目錄

一、傅里葉變換

1.1 傅里葉變換概念

1.2?opencv中傅里葉變換

二、實(shí)驗(yàn)代碼

一、環(huán)境

本文使用環(huán)境為：

• Windows10
• Python 3.9.17
• opencv-python 4.8.0.74

二、傅里葉變換

2.1 傅里葉變換概念

傅里葉變換（Fourier Transform）是一種在數(shù)學(xué)、物理和工程領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的算法，用于分析信號(hào)或數(shù)據(jù)的頻率成分。它是由法國(guó)數(shù)學(xué)家約瑟夫·傅里葉（Joseph Fourier）于19世紀(jì)初提出的，因此得名。傅里葉變換的基本思想是將一個(gè)時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換為頻域信號(hào)，或者將一個(gè)頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換回時(shí)域信號(hào)。這種轉(zhuǎn)換可以幫助我們更好地理解和分析信號(hào)的特性，例如幅度、頻率和相位等。

傅里葉變換可以分為連續(xù)傅里葉變換（Continuous Fourier Transform，CFT）和離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）。連續(xù)傅里葉變換用于處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)，而離散傅里葉變換用于處理離散時(shí)間信號(hào)。在實(shí)際應(yīng)用中，由于計(jì)算機(jī)處理的是離散數(shù)據(jù)，因此離散傅里葉變換更為常用。

離散傅里葉變換（DFT）的基本步驟如下：

1. 對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行采樣，得到離散時(shí)間信號(hào)。采樣頻率通常為原始信號(hào)頻率的整數(shù)倍，以滿(mǎn)足奈奎斯特采樣定理。

2. 對(duì)離散時(shí)間信號(hào)進(jìn)行窗函數(shù)處理。窗函數(shù)的作用是減小信號(hào)截?cái)嘁鸬念l譜泄漏，同時(shí)減小頻譜旁瓣的影響。常用的窗函數(shù)有矩形窗、漢寧窗和海寧窗等。

3. 計(jì)算離散時(shí)間信號(hào)的離散傅里葉變換。這可以通過(guò)快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，FFT）算法來(lái)實(shí)現(xiàn)，以提高計(jì)算效率。快速傅里葉變換是一種基于蝶形運(yùn)算的高效算法，其計(jì)算復(fù)雜度為O(nlogn)，其中n為信號(hào)長(zhǎng)度。

4. 對(duì)離散傅里葉變換的結(jié)果進(jìn)行分析。通過(guò)觀察頻譜圖，可以了解信號(hào)的頻率分布、幅值和相位等信息。此外，還可以利用傅里葉變換的性質(zhì)進(jìn)行信號(hào)處理，例如濾波、降噪和壓縮等。

傅里葉變換具有以下重要性質(zhì)：

1. 線(xiàn)性性質(zhì)：傅里葉變換滿(mǎn)足線(xiàn)性疊加原理，即兩個(gè)信號(hào)的傅里葉變換之和等于這兩個(gè)信號(hào)分別進(jìn)行傅里葉變換后再相加的結(jié)果。

2. 共軛對(duì)稱(chēng)性：對(duì)于實(shí)數(shù)信號(hào)，其傅里葉變換的共軛復(fù)數(shù)表示了信號(hào)的頻譜。這意味著實(shí)數(shù)信號(hào)的頻譜是以原點(diǎn)為中心的對(duì)稱(chēng)分布。

3. 時(shí)移性質(zhì)：對(duì)于任意實(shí)數(shù)τ，信號(hào)x(t)與其自身延時(shí)τ的信號(hào)x(t-τ)的傅里葉變換之比等于e^(j2πτ)，其中j為虛數(shù)單位。這表明時(shí)移操作可以通過(guò)乘以復(fù)指數(shù)因子來(lái)實(shí)現(xiàn)。

4. 頻移性質(zhì)：對(duì)于任意實(shí)數(shù)ω，信號(hào)x(t)與其頻率為ω的信號(hào)cos(2πωt)的乘積的傅里葉變換等于X(f)與δ(f-ω)的卷積，其中δ(f)表示狄拉克δ函數(shù)。這表明頻率調(diào)制可以通過(guò)乘以復(fù)指數(shù)因子和濾波操作來(lái)實(shí)現(xiàn)。

5. 能量守恒：離散傅里葉變換的能量守恒性質(zhì)表明，信號(hào)的總能量在時(shí)域和頻域之間是平衡的。這意味著在頻域中去除某些頻率分量后，信號(hào)的總能量會(huì)相應(yīng)地轉(zhuǎn)移到其他頻率分量上。

總之，傅里葉變換是一種強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，廣泛應(yīng)用于通信、圖像處理、音頻處理、生物信息學(xué)等領(lǐng)域。通過(guò)傅里葉變換，我們可以更好地理解和分析信號(hào)的特性，從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的濾波、降噪、壓縮等功能。

2.2?opencv中傅里葉變換

在數(shù)字圖像處理中，空間域?yàn)V波和頻域?yàn)V波都是常見(jiàn)的方法，但它們之間存在一些關(guān)鍵的區(qū)別。

1. 空間域?yàn)V波：這種方法直接對(duì)圖像進(jìn)行操作，通常使用各種模板與圖像進(jìn)行卷積運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)圖像的處理。由于其直接在圖像空間上操作，這種方法的實(shí)現(xiàn)相對(duì)簡(jiǎn)單和直觀。

