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查找算法介紹

在 java 中，我們常用的查找有四種:
????① 順序(線性)查找
????② 二分查找/折半查找
????③ 插值查找
????④ 斐波那契查找

1. 線性查找算法

問題：
????數(shù)組arr[] = {1, 9, 11, -1, 34, 89}，使用線性查找方式，找出11所在的位置。

代碼實現(xiàn)：

package search;public class SeqSearch {public static void main(String[] args) {int arr[] = { 1, 9, 11, -1, 34, 89 };// 沒有順序的數(shù)組int index = seqSearch(arr, 11);if (index == -1) {System.out.println("沒有找到");} else {System.out.println("找到了，下標(biāo)為：" + index);}}/*** 這里實現(xiàn)的線性查找是找到一個滿足條件的值，就返回* * @param arr* @param value* @return*/public static int seqSearch(int[] arr, int value) {// 線性查找是逐一比對，發(fā)現(xiàn)有相同的值，就返回下標(biāo)for (int i = 0; i < arr.length; i++) {if (arr[i] == value) {return i;}}return -1;}}

運(yùn)行結(jié)果：

2. 二分查找算法

問題：
????請對一個有序數(shù)組進(jìn)行二分查找 {1,8, 10, 89, 1000, 1234} ，輸入一個數(shù)看看該數(shù)組是否存在此數(shù)，并且求出下標(biāo)，如果沒有就提示"沒有這個數(shù)"。

2.1. 思路分析

二分查找的思路分析

1. 首先，確定該數(shù)組的中間的下標(biāo)： $mid=(left+right)/2$

2. 然后讓需要查找的數(shù) findVal 和 arr[mid] 比較
   2.1. findVal > arr[mid]，說明你要查找的數(shù)在mid 的右邊, 因此需要遞歸的向右查找
   2.2. findVal < arr[mid]，說明你要查找的數(shù)在mid 的左邊, 因此需要遞歸的向左查找
   2.3. findVal == arr[mid]，說明找到，就返回

3. 什么時候需要結(jié)束遞歸：
   ①找到就結(jié)束遞歸
   ②遞歸完整個數(shù)組，仍然沒有找到findVal，也需要結(jié)束遞歸 當(dāng) left > right 就需要退出

2.2. 代碼實現(xiàn)

注意：使用二分查找的前提是 該數(shù)組是有序的

package search;public class BinarySearch {public static void main(String[] args) {int arr[] = { 1, 8, 10, 89, 1000, 1234 };int resIndex = binarySearch(arr, 0, arr.length - 1, 1);System.out.println("resIndex= " + resIndex);}// 二分查找法/*** * @param arr     數(shù)組* @param left    左邊的索引* @param right   右邊的索引* @param findVal 要查找的值* @return 如果找到就返回下標(biāo)，如果沒有找到就返回-1*/public static int binarySearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {// 當(dāng)left > right 時，說明遞歸整個數(shù)組，但是沒有找到if (left > right) {return -1;}int mid = (left + right) / 2;int midVal = arr[mid];if (findVal > midVal) {// 向右遞歸return binarySearch(arr, mid + 1, right, findVal);} else if (findVal < midVal) {return binarySearch(arr, left, mid - 1, findVal);} else {return mid;}}}

運(yùn)行結(jié)果：

2.3. 功能拓展

問題：
????數(shù)組{1,8, 10, 89, 1000, 1000，1234}， 當(dāng)一個有序數(shù)組中，有多個相同的數(shù)值時，如何將所有的數(shù)值都查找到，比如這里的 1000。

