電子科技大學(xué)《高級算法設(shè)計(jì)與分析》問題匯總_已知背包問題的動態(tài)規(guī)劃算法時(shí)間復(fù)雜度為o(nw),其中n為物品數(shù)目,w為背包容量。請-CSDN博客

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1. 判斷：一個問題 A 可以多項(xiàng)式時(shí)間規(guī)約到一個 NP 完全問題 B，那么問題 A 可能屬于 P 也可能屬于 NP 完全。（T）
如果問題 A 可以多項(xiàng)式時(shí)間規(guī)約到一個NP完全問題 B，那么 A 也是一個 NP 問題。因?yàn)?B 問題在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)可驗(yàn)證，而 A 問題是比 B 問題更簡單的問題，所以 A 問題也是在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)可驗(yàn)證的問題，所以 A 問題一定是 NP 類問題，具體是 P 還是 NP 完成問題還要看是否滿足相應(yīng)的條件

NP-難問題：這個類別包括所有至少和 NP 中最困難的問題一樣困難的問題。NP-難問題不必屬于 NP 類別，也就是說，它們可能不是判定問題（即有是或否答案的問題）。

NP-完全問題：這是 NP-難問題的一個子集。一個問題如果是 NP-完全的，那么它既屬于 NP-難，也屬于 NP。換句話說，NP-完全問題是在 NP 中最困難的問題，如果任何一個 NP-完全問題可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決，那么所有的 NP 問題都可以。

2. 判斷：如果一個圖上兩點(diǎn)間的最大流是唯一的，則可以確定這兩點(diǎn)間的最小割也唯一。(F)
即使在一個圖中兩點(diǎn)之間的最大流是唯一的，這并不意味著兩點(diǎn)之間的最小割也是唯一的。

在最大流最小割定理中，雖然最大流的大小等于最小割的容量，但這并不保證最小割在圖中的具體位置是唯一的。可能存在多種不同的割的方式，它們都達(dá)到了相同的最小割容量。

考慮一個簡單的例子：假設(shè)有一個圖，其中的某些邊的流量達(dá)到了它們的容量上限，形成了唯一的最大流。然而，可能存在多條不同的邊，割斷它們都能實(shí)現(xiàn)相同的割容量，因此存在多個不同的最小割配置。

總之，雖然最大流的大小等于最小割的容量，但這并不保證最小割在圖中的具體位置是唯一的。因此，即使最大流是唯一的，最小割也可能不是唯一的。

最小割不唯一：

3. 證明：一個二分圖如果包含奇數(shù)個頂點(diǎn)，則這個圖一定不存在一個哈密爾頓圈。
數(shù)學(xué)歸納法證明包含奇數(shù)個頂點(diǎn)的二分圖不存在哈密爾頓圈，我們可以從最簡單的情況開始，然后假設(shè)對于小于等于某個奇數(shù)個頂點(diǎn)的所有二分圖該命題成立，接著證明對于下一個奇數(shù)個頂點(diǎn)的二分圖這個命題也成立。

基礎(chǔ)情況：考慮最小的奇數(shù)，即 1。一個只有一個頂點(diǎn)的圖顯然不能形成一個哈密爾頓圈，因?yàn)楣軤栴D圈需要至少包含一個循環(huán)，而單個頂點(diǎn)無法形成循環(huán)。

歸納步驟：現(xiàn)在假設(shè)對于所有包含小于或等于 ( 2n+1 ) 個頂點(diǎn)的二分圖（其中 ( n ) 是任意非負(fù)整數(shù)），如果頂點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，則圖中不存在哈密爾頓圈。我們需要證明對于包含 ( 2n+3 ) 個頂點(diǎn)的二分圖，如果頂點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，這個圖也不存在哈密爾頓圈。

考慮一個包含 ( 2n+3 ) 個頂點(diǎn)的二分圖 ( G )，這個圖的頂點(diǎn)可以被分成兩個集合 ( U ) 和 ( V )，使得所有的邊都連接 ( U ) 中的一個頂點(diǎn)和 ( V ) 中的一個頂點(diǎn)。因?yàn)閳D中有奇數(shù)個頂點(diǎn)，所以 ( U ) 和 ( V ) 中至少有一個集合包含奇數(shù)個頂點(diǎn)。假設(shè) ( U ) 包含奇數(shù)個頂點(diǎn)，( V ) 包含偶數(shù)個頂點(diǎn)。

如果 ( G ) 中存在一個哈密爾頓圈，那么這個圈會交替地經(jīng)過 ( U ) 和 ( V ) 中的頂點(diǎn)。但是，由于 ( U ) 中有奇數(shù)個頂點(diǎn)，而 ( V ) 中有偶數(shù)個頂點(diǎn)，無論如何都不可能確保每個頂點(diǎn)恰好被訪問一次并形成一個閉合的循環(huán)。 這是因?yàn)閺?( U ) 開始的任何循環(huán)都將導(dǎo)致在回到 ( U ) 之前必須在 ( V ) 中多次停留，從而破壞了哈密爾頓圈的定義。

因此，我們可以得出結(jié)論，對于包含 ( 2n+3 ) 個頂點(diǎn)的二分圖，如果頂點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，這個圖不存在哈密爾頓圈。這完成了歸納步驟。

綜上所述，通過數(shù)學(xué)歸納法，我們證明了包含奇數(shù)個頂點(diǎn)的二分圖不存在哈密爾頓圈。

為了使用數(shù)學(xué)歸納法證明具有奇數(shù)個頂點(diǎn)的二分圖不能存在哈密爾頓圈，我們首先理解數(shù)學(xué)歸納法的兩個基本步驟：

基礎(chǔ)步驟：證明當(dāng) ( n ) 為最小的奇數(shù)（例如 ( n = 3 )）時(shí)，命題成立。
歸納步驟：假設(shè)當(dāng) ( n = k )（其中 ( k ) 是一個奇數(shù)）時(shí)命題成立，然后證明當(dāng) ( n = k + 2 ) 時(shí)命題也成立。
證明過程：

基礎(chǔ)步驟：

對于 ( n = 3 )，最小的二分圖是兩個集合中各有一個頂點(diǎn)和一個集合有兩個頂點(diǎn)。這樣的圖不能形成哈密爾頓圈，因?yàn)椴豢赡軓囊粋€頂點(diǎn)出發(fā)，訪問所有頂點(diǎn)恰好一次又回到出發(fā)點(diǎn)。所以，對于 ( n = 3 )，命題成立。
歸納步驟：

假設(shè)當(dāng) ( n = k )（( k ) 為奇數(shù)）時(shí)命題成立，即一個有 ( k ) 個頂點(diǎn)的二分圖不能存在哈密爾頓圈。
現(xiàn)在考慮 ( n = k + 2 ) 的情況。二分圖的兩個集合中至少有一個集合的頂點(diǎn)數(shù)增加了 1（因?yàn)榭傢旤c(diǎn)數(shù)增加了 2）。因此，這兩個集合中至少有一個集合的頂點(diǎn)數(shù)仍然是奇數(shù)。
在二分圖中，哈密爾頓圈需要交替地經(jīng)過兩個集合的頂點(diǎn)。如果兩個集合中至少有一個集合的頂點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，那么不可能形成一個經(jīng)過每個頂點(diǎn)恰好一次的圈，因?yàn)檫@會導(dǎo)致至少有一個集合中有連續(xù)兩個頂點(diǎn)在圈中相鄰，這違反了二分圖的定義。
因此，當(dāng) ( n = k + 2 ) 時(shí)，這樣的二分圖也不能存在哈密爾頓圈。
通過這兩個步驟，我們可以得出結(jié)論：對于任何奇數(shù) ( n )，一個有 ( n ) 個頂點(diǎn)的二分圖不能存在哈密爾頓圈。這就完成了使用數(shù)學(xué)歸納法的證明。

