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📃<2>知識(shí)講解：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)——AVL樹(shù)
??<3>開(kāi)發(fā)環(huán)境：Visual Studio 2022
💬<4>前言：AVL樹(shù)是對(duì)二叉搜索樹(shù)的嚴(yán)格高度控制，所以AVL樹(shù)的搜索效率很高，但是這是需要付出很大的代價(jià)的，要維護(hù)父親指針，和平衡因子。

目錄

一.AVL的概念

二. AVL樹(shù)節(jié)點(diǎn)及整體結(jié)構(gòu)的定義

?三. AVL樹(shù)的插入

1. 先按照二叉搜索樹(shù)的規(guī)則將節(jié)點(diǎn)插入到AVL樹(shù)中

2.根據(jù)插入的位置調(diào)整平衡因子

四.AVL樹(shù)的旋轉(zhuǎn)

1.左單旋

2.右單旋

3.左右雙旋

4.右左雙旋

5.總結(jié)：

五.AVL樹(shù)的刪除(了解)

六.AVL樹(shù)的性能

七.完整代碼及測(cè)試

---

一.AVL的概念

二叉搜索樹(shù)雖可以縮短查找的效率，但如果數(shù)據(jù)有序或接近有序二叉搜索樹(shù)將退化為單支樹(shù)，查
找元素相當(dāng)于在順序表中搜索元素，效率低下。因此，兩位俄羅斯的數(shù)學(xué)家G.M.Adelson-Velskii
和E.M.Landis在1962年發(fā)明了一種解決上述問(wèn)題的方法：當(dāng)向二叉搜索樹(shù)中插入新結(jié)點(diǎn)后，如果能保證每個(gè)結(jié)點(diǎn)的左右子樹(shù)高度之差的絕對(duì)值不超過(guò)1(需要對(duì)樹(shù)中的結(jié)點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整)，即可降低樹(shù)的高度，從而減少平均搜索長(zhǎng)度。

一棵AVL樹(shù)或者是空樹(shù)，或者是具有以下性質(zhì)的二叉搜索樹(shù)：

• 它的左右子樹(shù)都是AVL樹(shù)
• 左右子樹(shù)高度之差(簡(jiǎn)稱平衡因子)的絕對(duì)值不超過(guò)1(-1/0/1)

?

如果一棵二叉搜索樹(shù)是高度平衡的，它就是AVL樹(shù)。如果它有n個(gè)結(jié)點(diǎn)，其高度可保持在
O()，搜索時(shí)間復(fù)雜度O()

二. AVL樹(shù)節(jié)點(diǎn)及整體結(jié)構(gòu)的定義

//AVL樹(shù)結(jié)點(diǎn)
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(pair<K,V> kv):_kv(kv),_bf(0),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr){}pair<K, V> _kv;              //Key/Value數(shù)據(jù)int _bf;                     //平衡因子AVLTreeNode<K, V>* _left;    //結(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)AVLTreeNode<K, V>* _right;   //結(jié)點(diǎn)的右子樹(shù)AVLTreeNode<K, V>* _parent;  //結(jié)點(diǎn)的雙親
};//AVL樹(shù)定義
template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool insert(pair<K,V> kv){}
private:Node* _root = nullptr;
};

?三. AVL樹(shù)的插入

AVL樹(shù)就是在二叉搜索樹(shù)的基礎(chǔ)上引入了平衡因子，因此AVL樹(shù)也可以看成是二叉搜索樹(shù)。那么
AVL樹(shù)的插入過(guò)程可以分為兩步：

1. 按照二叉搜索樹(shù)的方式插入新節(jié)點(diǎn)
2. 調(diào)整節(jié)點(diǎn)的平衡因子

插入過(guò)程：

1. 先按照二叉搜索樹(shù)的規(guī)則將節(jié)點(diǎn)插入到AVL樹(shù)中

    bool insert(pair<K,V> kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* cur = _root;//記錄當(dāng)前結(jié)點(diǎn)Node* parent = nullptr;//記錄父親結(jié)點(diǎn)while (cur){if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}//找到了合適的位置，創(chuàng)建新節(jié)點(diǎn)，出入位置cur = new Node(kv);//修改新節(jié)點(diǎn)的指向if (kv.first < parent->_kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;//未完待續(xù)....}