代碼實現(xiàn)：

package search;import java.util.ArrayList;
import java.util.List;public class BinarySearch {public static void main(String[] args) {int arr[] = { 1, 8, 10, 89, 1000, 1000, 1234 };List<Integer> resIndexList = binarySearch2(arr, 0, arr.length - 1, 1000);System.out.println("resIndexList = " + resIndexList);}/** 思路分析：* 1. 在找 mid 的索引值，不要馬上返回* 2. 向 mid 索引值的左邊掃描，將所有滿足1000的元素的下標(biāo)，加入到集合ArrayList* 3. 向 mid 索引值的右邊掃描，將所有滿足1000的元素的下標(biāo)，加入到集合ArrayList* 4. 將 ArrayList 返回*/public static List<Integer> binarySearch2(int[] arr, int left, int right, int findVal) {// 當(dāng)left > right 時，說明遞歸整個數(shù)組，但是沒有找到if (left > right) {return new ArrayList<Integer>();}int mid = (left + right) / 2;int midVal = arr[mid];if (findVal > midVal) {// 向右遞歸return binarySearch2(arr, mid + 1, right, findVal);} else if (findVal < midVal) {return binarySearch2(arr, left, mid - 1, findVal);} else {/** 思路分析：* 1. 在找 mid 的索引值，不要馬上返回* 2. 向 mid 索引值的左邊掃描，將所有滿足1000的元素的下標(biāo)，加入到集合ArrayList* 3. 向 mid 索引值的右邊掃描，將所有滿足1000的元素的下標(biāo)，加入到集合ArrayList* 4. 將 ArrayList 返回*/List<Integer> resIndexlist = new ArrayList<Integer>();// 向 mid 索引值的左邊掃描，將所有滿足1000的元素的下標(biāo)，加入到集合ArrayListint temp = mid - 1;while (true) {if (temp < 0 || arr[temp] != findVal) {// 退出break;}// 否則，就將temp放入到resIndexlistresIndexlist.add(temp);temp -= 1;// temp左移}resIndexlist.add(mid);// 向 mid 索引值的右邊掃描，將所有滿足1000的元素的下標(biāo)，加入到集合ArrayListtemp = mid + 1;while (true) {if (temp > arr.length - 1 || arr[temp] != findVal) {// 退出break;}// 否則，就將temp放入到resIndexlistresIndexlist.add(temp);temp += 1;// temp左移}return resIndexlist;}}}

運(yùn)行結(jié)果：

3. 插值查找算法

3.1. 前言

二分查找算法存在查找效率較慢的情況，因為其中的mid是從中間開始取的。假如對數(shù)組{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 }進(jìn)行查找，查找 1 所在的位置，實現(xiàn)代碼如下：

package search;import java.util.ArrayList;
import java.util.List;public class BinarySearch {public static void main(String[] args) {int arr[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 };List<Integer> resIndexList = binarySearch2(arr, 0, arr.length - 1, 1);System.out.println("resIndexList = " + resIndexList);}/** 思路分析：* 1. 在找 mid 的索引值，不要馬上返回* 2. 向 mid 索引值的左邊掃描，將所有滿足1000的元素的下標(biāo)，加入到集合ArrayList* 3. 向 mid 索引值的右邊掃描，將所有滿足1000的元素的下標(biāo)，加入到集合ArrayList* 4. 將 ArrayList 返回*/public static List<Integer> binarySearch2(int[] arr, int left, int right, int findVal) {System.out.println("調(diào)用了一次");// 當(dāng)left > right 時，說明遞歸整個數(shù)組，但是沒有找到if (left > right) {return new ArrayList<Integer>();}int mid = (left + right) / 2;int midVal = arr[mid];if (findVal > midVal) {// 向右遞歸return binarySearch2(arr, mid + 1, right, findVal);} else if (findVal < midVal) {return binarySearch2(arr, left, mid - 1, findVal);} else {/** 思路分析：* 1. 在找 mid 的索引值，不要馬上返回* 2. 向 mid 索引值的左邊掃描，將所有滿足1000的元素的下標(biāo)，加入到集合ArrayList* 3. 向 mid 索引值的右邊掃描，將所有滿足1000的元素的下標(biāo)，加入到集合ArrayList* 4. 將 ArrayList 返回*/List<Integer> resIndexlist = new ArrayList<Integer>();// 向 mid 索引值的左邊掃描，將所有滿足1000的元素的下標(biāo)，加入到集合ArrayListint temp = mid - 1;while (true) {if (temp < 0 || arr[temp] != findVal) {// 退出break;}// 否則，就將temp放入到resIndexlistresIndexlist.add(temp);temp -= 1;// temp左移}resIndexlist.add(mid);// 向 mid 索引值的右邊掃描，將所有滿足1000的元素的下標(biāo)，加入到集合ArrayListtemp = mid + 1;while (true) {if (temp > arr.length - 1 || arr[temp] != findVal) {// 退出break;}// 否則，就將temp放入到resIndexlistresIndexlist.add(temp);temp += 1;// temp左移}return resIndexlist;}}}