4. 判斷： 在背包問題中，如果規(guī)定所有輸入的數(shù)值(包括背包的大小和各個物品的價(jià)值和體積)都是長整型數(shù)據(jù)，則動態(tài)規(guī)劃算法可以在多項(xiàng)式內(nèi)求解。(T) 具體看下方輸入規(guī)模與偽多項(xiàng)式時(shí)間算法介紹部分
對于背包問題，當(dāng)所有輸入數(shù)值（包括背包的大小和各個物品的價(jià)值和體積）都是長整型（即整數(shù)）時(shí)，動態(tài)規(guī)劃算法確實(shí)可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求解。讓我們更詳細(xì)地分析這個問題。

背包問題的動態(tài)規(guī)劃算法的時(shí)間復(fù)雜度是 (O(nW))，其中 (n) 是物品的數(shù)量，而 (W) 是背包的容量。這意味著算法的時(shí)間復(fù)雜度取決于背包容量 (W) 的數(shù)值大小和物品數(shù)量 (n)。如果 (W) 和 (n) 都是整數(shù)，并且在合理的范圍內(nèi)，那么這個問題可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求解。

重要的是要注意，多項(xiàng)式時(shí)間是針對輸入大小（即輸入數(shù)據(jù)的比特?cái)?shù)）而言的。在背包問題中，如果 (W) 和 (n) 的值是固定長度的（例如使用長整型數(shù)據(jù)），則它們可以用固定數(shù)量的比特表示。這意味著算法的運(yùn)行時(shí)間可以被看作是輸入大小的多項(xiàng)式函數(shù)，因此在這種情況下，動態(tài)規(guī)劃算法可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求解背包問題。

總結(jié)來說，當(dāng)背包問題中所有的數(shù)值（包括背包的大小和物品的價(jià)值和體積）都是長整型數(shù)據(jù)時(shí)，W 的位數(shù)就固定了，輸入就只與 n 有關(guān)，動態(tài)規(guī)劃算法的運(yùn)行時(shí)間可以被視為輸入大小的多項(xiàng)式函數(shù)，從而使問題在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)可解。

5. 如果一個問題 A 存在多項(xiàng)式算法可以推導(dǎo)出所有NP里的問題都存在多項(xiàng)式算法，那么可知問題 A是NP完全的(T)
如果存在一個問題 A，使得對于所有 NP 中的問題，都存在一個多項(xiàng)式時(shí)間算法可以規(guī)約到問題 A，那么可以得出問題 A 是 NP-完全的。

這個陳述實(shí)際上描述的是 NP-完全問題的一個核心特性。NP-完全問題的定義包括兩個關(guān)鍵部分：

在 NP 中：問題 A 必須在 NP 中，意味著它的解可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)被驗(yàn)證。

NP 中所有問題都可以多項(xiàng)式時(shí)間規(guī)約到它：這意味著所有的 NP 問題都可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)化成問題 A 的一個實(shí)例。這是 NP-完全問題最關(guān)鍵的特性之一。

因此，如果問題 A 滿足這樣的條件，即所有 NP 中的問題都可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)規(guī)約到 A，那么 A 就是 NP-完全的。此外，如果 A 可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決（即 A 屬于 P 類），那么所有 NP 問題也都可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決，從而表明 P = NP。這是計(jì)算理論中一個未解決的重大問題。

6. 問一個數(shù)是不是個合數(shù)，很容易證明該問題是屬于 NP 的，但是問一個數(shù)是不是素?cái)?shù)，這個問題卻是很難證明是否屬于 NP 的。(F)
確定一個數(shù)是否是素?cái)?shù)（即素性測試）是一個已知屬于 NP 的問題。更進(jìn)一步，素性測試不僅屬于 NP，而且也屬于 P，這意味著存在一個多項(xiàng)式時(shí)間算法來確定一個數(shù)是否為素?cái)?shù)。

素性測試問題的 NP 屬性相對容易證明，因?yàn)槿绻o定一個數(shù)是合數(shù)（即非素?cái)?shù)），那么可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)驗(yàn)證這一點(diǎn)，只需提供一個非平凡的因子即可。對于素?cái)?shù)，驗(yàn)證也是直接的，因?yàn)樗財(cái)?shù)的定義就是只有 1 和它本身為因子。

關(guān)于這個問題是否屬于 P 類，長期以來，人們普遍認(rèn)為這是一個難題。但在 2002 年，Agrawal、Kayal 和 Saxena 提出了 AKS 素性測試算法，這是第一個被證明可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)（對輸入大小而言）確定任何給定整數(shù)的素性的算法。這個發(fā)現(xiàn)是理論計(jì)算機(jī)科學(xué)的一個重要突破，它證明了素性測試問題屬于 P 類。

因此，不僅確定一個數(shù)是否是合數(shù)屬于 NP，確定它是否是素?cái)?shù)也屬于 NP，并且后者更進(jìn)一步屬于 P。

7. 判斷：斐波那契數(shù)列定義f(1)=f(2)=1，當(dāng)n≥3時(shí)，f(n)=f(n-1)+f(n-2)。求解該數(shù)列第n個數(shù)f(n)的自頂向下的分治遞歸算法是指數(shù)時(shí)間算法，求解該數(shù)列第n個數(shù)f(n)的自底向上的動態(tài)規(guī)劃算法也是指數(shù)時(shí)間算法。(T)
這個陳述部分正確，部分不正確。讓我們分別考慮兩種算法：

自頂向下的分治遞歸算法：這種方法在求解斐波那契數(shù)列的第 n 個數(shù)時(shí)，會重復(fù)計(jì)算很多子問題，因?yàn)樗鼘栴}分解為 f(n-1) 和 f(n-2)，而這兩個問題又分別分解為更小的子問題，其中很多子問題會被重復(fù)計(jì)算多次。這種遞歸算法的時(shí)間復(fù)雜度是指數(shù)級的，大約是 (O(2 n 2^n2?
n
?))。因此，這部分陳述是正確的。

自底向上的動態(tài)規(guī)劃算法：這種方法采用了一種不同的方法來計(jì)算斐波那契數(shù)列。它從最基本的情況開始，即 f(1) 和 f(2)，然后逐步向上計(jì)算直到達(dá)到所需的 f(n)。這個方法確保每個子問題只被計(jì)算一次，然后將其結(jié)果存儲起來供后續(xù)計(jì)算使用。這種方法的時(shí)間復(fù)雜度是線性的，即 (O(n))。因此，這部分陳述是不正確的。

綜上所述，自頂向下的分治遞歸算法在求解斐波那契數(shù)列時(shí)是指數(shù)時(shí)間算法，而自底向上的動態(tài)規(guī)劃算法是線性時(shí)間算法，而不是指數(shù)時(shí)間算法。

8. 給定邊上容量均為正整數(shù)的流網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)流 f 的 Δ \DeltaΔ 剩余網(wǎng)絡(luò) G f ( Δ ) G_f(\Delta)G?
f
?
?(Δ) 中不存在從源點(diǎn)s到終點(diǎn)t 的有向路徑，如果 Δ = 1 \Delta=1Δ=1 則 f 是該網(wǎng)絡(luò)的最大流。(T)

這個與 Capasity Scaling 算法有關(guān)，算法每次迭代一定會增加至少 1 的流量，所以如果 Δ = 1 \Delta=1Δ=1，說明

9. 判斷：給定兩個判定問題 A 和 B，如果 A 多項(xiàng)式歸約到 B，B 多項(xiàng)式歸約到 A，并且A ∈ NPC，那么 B∈ NPC。(F)
3-SAT 與 co-3SAT 是可以相互歸約的，但是 co-3SAT 是 NPH 的，而不是 NPC 的