2.根據(jù)插入的位置調(diào)整平衡因子

平衡因子：右子樹(shù)高度減去左子樹(shù)高度。

cur 插入后，parent 的平衡因子一定需要調(diào)整，在插入之前，pParent 的平衡因子分為三種情況：-1，0, 1, 分以下兩種情況：

1. ?如果cur插入到parent的左側(cè)，只需給parent的平衡因子-1即可
2. 如果cur插入到parent的右側(cè)，只需給parent的平衡因子+1即可

此時(shí)：parent的平衡因子可能有三種情況：0，正負(fù)1， 正負(fù)2

1. 如果parent的平衡因子為0，說(shuō)明插入之前parent的平衡因子為正負(fù)1，插入后被調(diào)整成0，此時(shí)滿足? AVL樹(shù)的性質(zhì)，插入成功。
2. 如果parent的平衡因子為正負(fù)1，說(shuō)明插入前parent的平衡因子一定為0，插入后被更新成正負(fù)1，此 時(shí)以parent為根的樹(shù)的高度增加，需要繼續(xù)向上更新。
3. 如果parent的平衡因子為正負(fù)2，則parent的平衡因子違反平衡樹(shù)的性質(zhì)，需要對(duì)其進(jìn)行旋轉(zhuǎn)處理。

while (parent){//cur插入到parent的左側(cè)if (parent->_left == cur){parent->_bf--;}else//cur插入到parent的右側(cè){parent->_bf++;}//需向上調(diào)整平衡因子if (parent->_bf == 1||parent->_bf==-1){cur = parent;parent = cur->_parent;}//無(wú)需向上調(diào)整平衡因子else if(parent->_bf==0){break;}//無(wú)需向上調(diào)整平衡因子，直接旋轉(zhuǎn)處理else if (parent->_bf == 2||parent->_bf==-2){//旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)之后平衡因子已經(jīng)平衡，可以直接推出break;}else//出現(xiàn)的其他的錯(cuò)誤情況{assert(0);}}

四.AVL樹(shù)的旋轉(zhuǎn)

如果在一棵原本是平衡的AVL樹(shù)中插入一個(gè)新節(jié)點(diǎn)，可能造成不平衡，此時(shí)必須調(diào)整樹(shù)的結(jié)構(gòu)，
使之平衡化。根據(jù)節(jié)點(diǎn)插入位置的不同，AVL樹(shù)的旋轉(zhuǎn)分為四種：

1.左單旋

新節(jié)點(diǎn)插入較高右子樹(shù)的右側(cè)

上圖在插入前，AVL樹(shù)是平衡的，新節(jié)點(diǎn)插入到60的右子樹(shù)中，30右子樹(shù)增加了一層，導(dǎo)致以60為根的二叉樹(shù)不平衡，要讓30平衡，只能將30右子樹(shù)的高度減少一層，左子樹(shù)增加一層，即將右子樹(shù)往上提，這樣30轉(zhuǎn)下來(lái)，因?yàn)?0比60小，只能將其放在60的左子樹(shù)，而如果60有左子樹(shù)，左子樹(shù)根的值一定大于30，小于60，只能將其放在30的右子樹(shù)，旋轉(zhuǎn)完成后，更新節(jié)點(diǎn)的平衡因子即可。在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，有以下幾種情況需要考慮：

• 60節(jié)點(diǎn)的左孩子可能存在，也可能不存在。
• 30可能是整棵樹(shù)根節(jié)點(diǎn)，也可能是子樹(shù)根節(jié)點(diǎn)。

