圖論——最小生成樹

A wise man changes his mind, a fool never will

生成樹

一個連通圖的生成樹是一個極小的連通子圖，它包含圖中全部的n個頂點，但只有構(gòu)成一棵樹的n-1條邊。

最小生成樹

在這些邊中選擇N-1條出來，連接所有的N個點。這N-1條邊的邊權(quán)之和是所有方案中最小的。

Prim算法(一般用于稠密圖——鄰接矩陣)

思想(貪心)

每次將離連通部分的最近的點和點對應(yīng)的邊加入的連通部分，連通部分逐漸擴(kuò)大，最后將整個圖連通起來，并且邊長之和最小。

代碼

輸入格式

第一行包含兩個整數(shù) n 和 m。

接下來 m 行，每行包含三個整數(shù) u,v,w,表示點 u 和點 v 之間存在一條權(quán)值為 w的邊。

輸出格式

共一行，若存在最小生成樹，則輸出一個整數(shù)，表示最小生成樹的樹邊權(quán)重之和，如果最小生成樹不存在則輸出 impossible。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 505, INF = 0x3f3f3f3f;int g[N][N], dist[N];
int n;
bool st[N];int prim() {memset(dist, 0x3f, sizeof dist);int res = 0;for (int i = 0; i < n; i ++) {int t = -1;for (int j = 1; j <= n; j ++)if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))t = j;if (i && dist[t] == INF) return INF;st[t] = true;if (i)  res += dist[t];for (int j = 1; j <= n; j ++)   dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);}return res;
}int main() {int m;cin >> n >> m;memset(g, 0x3f, sizeof g);while (m --) {int a, b, c;cin >> a >> b >> c;g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);}int t = prim();if (t == INF)   cout << "impossible" << endl;else    cout << t << endl;return 0;
}

Kruskal 算法(一般用于稀疏圖——鄰接表)

思想

• 將所有邊按照權(quán)值的大小進(jìn)行升序排序，然后從小到大一一判斷。
• 如果這個邊與之前選擇的所有邊不會組成回路(并查集)，就選擇這條邊；反之，舍去。
• 直到具有 n 個頂點的連通網(wǎng)篩選出來 n-1 條邊為止。
• 篩選出來的邊和所有的頂點構(gòu)成此連通網(wǎng)的最小生成樹。

代碼

輸入格式

第一行包含兩個整數(shù) n 和 m。

接下來 m 行，每行包含三個整數(shù) u,v,w，表示點 u和點 v 之間存在一條權(quán)值為 w的邊。

輸出格式

共一行，若存在最小生成樹，則輸出一個整數(shù)，表示最小生成樹的樹邊權(quán)重之和，如果最小生成樹不存在則輸出 impossible。

數(shù)據(jù)范圍

$1<=n<=10^5$

$1<=m<=2?10^5$

圖中涉及邊的邊權(quán)的絕對值均不超過 1000。

輸入樣例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

輸出樣例：

6

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 1e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;struct node {int a, b, w;bool operator< (node &b)const {return w < b.w;}
}e[N * 2];int p[N];int find(int x) {if (p[x] != x)p[x] = find(p[x]);return p[x];
}int n, m;int kruskal() {sort(e, e + m);for (int i = 1; i <= n; i ++)	p[i] = i;int res = 0, cnt = 0;for (int i = 0; i < m; i ++) {int a = e[i].a, b = e[i].b, w = e[i].w;a = find(a), b = find(b);if (a != find(b)){p[a] = p[b];++ cnt;res += w;}}if (cnt < n - 1)	return INF;return res;
}int main() {cin >> n >> m;for (int i = 0; i < m; i ++) {int a, b, w;cin >> a >> b >> w;e[i] = {a, b, w};}int t = kruskal();if (t == INF)	cout << "impossible" << endl;else	cout << t << endl;return 0;
}