這個陳述是正確的。這里涉及到的是計(jì)算復(fù)雜度理論中的多項(xiàng)式時(shí)間歸約和 NP-完全類別（NPC）的定義。讓我們分解這個陳述：

A 多項(xiàng)式歸約到 B：這意味著存在一個多項(xiàng)式時(shí)間算法，可以將問題 A 的每個實(shí)例轉(zhuǎn)化為問題 B 的一個實(shí)例，使得 A 的答案與其對應(yīng)的 B 的答案相同。

B 多項(xiàng)式歸約到 A：這同樣意味著存在一個多項(xiàng)式時(shí)間算法，可以將問題 B 的每個實(shí)例轉(zhuǎn)化為問題 A 的一個實(shí)例，使得 B 的答案與其對應(yīng)的 A 的答案相同。

A ∈ NPC：這意味著問題 A 不僅在 NP 中（即它的解可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)被驗(yàn)證），而且 A 是 NPH 的（即任何 NP 中的問題都可以多項(xiàng)式時(shí)間歸約到 A）。

根據(jù)以上條件，我們可以推斷 B 也在 NP 中。因?yàn)?A 可以多項(xiàng)式時(shí)間歸約到 B，而 A 是 NP 完全的，這意味著任何 NP 中的問題都可以通過 A 歸約到 B。因此，B 也是 NPH 的。

由于 B 可以多項(xiàng)式時(shí)間歸約到 A，說明 A 至少和 B 一樣難，而 A 在 NP 中，這意味著 B 的解也可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)被驗(yàn)證，所以 B 也在 NP 中。

綜上所述，B 是 NP-H的，同時(shí) B 在 NP 中，因此 B 是 NP-完全的。所以，給定兩個判定問題 A 和 B，如果 A 多項(xiàng)式歸約到 B，B 多項(xiàng)式歸約到 A，并且 A ∈ NPC，那么 B ∈ NPC。

這就需要說明當(dāng)我們在證明一個問題 A 是否是 NPC 問題的時(shí)候，我們是先證明這個問題是 NP 問題，然后再將已知的 NPC 問題歸約到這個問題，是因?yàn)?NPC 問題可以多項(xiàng)式時(shí)間驗(yàn)證，但是 NPC 問題歸約到這個問題后，這個問題是一個至少和 NPC 問題一樣難的問題，所以不確定是否可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)被驗(yàn)證。

10. 求解漸進(jìn)表達(dá)式：f(n) = 3f(n-3) + O(1)
References

要求解這個遞歸關(guān)系式 ( f(n) = 3f(n-3) + O(1) )，我們可以通過展開遞歸并觀察其中的模式來找到其漸進(jìn)行為。

首先，讓我們假設(shè) ( O(1) ) 是一個常數(shù)項(xiàng) ( c )（這是合理的，因?yàn)?( O(1) ) 表示一個常量時(shí)間復(fù)雜度）。所以，我們的遞歸關(guān)系式變?yōu)?( f(n) = 3f(n-3) + c )。

現(xiàn)在，我們可以開始展開這個遞歸式：

( f(n) = 3f(n-3) + c )
( f(n-3) = 3f(n-6) + c )
( f(n-6) = 3f(n-9) + c )
… 依此類推
將上面式子乘以 3 相加，就會抵消掉中間項(xiàng)。
如果我們繼續(xù)這個過程，我們會注意到每一步都乘以 3，并且 ( n ) 減少 3。所以，我們可以寫出一般的項(xiàng)如下：

( f ( n ) = 3 k f ( n ? 3 k ) + c ∑ i = 0 k ? 1 3 i ) ( f(n) = 3^k f(n - 3k) + c \sum_{i=0}^{k-1} 3^i )(f(n)=3?
k
?f(n?3k)+c∑?
i=0
k?1
?
?3?
i
?)

在這里，( k ) 是我們需要重復(fù)此過程的次數(shù)，直到我們到達(dá)基本情況?；厩闆r通常是已知的，比如 ( f(0) )、( f(1) ) 或 ( f(2) )（具體取決于問題的初始條件）。對于此遞歸關(guān)系，我們可以假設(shè)基本情況是 ( f(0) = a )（一個常數(shù)）。

最終，我們需要找到當(dāng) ( n ) 趨于無窮大時(shí) ( f(n) ) 的行為。在這個場景中，我們關(guān)注的是最大的項(xiàng)，因?yàn)樗鼘⒅鲗?dǎo)整體的漸進(jìn)行為。這里，最大的項(xiàng)是 ( 3^k )。

因此，( f(n) ) 的漸進(jìn)行為由 ( 3^k ) 決定，這意味著 ( f(n) ) 是指數(shù)級的。具體來說，它是 ( O ( 3 n / 3 O(3^{n/3}O(3?
n/3
?) )，因?yàn)樵诿總€遞歸步驟中，( n ) 減少 3，并且我們將結(jié)果乘以 3。

11. 對于三著色問題(對一個圖的頂點(diǎn)進(jìn)行三種顏色著色使得相鄰兩個點(diǎn)的顏色不一樣)，若存在一個多項(xiàng)式時(shí)間算法判斷一個圖是否可以三著色，則存在一個多項(xiàng)式時(shí)間算法對可以進(jìn)行三著色的圖找到一個可行的三著色。
如果存在一個多項(xiàng)式時(shí)間算法可以判斷一個圖是否可以進(jìn)行三著色（這是一個經(jīng)典的 NP 完全問題），那么實(shí)際上也存在一個多項(xiàng)式時(shí)間算法來找到一個可以進(jìn)行三著色的圖的具體三著色方案。

這是因?yàn)槿珕栴}是一個典型的 NP 完全問題，它的解決方案（如果存在）可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)被驗(yàn)證。NP 完全問題的一個重要特點(diǎn)是它們的決策版本（即判斷是否存在解的問題）和搜索版本（即找到具體解的問題）在計(jì)算復(fù)雜度上是等價(jià)的。

算法過程如下：

對于圖中的每個頂點(diǎn)，嘗試分配三種顏色中的一種。
每次顏色分配后，使用多項(xiàng)式時(shí)間的判斷算法來檢查剩余的圖是否仍然可以進(jìn)行三著色。
如果判斷為否，則回退并嘗試另一種顏色。
由于判斷算法是多項(xiàng)式時(shí)間的，整個搜索過程也將保持在多項(xiàng)式時(shí)間范圍內(nèi)，前提是判斷算法足夠高效以使搜索過程的總體時(shí)間保持在多項(xiàng)式級別。

因此，如果存在一個多項(xiàng)式時(shí)間算法來判斷一個圖是否可以進(jìn)行三著色，那么就存在一個多項(xiàng)式時(shí)間算法來找到一個可以進(jìn)行三著色的圖的具體三著色方案。

補(bǔ)充：
“自我歸約” 的方法實(shí)現(xiàn)。自我歸約過程如下：

對于給定的圖，首先使用決策算法判斷它是否可以進(jìn)行三著色。

如果可以，選擇一個未著色的頂點(diǎn)，并嘗試給它賦予一種顏色。

再次使用決策算法判斷剩余的未著色部分是否仍然可以進(jìn)行三著色。

如果可以，繼續(xù)著色過程；如果不行，嘗試另一種顏色。（此時(shí)，如果可以，說明這個顏色上對了，上之前是可以三著色的，上之后也可。如果上之后，本來可以三著色的，不可以三著色了，那顏色就不對了，換顏色）

重復(fù)這個過程，直到所有頂點(diǎn)都被著色，或者確定圖不可以三著色。

由于每一步都涉及對整個圖或其子圖的多項(xiàng)式時(shí)間決策檢查，整個著色過程的時(shí)間復(fù)雜度也是多項(xiàng)式級別的。因此，如果存在一個多項(xiàng)式時(shí)間算法可以判斷一個圖是否可以三著色，那么也存在一個多項(xiàng)式時(shí)間算法來為可以進(jìn)行三著色的圖找到一個可行的三著色方案。

