在上節(jié)，有個問題：向量分量的轉換方式 與 新舊基底的轉換方式相反

用例子來感受一下，

空間中一向量V，即該空間的一個基底：e1、e2

v = e1 + e2

現(xiàn)把基底 e1 、 e2 放大兩倍。變成?

基向量放大了兩倍， 但對于向量v? ，其向量組件縮小了兩倍。
它們兩個 做了相反的事， 基向量放大，? 某向量的向量組件縮小。? 但V是不變的。

當使用新的基向量測量V時，V看起來更小，因為基向量變大了兩倍

另一個例子：
舊基底：e1 、 e2 ； 新基底：。?

向量V

V 由大約相等的部分 e1 、e2組成， 且V與e1、e2的夾角大致相等。 意味著每個方向上的組件大致相同；

現(xiàn)順時針選擇這對基底， 使得V與的夾角? 大于 V與的夾角。? ?V不變

但V現(xiàn)在與相比，V更接近?，? 這時，組件做了相反的事，V = x?+y

x肯定是 < y 的

回到上節(jié)最后那部分的內(nèi)容，

當向量分量的行為方式? 與 基向量的行為? 相反 時，當基變大時，這是 完全有意義的。

意義：當基變大時，分量會縮小； 當基底向一個方向旋轉時，組件 會向另一個方向旋轉。

無論基底做什么，組件都會做 相反 的事。

通過這兩個例子， 就能對2D中會發(fā)生這種相反的行為有了一定直覺。

那是否是在任何維度都如此呢？

證明 ：（當然也是針對向量，舊基、新基的行為，組件的行為）

利用這個，以及之前的前向變換和后向變換。

代入，化簡

以上就證明了，為從 舊組件 轉移到 新組件， 我們實際上是 使用了? 后向轉換(Backward)

類似的，從新組件 轉移到舊組件， 使用 向前轉換（Forward）

現(xiàn)在因為向量分量的行為? 與? 基向量相反，

我們說 向量分量 是 Contra-variant

（向量是 逆變張量? vectors are contravariant tensors）

規(guī)定：

?上述形式，改為：

這里向量V 已經(jīng)被我們用 新基的線性組合或者舊基的線性組合寫出，

但這些向量組件，因為它們是 CONTRA-variant。

我們將在編寫方式上做點? 改變，

把組件()的索引i寫到字母v右上方，即??

通過寫在右上角，提醒 我們 組件是逆變的。

注意哦，把系數(shù)的i放到右上角， 其仍然是索引值，表示第 i 個，而不是 指數(shù)

基向量的索引是在右下角， 向量組件的索引在右上角，在某種程度上提醒了它們的行為方式相反