1143. 最長(zhǎng)公共子序列

給定兩個(gè)字符串 text1 和 text2，返回這兩個(gè)字符串的最長(zhǎng) 公共子序列 的長(zhǎng)度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一個(gè)字符串的 子序列 是指這樣一個(gè)新的字符串：它是由原字符串在不改變字符的相對(duì)順序的情況下刪除某些字符（也可以不刪除任何字符）后組成的新字符串。

• 例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。

兩個(gè)字符串的 公共子序列 是這兩個(gè)字符串所共同擁有的子序列。

示例 1：

輸入：text1 = “abcde”, text2 = “ace”
輸出：3
解釋：最長(zhǎng)公共子序列是 “ace” ，它的長(zhǎng)度為 3 。

示例 2：

輸入：text1 = “abc”, text2 = “abc”
輸出：3
解釋：最長(zhǎng)公共子序列是 “abc” ，它的長(zhǎng)度為 3 。

示例 3：

輸入：text1 = “abc”, text2 = “def”
輸出：0
解釋：兩個(gè)字符串沒有公共子序列，返回 0 。

提示：

• 1 <= text1.length, text2.length <= 1000
• text1 和 text2 僅由小寫英文字符組成。

思路：(動(dòng)態(tài)規(guī)劃)

對(duì)于兩個(gè)子序列 $S1$ 和 $S2$，找出它們最長(zhǎng)的公共子序列。

定義一個(gè)二維數(shù)組 dp 用來存儲(chǔ)最長(zhǎng)公共子序列的長(zhǎng)度，其中 dp[i][j] 表示 $S1$ 的前 i 個(gè)字符與 $S2$ 的前 j 個(gè)字符最長(zhǎng)公共子序列的長(zhǎng)度。考慮 $S{1}_i$與 $S{2}_j$ 值是否相等，分為兩種情況：

• 當(dāng) $S{1}_i==S{2}_j$ 時(shí)，那么就能在 $S1$ 的前 i -1 個(gè)字符與 $S2$ 的前 j -1 個(gè)字符最長(zhǎng)公共子序列的基礎(chǔ)上再加上 $S{1}_i$ 這個(gè)值，最長(zhǎng)公共子序列長(zhǎng)度加 1，即 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
• 當(dāng) $S{1}_i!=S{2}_j$ 時(shí)，此時(shí)最長(zhǎng)公共子序列為 $S1$的前 i -1 個(gè)字符和 S2 的前 j 個(gè)字符最長(zhǎng)公共子序列，或者 $S1$ 的前 i 個(gè)字符和 $S2$ 的前 j -1 個(gè)字符最長(zhǎng)公共子序列，取它們的最大者，即 dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i][j-1] }。

綜上，最長(zhǎng)公共子序列的 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程 為：

$$dp[i][j]=\{\begin{array}{rr}dp[i?1][j?1]+1& S{1}_i==S{2}_j\\ \max (dp[i?1][j],dp[i][j?1])& S{1}_i<>S{2}_j\end{array}$$

對(duì)于長(zhǎng)度為 m 的序列 S1 和長(zhǎng)度為 n 的序列 S2，dp[m][n] 就是序列 S1 和序列 S2 的最長(zhǎng)公共子序列長(zhǎng)度。

與最長(zhǎng)遞增子序列 相比，最長(zhǎng)公共子序列有以下不同點(diǎn)：

• 針對(duì)的是兩個(gè)序列，求它們的最長(zhǎng)公共子序列。
• 在最長(zhǎng)遞增子序列中，dp[i] 表示以 $S_i$ 為結(jié)尾的最長(zhǎng)遞增子序列長(zhǎng)度，子序列必須包含 $S_i$ ；在最長(zhǎng)公共子序列中，dp[i][j] 表示 S1 中前 i 個(gè)字符與 S2 中前 j 個(gè)字符的最長(zhǎng)公共子序列長(zhǎng)度，不一定包含 $S{1}_i$ 和 $S{2}_j$。
• 在求最終解時(shí)，最長(zhǎng)公共子序列中 dp[m][n] 就是最終解，而最長(zhǎng)遞增子序列中 dp[n] 不是最終解，因?yàn)橐?$S_n$ 為結(jié)尾的最長(zhǎng)遞增子序列不一定是整個(gè)序列最長(zhǎng)遞增子序列，需要遍歷一遍 dp 數(shù)組找到最大者。

代碼：(Java)

public class LongestCommonSubsequence {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubString text1 = "abcde";String text2 = "ace";System.out.println(longestCommonSubsequence(text1,text2));}public static int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {int m = text1.length();int n = text2.length();int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];for(int i = 1; i <= m; i++) {for(int j = 1; j <= n; j++) {if(text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;}else {dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);}}}return dp[m][n];}
}

運(yùn)行結(jié)果：

復(fù)雜度分析：

• 時(shí)間復(fù)雜度：$O(mn)$，需要遍歷兩個(gè)字符串。
• 空間復(fù)雜度：$O(mn)$，需要m*n的二維數(shù)組。

注：僅供學(xué)習(xí)參考！

題目來源：力扣。