補(bǔ)充：
不斷加邊進(jìn)去然后進(jìn)行判斷，直到不能加邊為止。這樣三種顏色的點(diǎn)就是圖中三個獨(dú)立集。

這個方法基于 逐步構(gòu)建圖的過程，并在每一步中使用多項(xiàng)式時(shí)間的算法來判斷圖是否仍然可以進(jìn)行三著色。這個過程可以概括如下：

初始步驟：從一個空圖或包含少量頂點(diǎn)和邊的圖開始，確保這個初始圖可以進(jìn)行三著色。

逐步添加邊：每次向圖中添加一條新邊。每添加一條邊后，使用多項(xiàng)式時(shí)間的算法來判斷圖是否仍然可以進(jìn)行三著色。

顏色分配：如果當(dāng)前的圖可以進(jìn)行三著色，繼續(xù)這個過程；如果加入新邊后圖不能進(jìn)行三著色，則撤銷這條邊的添加，并嘗試添加不同的邊。

構(gòu)建獨(dú)立集：通過這種方式，逐漸構(gòu)建圖的結(jié)構(gòu)，直到無法再添加更多的邊為止。此時(shí)，你將得到三個獨(dú)立集，每個集合的頂點(diǎn)可以用一種顏色進(jìn)行著色，且相鄰頂點(diǎn)的顏色不同。

結(jié)束條件：當(dāng)不能再添加任何邊而不破壞三著色性時(shí)，算法結(jié)束。此時(shí)的顏色分配就是圖的一個可行的三著色方案。

這種方法的有效性依賴于用于判斷圖三著色性的多項(xiàng)式時(shí)間算法的存在。如果這樣的算法存在，那么整個構(gòu)造過程將保持在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)。不過，值得注意的是，判斷一個圖是否可以進(jìn)行三著色本身就是一個NP-完全問題，這意味著目前沒有已知的多項(xiàng)式時(shí)間算法來解決這個問題。因此，雖然這種漸進(jìn)式構(gòu)造的方法在理論上是可行的，但在實(shí)踐中，找到一個有效的多項(xiàng)式時(shí)間算法來判斷三著色性仍然是一個開放的問題。

補(bǔ)充：
不斷將兩個不相鄰的點(diǎn)合并成一個點(diǎn)然后進(jìn)行判斷，直到不能再合并為止。最后剩下三個點(diǎn)。
您提出的思路是一種創(chuàng)造性的方法來解決三著色問題，這個方法基于合并不相鄰的頂點(diǎn)，并在每一步中判斷合并后的圖是否仍然可以進(jìn)行三著色。這個過程可以概括如下：

初始步驟：從原始圖開始。

選擇和合并頂點(diǎn)：在每一步中，選擇兩個不相鄰的頂點(diǎn)并將它們合并為一個新頂點(diǎn)。這個新頂點(diǎn)的鄰居是原來兩個頂點(diǎn)鄰居的并集。

判斷三著色性：在每次合并后，使用一個算法來判斷修改后的圖是否仍然可以進(jìn)行三著色。

重復(fù)過程：繼續(xù)這個過程，每次都選擇并合并不相鄰的頂點(diǎn)，直到不能再進(jìn)行合并為止。

結(jié)束條件：最終目標(biāo)是將圖簡化到只剩下三個頂點(diǎn)。如果在這個過程中的任何時(shí)候圖不再滿足三著色性，這意味著原始圖不能進(jìn)行三著色。

這種方法的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確判斷每次合并后圖的三著色性。如果每次合并后圖都保持三著色性，且最終能夠?qū)D簡化到只剩三個頂點(diǎn)，那么原始圖可以進(jìn)行三著色。

然而，需要注意的是，三著色問題是一個已知的 NP-完全問題，這意味著沒有已知的多項(xiàng)式時(shí)間算法來準(zhǔn)確判斷任意圖的三著色性。因此，盡管您的方法在概念上是有趣的，但在實(shí)踐中實(shí)現(xiàn)這種方法的關(guān)鍵步驟（即判斷三著色性）可能是計(jì)算上不可行的。

12. 給出一個圖和一個整數(shù) k，問是否可以在這個圖上刪除 k 個點(diǎn)使得剩余圖上沒有三角形(含有 3 個頂點(diǎn)的圈)。證明這個問題是 NP 完全的。(10分)
要證明一個問題是 NP-完全的，需要滿足兩個條件：首先，該問題本身必須在 NP 中；其次，必須有一個已知的 NP-完全問題能夠在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)歸約到這個問題。對于您提出的問題 —— 給定一個圖和一個整數(shù) k，問是否可以在這個圖上刪除 k 個點(diǎn)使得剩余圖上沒有三角形 —— 我們可以采用以下步驟進(jìn)行證明：

證明問題在 NP 中：一個問題在 NP 中，意味著對于該問題的每一個“是”的實(shí)例，存在一個多項(xiàng)式時(shí)間的驗(yàn)證算法。對于這個問題，如果給出一個刪除的頂點(diǎn)集合，我們可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)檢查剩余的圖是否沒有三角形。具體來說，我們可以首先刪除這些頂點(diǎn)，然后檢查剩余圖中是否存在任何三角形。這可以通過檢查圖中所有三元組的頂點(diǎn)組合來實(shí)現(xiàn)，因此這個問題在 NP 中。

從一個已知的 NP-完全問題進(jìn)行歸約：為了證明這個問題是 NP-完全的，我們需要從一個已知的 NP-完全問題進(jìn)行歸約。一個可能的選擇是從 “頂點(diǎn)覆蓋問題”（Vertex Cover Problem）進(jìn)行歸約。頂點(diǎn)覆蓋問題是這樣的：給定一個圖和一個整數(shù) k，問是否存在一個最多包含 k 個頂點(diǎn)的頂點(diǎn)集合，使得圖中的每條邊至少有一個端點(diǎn)在這個集合中。

我們可以構(gòu)造一個歸約過程，將頂點(diǎn)覆蓋問題歸約為我們的問題：給定一個頂點(diǎn)覆蓋問題的實(shí)例，我們構(gòu)造一個新圖，其中每條邊都被替換為一個三角形。這樣，原圖中的每條邊都對應(yīng)于新圖中的一個三角形。如果原圖有一個大小為 k 的頂點(diǎn)覆蓋，那么我們可以通過刪除相應(yīng)的 k 個頂點(diǎn)來消除新圖中所有的三角形，反之亦然。這個歸約過程是多項(xiàng)式時(shí)間的，因?yàn)樗簧婕皩⒃瓐D中的每條邊替換為三個頂點(diǎn)和三條邊。

通過這種歸約，我們證明了任何頂點(diǎn)覆蓋問題的實(shí)例都可以轉(zhuǎn)化為我們的問題的一個實(shí)例，且解的大小保持不變。由于頂點(diǎn)覆蓋問題是 NP-完全的，我們的問題也是 NP-完全的。

綜上所述，通過證明問題在 NP 中，并且可以從一個已知的 NP-完全問題（如頂點(diǎn)覆蓋問題）進(jìn)行多項(xiàng)式時(shí)間歸約，我們證明了給定一個圖和一個整數(shù) k，問是否可以在這個圖上刪除 k 個點(diǎn)使得剩余圖上沒有三角形的問題是 NP-完全的。

補(bǔ)充：
要更詳細(xì)地說明第2步中的歸約過程，并進(jìn)行雙向證明，我們需要清楚地展示如何從頂點(diǎn)覆蓋問題（Vertex Cover）轉(zhuǎn)換到我們的問題（刪除 k 個點(diǎn)使得剩余圖上沒有三角形），并證明這個轉(zhuǎn)換在正向和反向都是有效的。

歸約過程：
給定一個頂點(diǎn)覆蓋問題的實(shí)例：一個圖 ( G = (V, E) ) 和一個整數(shù) ( k )。我們需要構(gòu)造一個新圖 ( G’ )，并將頂點(diǎn)覆蓋問題轉(zhuǎn)換為我們的問題。

