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響應(yīng)面（Response Surface Methodology，RSM）分析是一種常用的統(tǒng)計方法，用于研究和優(yōu)化生產(chǎn)過程中的影響因素。通過建立數(shù)學(xué)模型來描述因素與響應(yīng)之間的關(guān)系，RSM可以幫助我們識別并優(yōu)化影響因素的設(shè)置，以達到最佳的生產(chǎn)結(jié)果（點擊文末“閱讀原文”獲取完整代碼數(shù)據(jù)）。

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在本研究中，我們將幫助客戶應(yīng)用R語言中的響應(yīng)面分析技術(shù)來探索和優(yōu)化生產(chǎn)過程中的關(guān)鍵影響因素。通過收集實驗數(shù)據(jù)并建立合適的數(shù)學(xué)模型，我們將評估各個因素對于生產(chǎn)過程的影響，并通過優(yōu)化因素水平來達到最佳的生產(chǎn)效果。同時，我們將針對交互作用效應(yīng)進行進一步的分析，以深入理解影響因素之間的相互作用對生產(chǎn)結(jié)果的影響。

通過這項研究，我們期望為生產(chǎn)過程的優(yōu)化和改進提供有價值的信息和指導(dǎo)。通過響應(yīng)面分析方法，我們可以更好地理解和管理生產(chǎn)過程中的關(guān)鍵影響因素，并為提高生產(chǎn)效率、降低成本和提升產(chǎn)品質(zhì)量做出貢獻。

1、響應(yīng)面分析與優(yōu)化設(shè)計

試驗設(shè)計與優(yōu)化方法，都未能給出直觀的圖形，因而也不能憑直覺觀察其最優(yōu)化點，雖然能找出最優(yōu)值，但難以直觀地判別優(yōu)化區(qū)域。為此響應(yīng)面分析法（也稱響應(yīng)曲面法）應(yīng)運而生。響應(yīng)面分析也是一種最優(yōu)化方法，它是將體系的響應(yīng)作為一個或多個因素的函數(shù)，運用圖形技術(shù)將這種函數(shù)關(guān)系顯示出來，以供我們憑借直覺的觀察來選擇試驗設(shè)計中的最優(yōu)化條件．

顯然，要構(gòu)造這樣的響應(yīng)面并進行分析以確定最優(yōu)條件或?qū)ふ易顑?yōu)區(qū)域，首先必須通過大量的測試驗數(shù)據(jù)建立一個合適的數(shù)學(xué)模型（建模），然后再用此數(shù)學(xué)模型作圖。那么我們來看看響應(yīng)面分析的主要建模方法。

2、響應(yīng)面建模數(shù)學(xué)方法

根據(jù)響應(yīng)逼近函數(shù)形式的不同，響應(yīng)面建模方法主要分為多項式回歸法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、Kriging函數(shù)法和徑向基函數(shù)法等，各種方法都有一定的局限性。

實例

我們將要使用的一個實例就是：工程師有興趣在確定在哪些條件下運作的生產(chǎn)過程是最大化。這兩個變量可以控制的影響的生產(chǎn)過程：在反應(yīng)時間(x1)和反應(yīng)溫度(x2)。工程師目前的操作條件是反應(yīng)時間 35 分鐘，溫度 155oF，生產(chǎn)率為 40%。這不可能是最佳區(qū)域，因此她擬合了一個一階模型。

首先，擬合了一個一階模型，以檢驗響應(yīng)變量與溫度和時間因素之間的真實函數(shù)是否接近于線性函數(shù)。

設(shè)立一個模型的回應(yīng)曲面

首先收集并分析 B1 區(qū)塊的數(shù)據(jù)，然后添加 B2 區(qū)塊并進行新的分析。在大多數(shù)情況下，可以通過對 k 個自變量的水平進行編碼來簡化參數(shù)估計的計算。為了創(chuàng)建一個編碼數(shù)據(jù)集，我們將使用以下公式：

Chemact, x1 ~(Time - 85)/5, x2 ~(Temp - 175)/5)
CR[1:7,]

coded.data（轉(zhuǎn)換預(yù)測值并用編碼版本替換這些變量） 在第一階段，使用以下命令擬合一階模型：

rsm(Yield~FO(x1,x2),data =

由于擬合度明顯不足（p 值 = 0.01），因此應(yīng)使用高階模型。擬合模型沒有任何特征允許我們估計響應(yīng)變量的值。由于模型擬合中沒有二次項或交互項，變量 x1 和 x2 不顯著。因此，交互項被包含在內(nèi)：

CR.rsm1.5 <- update(
summary(CR.rsm1.5)

同樣，在這種情況下，擬合度的缺失是顯著的，p 值 = 0.005。為了建立二階模型，我們加入了模塊 2 的數(shù)據(jù)。這可以使用 "SO(x1,x2) "來完成，其中包括二次項和交互項：

CR. Yield ~ Block + SO(x1, x2 
summary(CR.rsm2)

現(xiàn)在，擬合不顯著（p 值 = 0.69），即二階模型很好地擬合了數(shù)據(jù)。還可以看出，擬合模型的靜止點位于（0.37; 0.33），即最大值點。

可以使用 lm 函數(shù)（線性模型）或 rsm 函數(shù)（響應(yīng)面方法）來構(gòu)建水平曲線和響應(yīng)面。

fit.model <- rs me,Temp))
contour(fit.model, " col = inbw(40))

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有限混合模型聚類FMM、廣義線性回歸模型GLM混合應(yīng)用分析威士忌市場和研究專利申請數(shù)據(jù)

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可以看出，當 x1（時間）的值接近 85 分鐘和 x2（溫度）的值接近 175oF 時，響應(yīng)變量的值達到最大。如上所述，我們可以更精確地找到方差分析得出的靜止點，即 x1 = 86.86148 和 x2 = 176.67190。

最后是響應(yīng)面圖：

psp(fitodel,~Time+Temp)

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本文選自《R語言響應(yīng)面（RSM）、線性模型lm分析生產(chǎn)過程影響因素可視化》。

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