? 如果是整棵樹(shù)根節(jié)點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)完成后，要更整棵樹(shù)新根節(jié)點(diǎn)；如果是子樹(shù)根節(jié)點(diǎn)，可能是某個(gè)節(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)，也可能是右子樹(shù)。

    void RotateL(Node* parent){//  a//     b//        c//找到需要旋轉(zhuǎn)的結(jié)點(diǎn)Node* curR = parent->_right;Node* curRL = curR->_left;//調(diào)整結(jié)點(diǎn)，并且修改其父親結(jié)點(diǎn)指針parent->_right = curRL;if (curRL)//可能為空{(diào)curRL->_parent = parent;}//在修改子樹(shù)根節(jié)點(diǎn)之前，保存子樹(shù)根節(jié)點(diǎn)的父親Node* pparent = parent->_parent;//修改子樹(shù)根節(jié)點(diǎn)curR->_left = parent;parent->_parent = curR;//子樹(shù)根節(jié)點(diǎn)有可能是整棵樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)if (pparent == nullptr){_root = curR;_root->_parent = nullptr;}else//子樹(shù)根節(jié)點(diǎn)不是整棵樹(shù)的根節(jié)點(diǎn){//還要看子樹(shù)是它父親的左孩子還是右孩子if (pparent->_left == parent){pparent->_left = curR;}else{pparent->_right = curR;}}//修改平衡因子curR->_bf = parent->_bf = 0;}

2.右單旋

新節(jié)點(diǎn)插入較高左子樹(shù)的左側(cè)

?右單旋過(guò)程和左單旋轉(zhuǎn)過(guò)程一模一樣僅僅只是反過(guò)來(lái)。

    void RotateR(Node* parent){Node* curL = parent->_left;Node* curLR = curL->_right;parent->_left = curLR;if (curLR){curLR->_parent = parent;}Node* pparent = parent->_parent;curL->_right = parent;parent->_parent = curL;if (pparent == nullptr){_root = curL;_root->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = curL;}else{pparent->_right = curL;}}curL->_bf = parent->_bf = 0;}

3.左右雙旋

新節(jié)點(diǎn)插入較高左子樹(shù)的右側(cè)---左右：先左單旋再右單旋

?將雙旋變成單旋后再旋轉(zhuǎn)，即：先對(duì)30進(jìn)行左單旋，然后再對(duì)90進(jìn)行右單旋，旋轉(zhuǎn)完成后再
考慮平衡因子的更新。

注意：旋轉(zhuǎn)之前，60的平衡因子可能是 -1 / 0 / 1，旋轉(zhuǎn)完成之后，根據(jù)情況對(duì)其他節(jié)點(diǎn)的平衡因子進(jìn)行調(diào)整。

?當(dāng)h=0,時(shí)60自己就是一個(gè)新插入的結(jié)點(diǎn)，此時(shí)他的平衡因子就是。

所以旋轉(zhuǎn)之前，需要保存curLR的平衡因子，旋轉(zhuǎn)完成之后，需要根據(jù)該平衡因子來(lái)調(diào)整其他節(jié)
點(diǎn)的平衡因子。

4.右左雙旋

右左雙旋和左右雙旋過(guò)程一模一樣，僅僅只是反過(guò)來(lái)。

void RotateRL(Node* parent){Node* curR = parent->_left;Node* curRL = curR->_right;int curRL_bf = curRL->_bf;RotateL(curR);RotateR(parent);if (curRL_bf == -1){parent->_bf = 0;curRL->_bf = 0;curR->_bf = 1;}else if (curRL_bf == 1){parent->_bf = -1;curRL->_bf = 0;curR->_bf = 1;}else if (curRL_bf == 0){parent->_bf = 0;curRL->_bf = 0;curR->_bf = 0;}else{assert(false);}}

5.總結(jié)：

假如以parent為根的子樹(shù)不平衡，即parent的平衡因子為2或者-2，分以下情況考慮
1. parent的平衡因子為2，說(shuō)明parent的右子樹(shù)高，設(shè)parent的右子樹(shù)的根為curR