2. 頻域?yàn)V波：頻域?yàn)V波首先將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻域，然后對(duì)頻率域中的圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，最后再將其轉(zhuǎn)換回空間域。這種處理方法的優(yōu)點(diǎn)在于，某些圖像處理任務(wù)在頻域中比在空間域中更為簡(jiǎn)單。例如，根據(jù)卷積定理，可以通過(guò)傅立葉變換將空域卷積濾波變換為頻域?yàn)V波。此外，頻域?yàn)V波允許設(shè)計(jì)者使用復(fù)雜的濾波器設(shè)計(jì)，這可能在空間域中難以實(shí)現(xiàn)。然而，需要注意的是，如果選用的頻域?yàn)V波器具有陡峭的變化，可能會(huì)導(dǎo)致輸出圖像產(chǎn)生“振鈴”現(xiàn)象，這是由于灰度劇烈變化處產(chǎn)生的。

在OpenCV庫(kù)中，傅里葉變換和逆傅里葉變換的實(shí)現(xiàn)主要依賴(lài)于**cv2.dft()和cv2.idft()**兩個(gè)函數(shù)。在進(jìn)行傅里葉變換時(shí)，你需要將原始圖像轉(zhuǎn)換為np.float32格式。

具體來(lái)說(shuō)，cv2.dft()函數(shù)的定義是：cv2.dft(原始圖像，轉(zhuǎn)換標(biāo)識(shí))。其中，原始圖像必須是np.float32格式，轉(zhuǎn)換標(biāo)識(shí)用于說(shuō)明是傅里葉變換還是傅里葉逆變換。此函數(shù)返回與前一個(gè)相同的結(jié)果，但是有兩個(gè)通道。第一個(gè)通道是結(jié)果的實(shí)部，第二個(gè)通道是結(jié)果的虛部。

另一方面，cv2.idft()函數(shù)被用來(lái)執(zhí)行逆傅里葉變換。例如，如果你有一個(gè)通過(guò)傅里葉變換得到的復(fù)數(shù)矩陣，你可以使用這個(gè)函數(shù)來(lái)恢復(fù)原始圖像。

需要注意的是，OpenCV提供的這兩個(gè)函數(shù)的效率較高（比OpenCV自帶的函數(shù)快3倍）。這是因?yàn)樗鼈儗?shí)現(xiàn)了一種稱(chēng)為快速傅立葉變換（FFT）的快速算法。

三、實(shí)驗(yàn)代碼

from __future__ import print_function
import sysimport cv2 as cv
import numpy as npdef print_help():print('''代碼演示離散傅里葉變換，同時(shí)也顯示幅度譜''')def main(argv):print_help()I = cv.imread("d:/Data/1.jpg", cv.IMREAD_GRAYSCALE)if I is None:print('Error opening image')return -1## [expand]rows, cols = I.shapem = cv.getOptimalDFTSize( rows )n = cv.getOptimalDFTSize( cols )# 把圖像邊界拓展下padded = cv.copyMakeBorder(I, 0, m - rows, 0, n - cols, cv.BORDER_CONSTANT, value=[0, 0, 0])## [complex_and_real]planes = [np.float32(padded), np.zeros(padded.shape, np.float32)]complexI = cv.merge(planes)         # Add to the expanded another plane with zeros## [complex_and_real]## [dft]cv.dft(complexI, complexI)         # this way the result may fit in the source matrix## [dft]# compute the magnitude and switch to logarithmic scale# = > log(1 + sqrt(Re(DFT(I)) ^ 2 + Im(DFT(I)) ^ 2))## [magnitude]cv.split(complexI, planes)                   # planes[0] = Re(DFT(I), planes[1] = Im(DFT(I))cv.magnitude(planes[0], planes[1], planes[0])# planes[0] = magnitudemagI = planes[0]## [magnitude]## [log]matOfOnes = np.ones(magI.shape, dtype=magI.dtype)cv.add(matOfOnes, magI, magI) #  switch to logarithmic scale# 取log是為了拉伸值cv.log(magI, magI)## [log]## [crop_rearrange]magI_rows, magI_cols = magI.shape# crop the spectrum, if it has an odd number of rows or columnsmagI = magI[0:(magI_rows & -2), 0:(magI_cols & -2)]cx = int(magI_rows/2)cy = int(magI_cols/2)q0 = magI[0:cx, 0:cy]         # Top-Left - Create a ROI per quadrantq1 = magI[cx:cx+cx, 0:cy]     # Top-Rightq2 = magI[0:cx, cy:cy+cy]     # Bottom-Leftq3 = magI[cx:cx+cx, cy:cy+cy] # Bottom-Righttmp = np.copy(q0)               # 交換象限（左上和右下交換）magI[0:cx, 0:cy] = q3magI[cx:cx + cx, cy:cy + cy] = tmptmp = np.copy(q1)               # 交換象限（右上和左下交換）magI[cx:cx + cx, 0:cy] = q2magI[0:cx, cy:cy + cy] = tmp# 歸一化到 [0, 1]范圍內(nèi)cv.normalize(magI, magI, 0, 1, cv.NORM_MINMAX)# 原圖得灰度圖cv.imshow("Input Image"       , I   )# 幅度譜，也叫頻譜cv.imshow("spectrum magnitude", magI)cv.waitKey()if __name__ == "__main__":main(sys.argv[1:])

原圖：

灰度圖：

幅度譜如下：中間是高頻區(qū)域、邊界是低頻區(qū)域、幅度譜是關(guān)于圖像中心對(duì)稱(chēng)的。