L(zhǎng)度只有7，所以我們選擇位置6（21 - 13 = 8，8 - 1 = 7，超出范圍）。我們選擇F7 = 13的分割點(diǎn)，也就是位置4（63）。

#### 學(xué)生C：63比31大，所以我們?cè)谧筮吚^續(xù)查找，對(duì)嗎？🤔

#### 老師：對(duì)的。接下來，我們使用F6 = 8（13 - 8 = 5，5 - 1 = 4），選擇位置2（7）。

#### 學(xué)生A：7比31小，所以我們?cè)谟疫叢檎?。接下來?#xff1f;

#### 老師：我們用F5 = 5（8 - 5 = 3，3 - 1 = 2），選擇位置3（15）。

#### 學(xué)生B：15比31小，所以我們繼續(xù)向右查找。剩下的就是位置4（31）。

#### 老師：沒錯(cuò)，最后一步，我們找到31，總共進(jìn)行了4次比較。

### 例子2：查找失敗

#### 老師：現(xiàn)在我們查找值64，還是在同樣的有序向量\[1, 3, 7, 15, 31, 63, 127\]。

#### 學(xué)生C：我們又要用Fibonacci數(shù)列分割，對(duì)嗎？

#### 老師：對(duì)的，步驟和之前相同。首先選擇位置4（63）。

#### 學(xué)生A：63比64小，我們繼續(xù)向右查找。接下來是位置6（127）。

#### 老師：對(duì)，但127比64大，所以我們?cè)谧筮吚^續(xù)查找，剩下位置5（空）。

#### 學(xué)生B：這就失敗了，總共也是4次比較。

### 例子3：查找成功邊界值

#### 老師：我們?cè)俨檎乙粋€(gè)有趣的值，比如1或127。

#### 學(xué)生C：查找1應(yīng)該和查找31類似吧？我們會(huì)選擇位置4（63），然后向左查找位置2（7），再向左查找位置1（3），最后找到位置0（1）。

#### 老師：很好，總共也是4次比較。同樣地，查找127會(huì)向右逐步縮小范圍，最終也是4次比較。

### 總結(jié)

#### 學(xué)生A：所以無論成功還是失敗，最壞情況下，Fibonacci查找的比較次數(shù)是一樣的，對(duì)嗎？

#### 老師：沒錯(cuò)，這就是Fibonacci查找的一個(gè)重要特性。通過使用Fibonacci數(shù)列，我們可以確保在最壞情況下，比較次數(shù)是相同的，從而提供了穩(wěn)定的性能。

#### 學(xué)生B：明白了！這樣講解真的很有幫助！😊?

#### 老師：很高興你們能理解。如果還有其他問題，隨時(shí)提問哦！

?