對于圖 ( G ) 中的每條邊 ( (u, v) \in E )，在圖 ( G’ ) 中引入三個新頂點(diǎn) ( x_{(u,v)}, y_{(u,v)}, z_{(u,v)} ) 和三條邊 ( (x_{(u,v)}, y_{(u,v)}), (y_{(u,v)}, z_{(u,v)}), (z_{(u,v)}, x_{(u,v)}) ) 形成一個三角形。

對于每個原始圖 ( G ) 中的頂點(diǎn) ( v )，在 ( G’ ) 中引入一個對應(yīng)的頂點(diǎn) ( v’ )。對于每條邊 ( (u, v) \in E )，在 ( G’ ) 中添加邊 ( (u’, x_{(u,v)}) ) 和 ( (v’, x_{(u,v)}) )。

這樣，每條原圖 ( G ) 中的邊都對應(yīng)于新圖 ( G’ ) 中的一個三角形。

正向證明：
如果 ( G ) 有一個大小為 ( k ) 的頂點(diǎn)覆蓋，那么存在 ( k ) 個頂點(diǎn)，使得 ( G ) 中的每條邊至少有一個端點(diǎn)在這個頂點(diǎn)覆蓋中。對于 ( G’ )，刪除與這 ( k ) 個頂點(diǎn)相對應(yīng)的 ( k ) 個頂點(diǎn) ( v’ )，將刪除與 ( G ) 中每條邊相對應(yīng)的三角形中的至少一條邊，因此刪除所有三角形。

反向證明：
如果在 ( G’ ) 中可以通過刪除 ( k ) 個頂點(diǎn)來消除所有三角形，那么這些被刪除的頂點(diǎn)對應(yīng)于 ( G ) 中的一個頂點(diǎn)覆蓋。因?yàn)槊總€三角形對應(yīng)于 ( G ) 中的一條邊，要消除三角形，至少需要刪除三角形中的一個頂點(diǎn)。由于在 ( G’ ) 中刪除的頂點(diǎn)數(shù)目限制為 ( k )，所以這些頂點(diǎn)在 ( G ) 中形成一個頂點(diǎn)覆蓋。

綜上所述，通過這個歸約過程，我們展示了從頂點(diǎn)覆蓋問題到刪除 k 個點(diǎn)使得剩余圖上沒有三角形的問題的轉(zhuǎn)換在正向和反向都是有效的，從而證明了這個問題是 NP-完全的。

了解了，讓我們更詳細(xì)地探討這個歸約過程的正向和反向證明，以展示其邏輯上的嚴(yán)密性。

歸約過程
從頂點(diǎn)覆蓋問題（Vertex Cover）歸約到刪除頂點(diǎn)消除三角形問題。

原始問題（頂點(diǎn)覆蓋問題）：給定圖 ( G = (V, E) ) 和整數(shù) ( k )，是否存在一個至多包含 ( k ) 個頂點(diǎn)的集合，使得圖中的每條邊至少有一個端點(diǎn)在這個集合中？

目標(biāo)問題（刪除頂點(diǎn)消除三角形問題）：給定圖 ( G’ ) 和整數(shù) ( k )，是否可以刪除至多 ( k ) 個頂點(diǎn)來使得剩余圖中不存在任何三角形？

正向證明（如果原始問題可解，則目標(biāo)問題也可解）
假設(shè)：存在一個大小為 ( k ) 的頂點(diǎn)覆蓋 ( C \subseteq V ) 在原始圖 ( G ) 中。

構(gòu)造：在 ( G’ ) 中，我們選擇刪除所有對應(yīng)于 ( C ) 中頂點(diǎn)的頂點(diǎn)。

邏輯：由于 ( C ) 是一個頂點(diǎn)覆蓋，所以 ( G ) 中的每條邊 ( (u, v) ) 至少有一個端點(diǎn) ( u ) 或 ( v ) 在 ( C ) 中。因此，在 ( G’ ) 中，與 ( (u, v) ) 對應(yīng)的每個三角形至少有一個頂點(diǎn)與 ( C ) 中的某個頂點(diǎn)相連。刪除 ( C ) 對應(yīng)的頂點(diǎn)會導(dǎo)致與之相連的三角形中至少一條邊被移除，從而消除所有這些三角形。

結(jié)論：因此，如果原始圖 ( G ) 有一個大小為 ( k ) 的頂點(diǎn)覆蓋，則在 ( G’ ) 中刪除相應(yīng)的 ( k ) 個頂點(diǎn)會消除所有三角形。

反向證明（如果目標(biāo)問題可解，則原始問題也可解）
假設(shè)：在 ( G’ ) 中，我們可以通過刪除 ( k ) 個頂點(diǎn)來消除所有三角形。

構(gòu)造：選擇在 ( G’ ) 中刪除的這 ( k ) 個頂點(diǎn)所對應(yīng)的原始圖 ( G ) 中的頂點(diǎn)。

邏輯：由于刪除這些頂點(diǎn)消除了 ( G’ ) 中的所有三角形，這意味著對于 ( G ) 中的每條邊 ( (u, v) )，至少 ( u ) 或 ( v ) 在刪除的頂點(diǎn)集合中。因此，這個集合是原始圖 ( G ) 的一個頂點(diǎn)覆蓋。

結(jié)論：因此，如果在 ( G’ ) 中可以通過刪除 ( k ) 個頂點(diǎn)來消除所有三角形，則存在一個大小為 ( k ) 的頂點(diǎn)覆蓋在原始圖 ( G ) 中。

通過這種雙向證明，我們展示了這個歸約過程在邏輯上的嚴(yán)密性，從而證明了刪除頂點(diǎn)消除三角形問題是 NP-完全的。

13. 判定問題 A：給定包含奇數(shù)個結(jié)點(diǎn)的簡單無向圖，判斷其是否包含哈密爾頓圈；判定問題B：給定包含偶數(shù)個結(jié)點(diǎn)的簡單無向圖，判斷其是否包含哈密爾頓圈；證明問題A可多項(xiàng)式歸約到問題B。
要證明判定問題 A（給定包含奇數(shù)個結(jié)點(diǎn)的簡單無向圖，判斷其是否包含哈密爾頓圈）可以多項(xiàng)式歸約到問題 B（給定包含偶數(shù)個結(jié)點(diǎn)的簡單無向圖，判斷其是否包含哈密爾頓圈），我們需要構(gòu)建一個多項(xiàng)式時(shí)間的過程，將問題 A 的任意實(shí)例轉(zhuǎn)換為問題 B 的實(shí)例，使得原實(shí)例的答案與轉(zhuǎn)換后的實(shí)例的答案相同。

歸約過程
給定實(shí)例：假設(shè)我們有一個判定問題 A 的實(shí)例，即一個包含奇數(shù)個結(jié)點(diǎn) ( n ) 的簡單無向圖 ( G )。

構(gòu)造新圖：我們構(gòu)造一個新的圖 ( G’ )，它包含 ( G ) 中所有的結(jié)點(diǎn)和邊，并添加一個額外的結(jié)點(diǎn) ( v_{\text{new}} )。對于 ( G ) 中的每個結(jié)點(diǎn) ( u )，在 ( G’ ) 中添加一條邊 ( (u, v_{\text{new}}) )。

新圖的結(jié)點(diǎn)數(shù)：由于原圖 ( G ) 有奇數(shù)個結(jié)點(diǎn)，添加一個額外的結(jié)點(diǎn)后，新圖 ( G’ ) 將有偶數(shù)個結(jié)點(diǎn)。

保持哈密爾頓圈的特性：如果原圖 ( G ) 包含一個哈密爾頓圈，那么在 ( G’ ) 中，我們可以構(gòu)造一個類似的哈密爾頓圈，它通過新添加的結(jié)點(diǎn) ( v_{\text{new}} ) 和圈中的任意兩個相鄰結(jié)點(diǎn)。反之，如果 ( G’ ) 包含一個哈密爾頓圈，那么移除 ( v_{\text{new}} ) 及其相連的兩條邊，剩下的路徑可以在 ( G ) 中形成一個哈密爾頓圈。

