目錄

一、引言

二、卷積編碼的發(fā)展歷史

2.1?卷積碼的起源

2.2?主要發(fā)展階段

2.3?重要里程碑

三、卷積編碼的基本概念

3.1 基本定義

3.2 編碼器框圖

3.3?編碼多項(xiàng)式

3.4?網(wǎng)格圖(Trellis)描述

四、MATLAB示例

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一、引言

卷積編碼，作為數(shù)字通信領(lǐng)域中的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，自其誕生以來便受到廣泛關(guān)注。卷積編碼是一種糾錯(cuò)編碼方法，它通過引入冗余信息來提高數(shù)據(jù)傳輸?shù)目煽啃?。本文旨在全面介紹卷積編碼的基本概念、原理、應(yīng)用場景、優(yōu)缺點(diǎn)等方面，并結(jié)合具體案例進(jìn)行分析，以期為讀者提供一個(gè)清晰、深入的卷積編碼知識(shí)體系。

二、卷積編碼的發(fā)展歷史

2.1?卷積碼的起源

卷積碼，作為一種前向糾錯(cuò)編碼技術(shù)，其歷史可以追溯到20世紀(jì)50年代。當(dāng)時(shí)，通信領(lǐng)域的研究者們正在探索如何在有限的帶寬和信噪比條件下，提高數(shù)據(jù)傳輸?shù)目煽啃?。卷積碼的出現(xiàn)，為這一挑戰(zhàn)提供了一種有效的解決方案。

2.2?主要發(fā)展階段

1. 早期研究階段：在20世紀(jì)50年代末到60年代初，卷積碼的概念開始形成并得到初步研究。研究者們開始探索卷積碼的基本原理和性能特點(diǎn)，為其后續(xù)的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。
2. 理論成熟階段：隨著研究的深入，卷積碼的理論體系逐漸成熟。在這一階段，研究者們提出了卷積碼的代數(shù)表示方法、狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖等關(guān)鍵理論工具，為卷積碼的工程應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。
3. 工程應(yīng)用階段：從20世紀(jì)70年代開始，卷積碼開始廣泛應(yīng)用于各種通信系統(tǒng)中。特別是在衛(wèi)星通信、移動(dòng)通信等領(lǐng)域，卷積碼因其強(qiáng)大的糾錯(cuò)能力和較高的編碼效率而備受青睞。

2.3?重要里程碑

1. 1972年：Viterbi算法的出現(xiàn)為卷積碼的高效解碼提供了可能。Viterbi算法是一種最大似然解碼算法，它能夠在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)找到最可能的原始信息序列，從而大大提高了卷積碼的解碼效率。
2. 1980年代：隨著移動(dòng)通信的快速發(fā)展，卷積碼成為了第一代和第二代移動(dòng)通信系統(tǒng)（如GSM）中的關(guān)鍵技術(shù)之一。在這一階段，卷積碼的優(yōu)化和改進(jìn)持續(xù)進(jìn)行，以提高其在不同信道條件下的性能。
3. 1990年代：隨著第三代移動(dòng)通信系統(tǒng)（如3G、4G）的興起，卷積碼逐漸被更為先進(jìn)的編碼技術(shù)（如Turbo碼和LDPC碼）所取代。然而，卷積碼在某些特定場景（如深空通信、水下通信等）中仍具有重要地位。

三、卷積編碼的基本概念

3.1 基本定義

卷積碼將k個(gè)信息比特編成n個(gè)比特，特別適合以串行形式進(jìn)行傳輸，時(shí)延小。

將卷積碼記作(n,k,N)。一般來說，卷積碼的k和n是比較小的整數(shù)。

• 碼率仍定義為k/n。
• 卷積碼是將k個(gè)比特的信息段編成n個(gè)比特的碼組，其編碼生成的監(jiān)督碼元不止和k個(gè)比特的信息段有關(guān)，還和前面的m=(N-1)個(gè)信息段有關(guān)。可知，一個(gè)監(jiān)督碼元同時(shí)和前m個(gè)比特以及當(dāng)前輸入的一個(gè)比特信息有關(guān)，即監(jiān)督著N=m+1個(gè)比特，我們將N成為約束度，所有監(jiān)督碼元的長度nN稱為約束長度。

綜上，k即為卷積碼的輸入路數(shù)(多路輸入要進(jìn)行串并轉(zhuǎn)換)，n為輸出比特個(gè)數(shù)，m為移位寄存器的位數(shù)(用于保存所需的前幾個(gè)比特)，N=m+1。