運(yùn)行結(jié)果：

總共調(diào)用了4次才查找出1的索引值，效率較慢。通過插值查找可改善上述問題。

3.2. 相關(guān)概念

原理介紹：
????插值查找算法類似于二分查找，不同的是插值查找每次從自適應(yīng) mid 處開始查找。

mid的計算公式：
????對二分查找中的求 mid 索引的公式進(jìn)行修改：

上圖公式中：
① low 表示左邊索引 left
② high 表示右邊索引 right
③ key 就是前面二分查找中講的 findVal(要查找的值)

即插值查找的 mid計算公式：
$$\begin{array}{rl}& mid=low+(high?low)\frac{key?arr[low]}{arr[high]?arr[low]}\end{array}$$
對應(yīng)前面的代碼公式，即：
$$\begin{array}{rl}& mid=left+(right–left)\frac{findVal–arr[left]}{arr[right]–arr[left]}\end{array}$$

舉例說明：
????
????數(shù)組 arr = [1, 2, 3, …, 100]
????
①假如需要查找的值是 1
????(使用二分查找的話，需要多次遞歸，才能找到 1 的下標(biāo)0)
????使用插值查找算法：
$$\begin{array}{rl}& mid=left+(right–left)\frac{findVal–arr[left]}{arr[right]–arr[left]}\end{array}$$
即：
$$\begin{array}{rl}& mid=0+(99?0)\frac{1?1}{100?1}=0+99?\frac{0}{99}=0(直接定位到下標(biāo)0)\end{array}$$
②假如需要查找的值是 100
$$\begin{array}{rl}& mid=0+(99?0)\frac{100?1}{(100?1}=0+99?\frac{99}{99}=0+99=99(直接定位到下標(biāo)99)\end{array}$$

3.3. 實例應(yīng)用

問題：
????對數(shù)組 arr = [1, 2, 3, …, 100] ，使用插值查找算法，找到 1 的索引值(下標(biāo))

代碼實現(xiàn)：

package search;import java.util.Arrays;public class InsertValueSearch {public static void main(String[] args) {int[] arr = new int[100];for (int i = 0; i < 100; i++) {arr[i] = i + 1;}int index = insertValueSearch(arr, 0, arr.length - 1, 1);System.out.println("index = " + index);// System.out.println(Arrays.toString(arr));}// 編寫插值查找算法// 說明：插值查找算法也要求數(shù)組是有序的/*** * @param arr     數(shù)組* @param left    左邊索引* @param right   右邊索引* @param findVal 要查找的值* @return 如果找到，就返回對應(yīng)的下標(biāo)；如果沒有找到，就返回-1*/public static int insertValueSearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {System.out.println("查找了一次");// 注意：findVal < arr[0] 和 findVal > arr[arr.length - 1] 必須需要，否則得到的mid可能越界if (left > right || findVal < arr[0] || findVal > arr[arr.length - 1]) {return -1;}// 求出 midint mid = left + (right - left) * (findVal - arr[left]) / (arr[right] - arr[left]);int midVal = arr[mid];if (findVal > midVal) {// 說明應(yīng)該向右邊遞歸return insertValueSearch(arr, mid + 1, right, findVal);} else if (findVal < midVal) {// 說明應(yīng)該向左遞歸return insertValueSearch(arr, left, mid - 1, findVal);} else {return mid;}}}

運(yùn)行結(jié)果：

注意事項：

1. 對于數(shù)據(jù)量較大，關(guān)鍵字分布比較均勻的查找表來說，采用插值查找, 速度較快.
2. 關(guān)鍵字分布不均勻的情況下，該方法不一定比折半(二分)查找要好

4. 斐波那契(黃金分割法)查找算法

????
????黃金分割點(diǎn)是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比。取其前三位數(shù)字的近似值是 0.618。由于按此比例設(shè)計的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這是一個神奇的數(shù)字，會帶來意想不到的效果。

????斐波那契數(shù)列 {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … … } 發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列的兩個相鄰數(shù) 的比例，無限接近 黃金分割值0.618。

4.1. 斐波那契(黃金分割法)原理

????斐波那契查找原理與前兩種相似，僅僅改變了中間結(jié)點(diǎn)（mid）的位置，mid 不再是中間或插值得到，而是位于黃金分割點(diǎn)附近，即 $mid=low+F[k?1]?1$（$F$ 代表斐波那契數(shù)列），如下圖所示：