證明
正向：如果 ( G ) 中存在哈密爾頓圈，那么在 ( G’ ) 中也存在哈密爾頓圈。在 ( G’ ) 中的哈密爾頓圈會經(jīng)過新加入的結(jié)點(diǎn) ( v_{\text{new}} ) 并沿著原來 ( G ) 中的哈密爾頓圈走一圈。

反向：如果 ( G’ ) 中存在哈密爾頓圈，那么當(dāng)我們移除結(jié)點(diǎn) ( v_{\text{new}} ) 及其相連的兩條邊后，剩下的路徑在原圖 ( G ) 中將形成一個哈密爾頓圈。

結(jié)論
因此，問題 A 可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)歸約到問題 B，因?yàn)槲覀兛梢栽诙囗?xiàng)式時(shí)間內(nèi)從任意給定的包含奇數(shù)個結(jié)點(diǎn)的圖構(gòu)造出一個包含偶數(shù)個結(jié)點(diǎn)的圖，并且這兩個圖在是否存在哈密爾頓圈這一問題上具有相同的答案。這證明了問題 A 可以多項(xiàng)式歸約到問題 B。

了解了，讓我們更詳細(xì)地探討歸約過程的正向和反向證明。

歸約過程
從問題 A（奇數(shù)個結(jié)點(diǎn)的哈密爾頓圈問題）歸約到問題 B（偶數(shù)個結(jié)點(diǎn)的哈密爾頓圈問題）。

問題 A: 給定一個包含奇數(shù)個結(jié)點(diǎn)的簡單無向圖 ( G )，判斷其是否包含哈密爾頓圈。

問題 B: 給定一個包含偶數(shù)個結(jié)點(diǎn)的簡單無向圖 ( G’ )，判斷其是否包含哈密爾頓圈。

正向證明（如果問題 A 的實(shí)例有解，則問題 B 的對應(yīng)實(shí)例也有解）
構(gòu)造新圖 ( G’ )：給定問題 A 的一個實(shí)例，即一個包含奇數(shù)個結(jié)點(diǎn)的簡單無向圖 ( G )，我們添加一個新結(jié)點(diǎn) ( v_{\text{new}} ) 到 ( G ) 中，并將 ( v_{\text{new}} ) 與 ( G ) 中的所有其他結(jié)點(diǎn)連接。這樣，新圖 ( G’ ) 包含偶數(shù)個結(jié)點(diǎn)。

哈密爾頓圈的轉(zhuǎn)換：假設(shè) ( G ) 中存在一個哈密爾頓圈。在 ( G’ ) 中，我們可以通過在 ( G ) 的哈密爾頓圈中選擇任意兩個相鄰結(jié)點(diǎn) ( u ) 和 ( v )，將這兩個結(jié)點(diǎn)之間的邊替換為兩條邊 ( (u, v_{\text{new}}) ) 和 ( (v_{\text{new}}, v) )。這樣，在 ( G’ ) 中也構(gòu)成了一個哈密爾頓圈，包含新加入的結(jié)點(diǎn) ( v_{\text{new}} )。

反向證明（如果問題 B 的實(shí)例有解，則問題 A 的對應(yīng)實(shí)例也有解）
分析新圖 ( G’ )：考慮問題 B 的一個實(shí)例，即圖 ( G’ )，它是從圖 ( G ) 通過添加一個新結(jié)點(diǎn) ( v_{\text{new}} ) 和連接 ( v_{\text{new}} ) 到 ( G ) 中所有其他結(jié)點(diǎn)得到的。

哈密爾頓圈的還原：假設(shè) ( G’ ) 中存在一個哈密爾頓圈。由于新加入的結(jié)點(diǎn) ( v_{\text{new}} ) 與 ( G ) 中的所有其他結(jié)點(diǎn)相連，它必然位于 ( G’ ) 中的哈密爾頓圈上。在 ( G’ ) 的哈密爾頓圈中，移除 ( v_{\text{new}} ) 及其相連的兩條邊，剩下的路徑在 ( G ) 中將形成一個哈密爾頓圈。

結(jié)論
因此，我們展示了如果原始圖 ( G )（問題 A 的實(shí)例）有一個哈密爾頓圈，那么構(gòu)造的圖 ( G’ )（問題 B 的對應(yīng)實(shí)例）也有一個哈密爾頓圈，反之亦然。這證明了問題 A 可以多項(xiàng)式歸約到問題 B。

14. 判斷：如果存在一個從問題 A 到問題 B 的多項(xiàng)式時(shí)間歸約(Polynomial reduction)，且問題 A 是 NP 難的，則可知問題 B 也是 NP 難的。(√)
這個陳述是正確的。在計(jì)算理論中，如果存在一個從問題 A 到問題 B 的多項(xiàng)式時(shí)間歸約，并且問題 A 是 NP-難（NP-hard）的，那么問題 B 也是 NP-難的。讓我們更詳細(xì)地解釋這個邏輯：

多項(xiàng)式時(shí)間歸約：這意味著我們可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)將問題 A 的每個實(shí)例轉(zhuǎn)換成問題 B 的一個實(shí)例。

問題 A 是 NP-難的：這意味著所有在 NP 中的問題都可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)歸約到問題 A。

問題 B 的 NP-難性：由于問題 A 是 NP-難的，且存在一個多項(xiàng)式時(shí)間歸約從 A 到 B，這意味著任何在 NP 中的問題都可以先在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)歸約到 A，然后再從 A 歸約到 B。因此，所有 NP 中的問題也可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)歸約到問題 B，使得 B 至少和 NP 中的任何問題一樣困難，即問題 B 也是 NP-難的。

總之，如果問題 A 是 NP-難的，并且存在一個從 A 到 B 的多項(xiàng)式時(shí)間歸約，那么問題 B 也是 NP-難的。這是計(jì)算理論中關(guān)于 NP-難度和多項(xiàng)式時(shí)間歸約的基本邏輯。

15. 當(dāng)圖中的頂點(diǎn)個數(shù)是常數(shù)時(shí)，最大獨(dú)立集問題 (Maximum Independent SetProblem)是多項(xiàng)式時(shí)間可解的. ( √ )
您的陳述是正確的。當(dāng)圖中的頂點(diǎn)個數(shù)是常數(shù)時(shí)，最大獨(dú)立集問題（Maximum Independent Set Problem）確實(shí)可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決。

最大獨(dú)立集問題是找出圖中最大的獨(dú)立集的大小，其中一個獨(dú)立集是一個頂點(diǎn)的集合，使得集合中任何兩個頂點(diǎn)之間都沒有邊相連。對于一個具有 ( n ) 個頂點(diǎn)的圖，存在 ( 2 n 2^n2?
n
? ) 種可能的頂點(diǎn)子集，每個子集都可能是一個獨(dú)立集。要解決最大獨(dú)立集問題，理論上需要檢查這些所有可能的子集，看哪個是最大的獨(dú)立集。

當(dāng) ( n ) 是一個固定的常數(shù)時(shí)，( 2 n 2^n2?
n
? ) 也是一個常數(shù)。這意味著即使使用窮舉法來檢查所有可能的子集，所需的時(shí)間也是常數(shù)時(shí)間，可以認(rèn)為是多項(xiàng)式時(shí)間（實(shí)際上是 ( O(1) ) 時(shí)間）。因此，在這種特殊情況下，最大獨(dú)立集問題變成了多項(xiàng)式時(shí)間可解的。

然而，需要注意的是，當(dāng) ( n ) 不是常數(shù)，而是圖的大小的一個函數(shù)時(shí)，最大獨(dú)立集問題是 NP-難的，這意味著沒有已知的多項(xiàng)式時(shí)間算法可以解決所有可能大小的圖的最大獨(dú)立集問題。