3.2 編碼器框圖

(n,k,N)=(3,1,3)卷積碼編碼器框圖如下：

輸入和輸出的關(guān)系式：

(n,k,N)=(3,1,3)卷積碼編碼器框圖如下：

輸入和輸出的關(guān)系式：

卷積編碼的生成多項(xiàng)式是描述卷積編碼器內(nèi)部狀態(tài)轉(zhuǎn)移和輸出碼字生成的一組多項(xiàng)式。這些多項(xiàng)式通常表示為 (g(D))，其中 (D) 是一個(gè)延遲算子，表示數(shù)據(jù)在編碼器中的延遲。生成多項(xiàng)式用于確定編碼器的狀態(tài)轉(zhuǎn)移和輸出碼字的生成規(guī)則。

3.3?編碼多項(xiàng)式

上面的編碼器多項(xiàng)式如下：

假設(shè)輸入序列x[k]=[1101]，其多項(xiàng)式： ???。則輸出序列y[n]：

?

運(yùn)算符號(hào)為位異或運(yùn)算。

可以得到對(duì)應(yīng)輸入4個(gè)比特的輸出數(shù)據(jù)為：[111,110,010,100];

根據(jù)上面的編碼器圖和輸入輸出關(guān)系式，可以看出來，卷積編碼是一種前向糾錯(cuò)編碼技術(shù)，其核心思想是將待傳輸?shù)男畔⑿蛄信c特定的編碼函數(shù)進(jìn)行卷積運(yùn)算，生成包含冗余信息的編碼序列。卷積編碼的主要參數(shù)包括約束長度（N）、編碼速率（k/n）和生成多項(xiàng)式等，這些參數(shù)決定了編碼的性能和特點(diǎn)。

3.4?網(wǎng)格圖(Trellis)描述

卷積碼的網(wǎng)格圖表示如下：

網(wǎng)格圖顯示了時(shí)序的變化，可以更為清晰的顯示出編碼的過程。例如當(dāng)輸入(1101)時(shí)，假設(shè)移位寄存器的初始狀態(tài)為a狀態(tài)，則編碼輸出如紅線所示。

四、MATLAB示例

以下是一個(gè)簡單的MATLAB腳本示例，演示了如何實(shí)現(xiàn)一個(gè)(n,k,N)=(3,1,3) 的卷積編碼器：

function encoded_data = convolutionalEncoder(input_data, K, g)  % 參數(shù):  % input_data - 輸入數(shù)據(jù)比特流 (1xN vector)  % K - 約束長度 (寄存器數(shù)量 + 1)  % g - 生成多項(xiàng)式的矩陣形式 (Gx(K-1) matrix, G是輸出數(shù)量)  % 輸出:  % encoded_data - 編碼后的數(shù)據(jù)比特流 (1x(3*N) vector for R=1/3)  N = length(input_data); % 輸入數(shù)據(jù)的長度  G = size(g, 1); % 輸出數(shù)量 (對(duì)于R=1/3, G應(yīng)為3)  % 初始化寄存器狀態(tài)和輸出數(shù)據(jù)  register = zeros(1, K-1);  encoded_data = zeros(1, N*G);  % 對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行卷積編碼  for i = 1:N  % 構(gòu)造當(dāng)前寄存器的內(nèi)容（包括新輸入比特）  register_with_input = [input_data(i) register];  % 對(duì)每個(gè)生成多項(xiàng)式計(jì)算輸出比特  for j = 1:G  % 提取對(duì)應(yīng)的生成多項(xiàng)式  generator = g(j, :);  % 計(jì)算異或和  output_bit = mod(sum(generator .* register_with_input), 2);  % 將輸出比特添加到編碼后的數(shù)據(jù)中  encoded_data((i-1)*G + j) = output_bit;  end  % 更新寄存器狀態(tài)  register = register_with_input(1:end-1);  end  
end  % 示例使用  
% 定義生成多項(xiàng)式 (通常為八進(jìn)制或十六進(jìn)制形式, 這里轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制)  
% 例如: g1 = [1 1 1], g2 = [1 0 1], g3 = [1 1 0] (八進(jìn)制)  g_binary = [1 0 0;1 0 1;1 1 1];% 設(shè)置約束長度 (K=4 對(duì)于上述生成多項(xiàng)式)  
K = 3;  % 輸入數(shù)據(jù)比特流  
input_data = [1 1 0 1 ];  % 進(jìn)行卷積編碼  
encoded_data = convolutionalEncoder(input_data, K, g_binary);  % 顯示編碼后的數(shù)據(jù)  
disp('Encoded Data:');  
disp(encoded_data);

上面的程序已經(jīng)通過調(diào)試，運(yùn)行結(jié)果如下：

輸入：

% 輸入數(shù)據(jù)比特流

input_data = [1 1 0 1 ];

% 輸出數(shù)據(jù)比特流

Encoded Data = [1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0];

大家可以試著運(yùn)行一下，有問題可以留言。歡迎大家在評(píng)論區(qū)探討。