對 F(k-1)-1 的理解：

1. 由斐波那契數(shù)列 $F[k]=F[k?1]+F[k?2]$ 的性質(zhì)，可以得到 $(F[k]?1)=(F[k?1]?1)+(F[k?2]?1)+1$ 。該式說明：只要順序表的長度為 F[k]-1，則可以將該表分成長度為 $F[k?1]?1$ 和 $F[k?2]?1$ 的兩段，即如上圖所示。從而中間位置為 $mid=low+F[k?1]?1$
2. 類似的，每一子段也可以用相同的方式分割
3. 但順序表長度 $n$ 不一定剛好等于 $F[k]?1$，所以需要將原來的順序表長度 $n$ 增加至 $F[k]?1$。這里的 $k$ 值只要能使得 $F[k]?1$ 恰好大于或等于 $n$ 即可，由以下代碼得到，順序表長度增加后，新增的位置（從 $n+1$ 到 $F[k]?1$ 位置），都賦為 $n$ 位置的值即可。

while(n>fib(k)-1)
??k++;

4.2. 實例應(yīng)用

問題：
????請對一個有序數(shù)組進(jìn)行斐波那契查找 {1,8, 10, 89, 1000, 1234} ，輸入一個數(shù)看看該數(shù)組是否存在此數(shù)，并且求出下標(biāo)，如果沒有就提示"沒有這個數(shù)"(return = -1)。

代碼實現(xiàn)：

package search;import java.util.Arrays;public class FibonacciSearch {public static int maxSize = 20;public static void main(String[] args) {int[] arr = { 1, 8, 10, 89, 1000, 1234 };System.out.println("index = " + fibSearch(arr, 89));}// 因為后面我們mid=low+F(k-1)-1,需要使用斐波那契數(shù)列，因此我們需要先獲取到一個斐波那契數(shù)列// 非遞歸方法得到一個斐波那契數(shù)列public static int[] fib() {int[] f = new int[maxSize];f[0] = 1;f[1] = 1;for (int i = 2; i < maxSize; i++) {f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];}return f;}// 編寫斐波那契查找算法// 使用非遞歸的方式編寫算法/*** * @param a   數(shù)組* @param key 需要查找的關(guān)鍵字(值)* @return 返回對應(yīng)的下標(biāo)，如果沒有，就返回-1*/public static int fibSearch(int[] a, int key) {int low = 0;int high = a.length - 1;int k = 0;// 表示斐波那契分割數(shù)值的下標(biāo)int mid = 0;// 存放mid值int f[] = fib();// 獲取到斐波那契數(shù)列// 獲取到斐波那契分割數(shù)值的下標(biāo)while (high > f[k] - 1) {k++;}// 因為f[k]的值 可能大于a的長度，因此需要使用Arrays類，構(gòu)造一個新的數(shù)組，并指向a[]// 不足的部分會使用0填充int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);// 實際上，需要使用a數(shù)組的最后的數(shù)填充temp// 舉例：// temp = {1,8,10,89,1000,1234,0,0,0} --> {1,8,10,89,1000,1234,1234,1234,1234}for (int i = high + 1; i < temp.length; i++) {temp[i] = a[high];}// 使用while循環(huán)處理，找到keywhile (low <= high) {// 只要這個條件滿足，就可以找mid = low + f[k - 1] - 1;if (key < temp[mid]) {// 繼續(xù)向數(shù)組的前面查找（左邊）high = mid - 1;// 為什么是k--？// 說明：// 1. 全部元素=前面的元素+后面的元素// 2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]// 因為 前面有f[k-1]個元素，所以可以繼續(xù)拆分 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]// 即 在f[k-1]的前面繼續(xù)查找(k--)// 即 下次循環(huán)的 mid = f[k-1-1]-1k--;} else if (key > temp[mid]) {// 繼續(xù)向數(shù)組的后面查找（右邊）low = mid + 1;// 為什么是 k -= 2// 說明// 1. 全部元素=前面的元素+后面的元素// 2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]// 因為 后面有f[k-2]個元素，所以可以繼續(xù)拆分 f[k-2] = f[k-3] + f[k-4]// 即 在f[k-2]的后面繼續(xù)查找(k-=2)// 即 下次循環(huán)的 mid = f[k-1-2]-1k -= 2;} else {// 找到// 需要確定，返回的是哪一個下標(biāo)if (mid <= high) {return mid;} else {return high;}}}return -1;}}

運(yùn)行結(jié)果：