16. 動態(tài)規(guī)劃算法有可能是多項(xiàng)式時(shí)間的也有可能是指數(shù)時(shí)間的。
您的陳述是正確的。動態(tài)規(guī)劃算法的時(shí)間復(fù)雜度取決于具體問題和算法的設(shè)計(jì)。這意味著，根據(jù)不同的應(yīng)用場景，動態(tài)規(guī)劃算法可以是多項(xiàng)式時(shí)間的，也可以是指數(shù)時(shí)間的。讓我們來具體解釋一下：

多項(xiàng)式時(shí)間的動態(tài)規(guī)劃：對于某些問題，動態(tài)規(guī)劃可以高效地解決，其時(shí)間復(fù)雜度是多項(xiàng)式級別的。例如，最短路徑問題（如 Floyd-Warshall 算法）、0-1 背包問題（這個是偽多項(xiàng)式時(shí)間的）、最長公共子序列問題等。這些問題的特點(diǎn)是它們的子問題數(shù)量和每個子問題的解決方案數(shù)量都是輸入大小的多項(xiàng)式函數(shù)。

指數(shù)時(shí)間的動態(tài)規(guī)劃：對于另一些問題，即使使用動態(tài)規(guī)劃，算法的時(shí)間復(fù)雜度仍可能是指數(shù)級的。這通常發(fā)生在所謂的“偽多項(xiàng)式時(shí)間”算法中，其中算法的時(shí)間復(fù)雜度取決于數(shù)值輸入的大小，而不是輸入的長度。例如，子集和問題（Subset Sum Problem）和旅行銷售員問題（Traveling Salesman Problem）的某些版本。在這些情況下，盡管動態(tài)規(guī)劃可以減少重復(fù)計(jì)算，但由于狀態(tài)空間本身是指數(shù)級的，所以整體算法仍然是指數(shù)時(shí)間的。

因此，動態(tài)規(guī)劃作為一種算法設(shè)計(jì)技術(shù)，其性能依賴于具體問題的性質(zhì)和狀態(tài)空間的大小。在某些情況下，它提供了高效的多項(xiàng)式時(shí)間解決方案，而在其他情況下，盡管能夠簡化問題，但仍然需要指數(shù)時(shí)間來解決。

17. 給定任意連通的無向有權(quán)圖 G，每條邊 e 上的權(quán)重 c(e) 都是不同的整數(shù)。G 的最小生成樹是 G 的一個連通的、無圈的、邊的權(quán)重之和最小的包含圖中所有頂點(diǎn)的子圖。如果 e* 是圖 G 上權(quán)重最小的邊，那么一定有一棵圖 G 的最小生成樹 T 包含邊 e*。請問這個命題是否正確，如果正確，請給出證明;如果不正確，請給出反例。(8分)
這個命題是正確的。我們可以用切割定理（Cut Property）來證明這個命題。切割定理是最小生成樹理論中的一個基本概念，它可以用來證明某條邊是否屬于某個圖的最小生成樹。

切割定理（Cut Property）
定理：在一個連通圖中，如果你通過刪除一些邊將圖分割成兩部分，那么連接這兩部分且具有最小權(quán)重的邊必定屬于圖的任意一個最小生成樹。

證明
給定：假設(shè) ( e^* ) 是圖 ( G ) 上權(quán)重最小的邊，連接著頂點(diǎn) ( u ) 和 ( v )。

構(gòu)造切割：考慮一個將頂點(diǎn) ( u ) 和 ( v ) 分在不同部分的切割。由于 ( e^* ) 是連接這兩個部分的邊，且其權(quán)重在所有這樣的邊中最小，根據(jù)切割定理，( e^* ) 必定屬于 ( G ) 的任意一個最小生成樹。

邏輯推理：由于 ( e^* ) 是權(quán)重最小的邊，因此在任何包含 ( u ) 和 ( v ) 的切割中，沒有其他邊的權(quán)重可以比 ( e^* ) 的權(quán)重更小。所以，在構(gòu)建最小生成樹時(shí)，添加 ( e^* ) 總是最優(yōu)的選擇。

結(jié)論：因此，任何一棵圖 ( G ) 的最小生成樹 ( T ) 都會包含邊 ( e^* )。

這個證明基于切割定理，明確說明了在任何連通的無向有權(quán)圖中，權(quán)重最小的邊一定屬于該圖的最小生成樹。

如果最小生成樹 T 中不包含權(quán)重最小的邊 e ? e^*e?
?
?，則將 e ? e^*e?
?
? 添加到 T 上一定形成圈；（這是最小生成樹的原理，當(dāng)添加某條邊后形成了一個圈，那這條邊就必須去掉，kruskal 算法）

刪除該圈上除了 e ? e^*e?
?
? 之外任意一條邊 e ′ e'e?
′
? ，得到新的生成樹 T ′ T'T?
′
?；

因?yàn)?c ( e ? ) < c ( e ′ ) c(e^*) < c(e')c(e?
?
?)<c(e?
′
?) ，所以生成樹 T ′ T'T?
′
? 上邊的權(quán)重之和小于 T，矛盾。

18. 下面是同一個問題的判定問題版本和優(yōu)化問題版本
判定問題：對于任意簡單無向圖 G 和整數(shù) k，是否可以在這個圖中刪除 k 個頂點(diǎn)使得剩余圖中不存在三角形（長度為 3 的圈）
優(yōu)化問題：對于任意簡單無向圖，至少需要刪除圖中多少個頂點(diǎn)，才能使剩余圖中不存在三角形(長度為3的圈）
(1）證明該判定問題是 NP 完全問題。
(2）請為該優(yōu)化問題設(shè)計(jì)一個3倍近似算法。
證明判定問題是 NP 完全問題
為了證明判定問題是 NP 完全的，我們需要證明該問題同時(shí)滿足兩個條件：(1) 它在 NP 中，和 (2) 所有 NP 中的問題都可以多項(xiàng)式時(shí)間歸約到它。

在 NP 中：一個問題在 NP 中，意味著對于該問題的每一個“是”的實(shí)例，存在一個多項(xiàng)式時(shí)間的驗(yàn)證算法。對于我們的判定問題，給定一個簡單無向圖 ( G ) 和一個整數(shù) ( k )，以及一個頂點(diǎn)集 ( S ) 作為解決方案，我們可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)驗(yàn)證刪除 ( S ) 中的 ( k ) 個頂點(diǎn)之后圖 ( G ) 是否不包含任何三角形。

NP 完全的歸約：要證明這個問題是 NP 完全的，通常的方法是從一個已知的 NP 完全問題進(jìn)行歸約。在這種情況下，我們可以選擇獨(dú)立集問題，這是一個典型的 NP 完全問題。獨(dú)立集問題是判斷給定圖 ( G ) 是否存在一個大小至少為 ( k ) 的獨(dú)立集（即一個頂點(diǎn)集合，其中沒有兩個頂點(diǎn)是相鄰的）。

歸約過程：給定一個獨(dú)立集問題的實(shí)例 ( G ) 和 ( k )，我們構(gòu)造一個新的圖 ( G’ )，它包含了 ( G ) 中的所有頂點(diǎn)和邊，并且對于 ( G ) 中的每個獨(dú)立集合大小小于 ( k ) 的頂點(diǎn)，我們在 ( G’ ) 中添加額外的邊和頂點(diǎn)形成三角形，使得這些頂點(diǎn)不再是 ( G’ ) 中的獨(dú)立集的一部分。然后我們問，在 ( G’ ) 中是否可以通過刪除少于或等于 ( n-k )（( n ) 是 ( G’ ) 中頂點(diǎn)的總數(shù)）個頂點(diǎn)來消除所有三角形。