• 當(dāng)curR的平衡因子為1時(shí)，執(zhí)行左單旋
• 當(dāng)curR的平衡因子為-1時(shí)，執(zhí)行右左雙旋

2. parent的平衡因子為-2，說(shuō)明parent的左子樹(shù)高，設(shè)parent的左子樹(shù)的根為curL

• 當(dāng)curL的平衡因子為-1是，執(zhí)行右單旋
• 當(dāng)curL的平衡因子為1時(shí)，執(zhí)行左右雙旋

旋轉(zhuǎn)完成后，原parent為根的子樹(shù)個(gè)高度降低，已經(jīng)平衡，不需要再向上更新。

        //調(diào)整平衡因子while (parent){if (parent->_left == cur){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 1||parent->_bf==-1)//需向上調(diào)整平衡因子{cur = parent;parent = cur->_parent;}else if(parent->_bf==0)//無(wú)需向上調(diào)整平衡因子{break;}else if (parent->_bf == 2||parent->_bf==-2)//無(wú)需向上調(diào)整平衡因子，直接旋轉(zhuǎn){if (parent->_bf == 2 && parent->_right->_bf == 1){RotateL(parent);//左單旋}else if (parent->_bf == -2 && parent->_left->_bf == -1){RotateR(parent);//右單旋}else if (parent->_bf == 2 && parent->_left->_bf == -1){RotateRL(parent);//右左雙旋}else if (parent->_bf == -2 && parent->_left ->_bf== 1){RotateLR(parent);//左右雙旋}else{assert(false);//其他錯(cuò)誤情況}break;}else{assert(0);}

五.AVL樹(shù)的刪除(了解)

因?yàn)锳VL樹(shù)也是二叉搜索樹(shù)，可按照二叉搜索樹(shù)的方式將節(jié)點(diǎn)刪除，然后再更新平衡因子，只不
錯(cuò)與刪除不同的時(shí)，刪除節(jié)點(diǎn)后的平衡因子更新，最差情況下一直要調(diào)整到根節(jié)點(diǎn)的位置。
具體實(shí)現(xiàn)學(xué)生們可參考《算法導(dǎo)論》或《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)-用面向?qū)ο蠓椒ㄅcC++描述》殷人昆版。

六.AVL樹(shù)的性能

AVL樹(shù)是一棵絕對(duì)平衡的二叉搜索樹(shù)，其要求每個(gè)節(jié)點(diǎn)的左右子樹(shù)高度差的絕對(duì)值都不超過(guò)1，這
樣可以保證查詢時(shí)高效的時(shí)間復(fù)雜度，即。但是如果要對(duì)AVL樹(shù)做一些結(jié)構(gòu)修改的操作，性能非常低下，比如：插入時(shí)要維護(hù)其絕對(duì)平衡，旋轉(zhuǎn)的次數(shù)比較多，更差的是在刪除時(shí)，有可能一直要讓旋轉(zhuǎn)持續(xù)到根的位置。因此：如果需要一種查詢高效且有序的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，而且數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為靜態(tài)的(即不會(huì)改變)，可以考慮AVL樹(shù)，但一個(gè)結(jié)構(gòu)經(jīng)常修改，就不太適合。

