一個物體表面的法向量如何隨著物體的坐標(biāo)變換而改變，取決于變換的類型。使用逆轉(zhuǎn)置矩陣，可以安全地解決該問題，而無須陷入過度復(fù)雜的計算中。

法向量變化規(guī)律

1. 平移變換不會改變法向量，因為平移不會改變物體的方向。?
2. 旋轉(zhuǎn)變換會改變法向量，因為旋轉(zhuǎn)改變了物體的方向。
3. 縮放變換對法向量的影響較為復(fù)雜。如上圖，最右側(cè)的圖顯示了立方體先旋轉(zhuǎn)了45度，再在y軸上拉伸至原來的2倍的情況。此時法向量改變了，因為表面的朝向改變了。但是，如果縮放比例在所有的軸上都一致的話，那么法向量就不會變化。

模型矩陣的逆轉(zhuǎn)值矩陣可以用來變換法向量。實際上，在某些特殊情況下，可以通過模型矩陣來確定物體變換后的法向量。比如說，當(dāng)物體在旋轉(zhuǎn)時，可以用旋轉(zhuǎn)矩陣直接乘以法向量，就能獲得旋轉(zhuǎn)后的法向量?？傊?#xff0c;計算變換后的物體表面的法向量方向時，是求諸于模型矩陣自身，還是模型矩陣的逆轉(zhuǎn)值矩陣，取決于模型矩陣中已經(jīng)包含的變換類型（平移、旋轉(zhuǎn)或縮放）。

直接通過模型矩陣自身求變換后的法向量。如果模型矩陣中已經(jīng)包含了平移變換，法向量就會被當(dāng)作頂點坐標(biāo)平移，從而導(dǎo)致法向量與原有的表面朝向不一致。比如說，一個法向量是（1，0，0），沿Y軸平移2.0個單位后，就變成了（1，2，0）。事實上，如果你從4×4的模型矩陣的左上角抽出3×3的子矩陣，然后乘以法向量，就可以避免該問題。如下所示，4*4的模型矩陣：

由于3×3的子矩陣實際上包含了旋轉(zhuǎn)矩陣和縮放矩陣的信息，我們來逐一考慮。

• 如果只進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作：

你可以使用模型矩陣的3×3子矩陣對法向量進(jìn)行變換。如果在變換前法向量已經(jīng)歸一化了，那么變換后的法向量無須再歸一化處理。

• 如果只進(jìn)行縮放操作（且縮放因子相同）：

你可以使用模型矩陣的3×3子矩陣對法向量進(jìn)行變換。但是，變換后的法向量需要再次歸一化處理。

在這種情況下，當(dāng)你只進(jìn)行縮放操作且縮放因子相同時，這意味著X軸、Y軸和Z軸的縮放因子是一致的。比如，你希望以一致的縮放因子2.0進(jìn)行縮放，那么就需要將法向量?3*3 子矩陣 變換后歸一化，這時，即使物體的尺寸發(fā)生了變化，但是其形狀并未改變。

• 如果進(jìn)行了縮放操作（但縮放因子不同）：

必須使用模型矩陣的逆轉(zhuǎn)值矩陣對法向量進(jìn)行變換。變換后的法向量必須再次歸一化處理。原因如下：

如下圖使一個矩形物體（左圖）沿Y軸拉伸2.0倍，拉伸后的形狀如右圖所示。這里，為了獲得變換后的法向量，我們試圖使用模型矩陣乘以原先的法向量（1，1，0）。但是，得到的結(jié)果是（1，2，0），并不垂直于拉伸后的物體表面了。

推導(dǎo)

令模型矩陣為M，令初始的法向量為n，令變換矩陣為M＇，也就是用來正確變換法向量n的矩陣，令垂直于n的向量為s，令變換后的法向量為n＇，令垂直于n＇的向量為s＇

有等式一、二：

n＇ =? M＇ *? n

s＇ =? M * s

n和s，以及 n＇和 s＇的關(guān)系?，如下：

現(xiàn)在，我們就來計算M＇，使得n＇和s＇的相對角度保持垂直。我們知道兩個垂直矢量的點積是0，點乘操作使用點運算符“?· ”表示，所以有：

?n＇·? s＇=? 0

將等式一、二代入并重寫上式

從上圖中可以看出，M＇就是通過轉(zhuǎn)置M的逆矩陣得到的，或者說，M＇就是M的逆轉(zhuǎn)置矩陣。因為M已經(jīng)可能包含了上面列舉過的三種變換情況，所以計算M的逆轉(zhuǎn)置矩陣并乘以法向量，就可以獲得正確的結(jié)果，因此，這才是對法向量進(jìn)行變換的最佳方法

另，計算逆轉(zhuǎn)置矩陣可能會比較耗時，如果你非常確定物體的變換只包含上述（1）（2）的情形，也可以簡單地使用上述 模型矩陣的3×3子矩陣 來對處理法向量。