約瑟夫森效應(yīng)

約瑟夫森理論

約瑟夫森方程

（1）每一個(gè)庫柏對都可視為質(zhì)量為2m、電量為2e的復(fù)合載流子，定向運(yùn)動(dòng)速度v就是庫柏相對質(zhì)心的速度。處于超導(dǎo)態(tài)的庫柏對凝聚于同一量子態(tài)，運(yùn)載電流時(shí)具有完全相同的動(dòng)量P。用微觀波函數(shù)來描述所有庫柏對的運(yùn)動(dòng)，即
$$\begin{array}{r}\psi =\sqrt[1/2]{n_c}exp(i?)\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
式中，n_c=ΨΨ^*表示庫柏對的體密度，φ是波函數(shù)的相位。根據(jù)量子力學(xué)，波函數(shù)Ψ滿足下面的薛定諤方程
$$\begin{array}{r}i?\frac{?\psi }{?t}=E\Psi \end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
其中，$?$是普朗克常量，$?$=h/2π，E是量子態(tài)的能量。
（2）隨著約瑟夫森結(jié)一端的庫柏對數(shù)量的增加，與此相對應(yīng)，約瑟夫森結(jié)另一端的庫柏對數(shù)量減少，由此可求得流過隧道結(jié)的超導(dǎo)電流密度為
$$\begin{array}{r}{J}_s=J_{c}sin\Delta ?=2e\frac{?n_{c_1}}{?t}\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
式中，2e為庫柏對兩個(gè)電子，并有
$$\begin{array}{r}{J}_s=\frac{2K}{?}2e\sqrt{n_{c_1}{n}_{c_2}}\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
J_c稱為隧道結(jié)的臨界電流密度，K是與隧道結(jié)特性有關(guān)的常數(shù)，$n_c$為庫柏對的體密度
位相差隨時(shí)間的變化率為
$$\begin{array}{r}\frac{?\Delta ?}{?t}=\frac{2e{V}_0}{?}\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
（3）實(shí)際上，除電位差$V_0$造成位相差的時(shí)間變化外，磁場也將造成位相差的空間變化。磁場可以穿過勢壘層，由于絕緣層厚度為d，磁場對超導(dǎo)體還有一個(gè)穿透深度$\lambda$，所以存在的磁場寬度為$\Lambda =2\lambda +d$。磁場和空間的位相差的關(guān)系滿足下列表達(dá)式
$$\begin{array}{r}\frac{?\Delta ?}{?x}=\frac{2e\Lambda }{?}{B}_y\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
$$\begin{array}{r}\frac{?\Delta ?}{?y}=\frac{2e\Lambda }{?}{B}_x\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
(3)完整的約瑟夫森方程
超導(dǎo)電流的計(jì)算：
$$\begin{array}{r}{J}_s=J_{c}sin\Delta ?\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
位相差隨時(shí)間變化
$$\begin{array}{r}\frac{?\Delta ?}{?t}=\frac{2e{V}_0}{?}\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
磁場影響位相差的空間變化
$$\begin{array}{r}\frac{?\Delta ?}{?x}=\frac{2e\Lambda }{?}{B}_y\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
$$\begin{array}{r}\frac{?\Delta ?}{?y}=\frac{2e\Lambda }{?}{B}_x\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$

直流約瑟夫森效應(yīng)

定理：當(dāng)結(jié)兩端電壓為零時(shí)，兩個(gè)超導(dǎo)體波函數(shù)的位相差與時(shí)間無關(guān)，即可以存在一個(gè)超導(dǎo)電流，超導(dǎo)電流的大小由結(jié)兩端電子對波的位相差決定，其臨界電流密度為$J_s$。