七.完整代碼及測(cè)試

AVL.hpp

#pragma once
#include<iostream>
#include<cassert>
using namespace std;template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(pair<K,V> kv):_kv(kv),_bf(0),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr){}pair<K, V> _kv;              //Key/Value數(shù)據(jù)int _bf;                     //平衡因子AVLTreeNode<K, V>* _left;    //結(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)AVLTreeNode<K, V>* _right;   //結(jié)點(diǎn)的右子樹(shù)AVLTreeNode<K, V>* _parent;  //結(jié)點(diǎn)的雙親
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool insert(pair<K,V> kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}//找到了合適的位置cur = new Node(kv);//if (kv.first < parent->_kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;//調(diào)整平衡因子while (parent){if (parent->_left == cur){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 1||parent->_bf==-1)//需向上調(diào)整平衡因子{cur = parent;parent = cur->_parent;}else if(parent->_bf==0)//無(wú)需向上調(diào)整平衡因子{break;}else if (parent->_bf == 2||parent->_bf==-2)//無(wú)需向上調(diào)整平衡因子，直接旋轉(zhuǎn){if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);//左單旋}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);//右單旋}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);//右左雙旋}else if (parent->_bf == -2 && cur ->_bf== 1){RotateLR(parent);//左右雙旋}else{//cout << parent->_bf << ":" << /*parent->_left->_bf << ":" <<*/ parent->_right->_bf << endl;assert(false);//其他錯(cuò)誤情況}break;}else{assert(false);}}return true;}void Inorder(){_inorder(_root);cout << endl;}private:void _inorder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_inorder(root->_left);cout << root->_kv.first << " ";_inorder(root->_right);}void RotateL(Node* parent){//  a//     b//        c//找到需要旋轉(zhuǎn)的結(jié)點(diǎn)Node* curR = parent->_right;Node* curRL = curR->_left;//調(diào)整結(jié)點(diǎn)，并且修改其父親結(jié)點(diǎn)指針parent->_right = curRL;if (curRL)//可能為空{(diào)curRL->_parent = parent;}//在修改子樹(shù)根節(jié)點(diǎn)之前，保存子樹(shù)根節(jié)點(diǎn)的父親Node* pparent = parent->_parent;//修改子樹(shù)根節(jié)點(diǎn)curR->_left = parent;parent->_parent = curR;//子樹(shù)根節(jié)點(diǎn)有可能是整棵樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)if (pparent == nullptr){_root = curR;_root->_parent = nullptr;}else//子樹(shù)根節(jié)點(diǎn)不是整棵樹(shù)的根節(jié)點(diǎn){//還要看子樹(shù)是它父親的左孩子還是右孩子if (pparent->_left == parent){pparent->_left = curR;}else{pparent->_right = curR;}curR->_parent = pparent;}//修改平衡因子curR->_bf = parent->_bf = 0;}void RotateR(Node* parent){Node* curL = parent->_left;Node* curLR = curL->_right;parent->_left = curLR;if (curLR){curLR->_parent = parent;}Node* pparent = parent->_parent;curL->_right = parent;parent->_parent = curL;if (parent == _root){_root = curL;_root->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = curL;}else{pparent->_right = curL;}curL->_parent = pparent;}curL->_bf = parent->_bf = 0;}void RotateLR(Node* parent){Node* curL = parent->_left;Node* curLR = curL->_right;//旋轉(zhuǎn)之前，保存pSubLR的平衡因子，旋轉(zhuǎn)完成之后，//需要根據(jù)該平衡因子來(lái)調(diào)整其他節(jié)點(diǎn)的平衡因子int curLR_bf = curLR->_bf;//RotateL(curL);RotateR(parent);if (curLR_bf == -1){parent->_bf = 1;curLR->_bf = 0;curL->_bf = 0;}else if (curLR_bf == 1){parent->_bf = 0;curL->_bf = -1;curLR->_bf = 0;}else if (curLR_bf == 0){parent->_bf = 0;curL->_bf = 0;curLR->_bf = 0;}else{assert(false);}}void RotateRL(Node* parent){Node* curR = parent->_right;Node* curRL = curR->_left;int curRL_bf = curRL->_bf;RotateR(curR);RotateL(parent);if (curRL_bf == -1){parent->_bf = 0;curRL->_bf = 0;curR->_bf = 1;}else if (curRL_bf == 1){parent->_bf = -1;curRL->_bf = 0;curR->_bf = 0;}else if (curRL_bf == 0){parent->_bf = 0;curRL->_bf = 0;curR->_bf = 0;}else{assert(false);}}Node* _root = nullptr;
};

test.cpp

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"AVL.hpp"
int main()
{int arr1[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };int arr2[] = {4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14};AVLTree<int, int> a1;AVLTree<int, int> a2;for (auto e : arr1){a1.insert(make_pair(e,e));}a1.Inorder();for (auto e : arr2){a2.insert(make_pair(e, e));}a2.Inorder();
}

?