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本原多項式定義

一個 m 階的不可約多項式 f ( x ) \large f(x) f(x),如果 f ( x ) \large f(x) f(x) 整除 x n + 1 \large x^n+ 1 xn+1 的最小正整數(shù) n 滿足 n = 2 m ? 1 \large n=2^m-1 n=2m?1 ,則該多項式是本原的。

參考定義(百度上的定義):
設(shè) f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ? + a n x n \large f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n f(x)=a0?+a1?x+a2?x2+?+an?xn是唯一分解整環(huán) D D D上的多項式,如果 gcd ? ( a 0 + a 1 + ? + a n ) = 1 \gcd (a_0+a_1+\cdots+a_n)=1 gcd(a0?+a1?+?+an?)=1 ,則稱 f ( x ) \large f(x) f(x) D D D上的一個本原多項式 。(符號 gcd ? ( ) \gcd() gcd()表示最大公約數(shù))
本原多項式滿足以下條件:

  1. f ( x ) \large f(x) f(x)是既約的,即不能再分解因式;
  2. f ( x ) \large f(x) f(x)可整除 x m + 1 \large x^m+1 xm+1,這里的 m = 2 n ? 1 \large m=2^n-1 m=2n?1
  3. f ( x ) \large f(x) f(x)不能整除 x q + 1 \large x^q+1 xq+1,這里 q < m \large q<m q<m

那么什么是上面說的整除呢?

先插一個百度上查到的一個本原多項式表的圖(應(yīng)該是 GF(2)上的本原多項式)
在這里插入圖片描述
以第一個階為 2 的本原多項式為例 f ( x ) = x 2 + x + 1 f(x)=x^2+x+1 f(x)=x2+x+1

我們可以得到
x 0 = 1 x 1 = x x 2 = x + 1 x 3 = x 0 = 1 x^0=1\\ x^1 = x \\ x^2 = x+1 \\ x^3 = x^0=1 \\ x0=1x1=xx2=x+1x3=x0=1
所以 n = 3 n=3 n=3 f ( x ) f(x) f(x) 整除 x n + 1 ( x 3 + 1 = 1 + 1 = 0 ) x^n+1 \space\space\space(x^3+1=1+1=0) xn+1???(x3+1=1+1=0)
3 = 2 2 ? 1 3 = 2^2-1 3=22?1 并不存在任意正整數(shù) q < 3 q<3 q<3 使得 f ( x ) f(x) f(x) 整除 x n + 1 x^n+1 xn+1 。

以上為我個人理解

http://www.risenshineclean.com/news/55178.html

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