這個歸約是多項(xiàng)式時(shí)間的，因?yàn)樗婕暗皆谠紙D中添加有限數(shù)量的邊和頂點(diǎn)。如果原始圖的獨(dú)立集大小至少為 ( k )，那么在新圖中刪除恰好 ( n-k ) 個頂點(diǎn)就足以消除所有新增加的三角形，反之亦然。

為優(yōu)化問題設(shè)計(jì)一個 3 倍近似算法
優(yōu)化問題要求找到最少的頂點(diǎn)數(shù)，其刪除能使圖中不再包含任何三角形。下面是一個可能的 3 倍近似算法：

初始化：令刪除頂點(diǎn)集 ( S = \emptyset )。

循環(huán)直至無三角形：只要圖 ( G ) 中還存在三角形，執(zhí)行以下步驟：
a. 選擇一個三角形（由頂點(diǎn) ( u, v, w ) 組成）。
b. 將 ( u, v, w ) 添加到刪除頂點(diǎn)集 ( S ) 中。
c. 從圖 ( G ) 中刪除頂點(diǎn) ( u, v, w )。

輸出：最終，輸出刪除頂點(diǎn)集 ( S ) 的大小。

近似比分析：該算法每次刪除一個三角形時(shí)，都刪除了該三角形的所有三個頂點(diǎn)。在最壞情況下，每個頂點(diǎn)可能只對應(yīng)一個三角形，因此這個算法可能刪除了三倍于最優(yōu)解所需刪除的頂點(diǎn)數(shù)。因此，這是一個 3 倍近似算法。

對判定問題的 NP 完全性證明中的歸約過程進(jìn)行詳細(xì)的雙向證明。

歸約過程
從獨(dú)立集問題歸約到刪除頂點(diǎn)消除三角形問題。

獨(dú)立集問題：對于給定的圖 ( G ) 和整數(shù) ( k )，判斷 ( G ) 是否含有大小至少為 ( k ) 的獨(dú)立集。

刪除頂點(diǎn)消除三角形問題：給定圖 ( G ) 和整數(shù) ( k )，判斷是否可以刪除 ( k ) 個頂點(diǎn)使得剩余圖中不存在三角形。

正向證明（如果獨(dú)立集問題可解，則刪除頂點(diǎn)消除三角形問題也可解）
假設(shè)：假設(shè)在圖 ( G ) 中存在大小至少為 ( k ) 的獨(dú)立集。

構(gòu)造新圖：在圖 ( G ) 中，對于不在獨(dú)立集中的每個頂點(diǎn)，我們添加額外的邊和頂點(diǎn)來形成三角形，確保這些頂點(diǎn)不在任何的獨(dú)立集中。

邏輯推理：由于存在大小至少為 ( k ) 的獨(dú)立集，我們可以刪除所有不在獨(dú)立集中的頂點(diǎn)（及其形成的三角形），從而在新圖中刪除所有三角形。

結(jié)論：因此，如果獨(dú)立集問題的答案是肯定的，那么刪除頂點(diǎn)消除三角形問題的答案也是肯定的。

反向證明（如果刪除頂點(diǎn)消除三角形問題可解，則獨(dú)立集問題也可解）
假設(shè)：假設(shè)可以通過刪除 ( k ) 個頂點(diǎn)來消除新圖中所有的三角形。

構(gòu)造原始圖的獨(dú)立集：在原始圖 ( G ) 中，選擇所有未被刪除的頂點(diǎn)。

邏輯推理：由于新圖中所有三角形都被消除了，這意味著原始圖中所有未被刪除的頂點(diǎn)都不相鄰，形成了一個獨(dú)立集。

結(jié)論：因此，如果刪除頂點(diǎn)消除三角形問題的答案是肯定的，那么原始圖 ( G ) 中存在一個大小至少為 ( k ) 的獨(dú)立集。

綜上所述，通過雙向證明，我們展示了從獨(dú)立集問題到刪除頂點(diǎn)消除三角形問題的有效歸約，從而證明了刪除頂點(diǎn)消除三角形問題是 NP 完全的。

要利用點(diǎn)覆蓋問題（Vertex Cover）來證明判定問題（刪除 (k) 個頂點(diǎn)以消除所有三角形）是 NP 完全的，我們可以進(jìn)行如下歸約：

點(diǎn)覆蓋問題到判定問題的歸約
點(diǎn)覆蓋問題定義：

給定圖 (G) 和整數(shù) (k)，點(diǎn)覆蓋問題要求判斷是否存在一個頂點(diǎn)集合 (C)，大小至多為 (k)，使得 (G) 中的每條邊至少有一個端點(diǎn)在 (C) 中。
歸約過程：

給定點(diǎn)覆蓋問題的一個實(shí)例，即圖 (G) 和整數(shù) (k)。
構(gòu)造一個新圖 (G’)，它包含 (G) 中的所有頂點(diǎn)和邊。
對于 (G) 中的每條邊 (e = (u, v))，在 (G’) 中添加一個新頂點(diǎn) (w_{e})，并將 (w_{e}) 與 (u) 和 (v) 連接。
最后，問是否可以在 (G’) 中刪除最多 (k) 個頂點(diǎn)來消除所有三角形。
正向證明
假設(shè)：存在一個大小最多為 (k) 的點(diǎn)覆蓋 (C) 在原圖 (G) 中。
構(gòu)造：在 (G’) 中，刪除與 (C) 中頂點(diǎn)相連的所有新添加的頂點(diǎn) (w_{e})。
邏輯推理：由于 (C) 是點(diǎn)覆蓋，刪除與 (C) 相連的所有 (w_{e}) 將消除所有新添加的三角形。
結(jié)論：因此，如果 (G) 有一個大小最多為 (k) 的點(diǎn)覆蓋，則可以在 (G’) 中刪除最多 (k) 個頂點(diǎn)來消除所有三角形。
反向證明
假設(shè)：可以在 (G’) 中刪除最多 (k) 個頂點(diǎn)來消除所有三角形。
構(gòu)造：選擇在 (G’) 中未被刪除的原始圖 (G) 的頂點(diǎn)，形成集合 (C)。
邏輯推理：由于刪除這些頂點(diǎn)消除了所有三角形，這意味著每條原始邊 (e) 的新頂點(diǎn) (w_{e}) 都被消除，表明 (e) 的至少一個端點(diǎn)在 (C) 中。
結(jié)論：因此，如果在 (G’) 中可以通過刪除最多 (k) 個頂點(diǎn)來消除所有三角形，則 (C) 是 (G) 中大小最多為 (k) 的點(diǎn)覆蓋。
結(jié)論
通過這種雙向證明，我們展示了點(diǎn)覆蓋問題到判定問題（刪除 (k) 個頂點(diǎn)以消除所有三角形）的有效歸約，從而證明了該判定問題是 NP 完全的。

19. 點(diǎn)覆蓋的自身規(guī)約問題？
要從判定問題（判斷一個圖中是否存在點(diǎn)數(shù)為 (k) 的最小點(diǎn)覆蓋）構(gòu)造出尋找最小點(diǎn)覆蓋的具體解的多項(xiàng)式時(shí)間算法，我們可以使用一種稱為參數(shù)搜索的方法。這種方法基于判定問題的解來逐步縮小最小點(diǎn)覆蓋的大小。以下是算法的一個概述：

算法步驟
初始化：設(shè)定最小點(diǎn)覆蓋的上限大小為 (n)（圖中頂點(diǎn)的總數(shù)）。

二分搜索：使用二分搜索來確定最小點(diǎn)覆蓋的最小可能大小。在每一步中，對于當(dāng)前考慮的大小 (k)（初始為 (\frac{n}{2})），使用判定問題的算法來判斷圖中是否存在大小為 (k) 的點(diǎn)覆蓋。

如果存在，則記錄 (k) 并減小上限；
如果不存在，則增加下限。
縮小搜索范圍：在確定了最小點(diǎn)覆蓋的確切大小 (k) 后，對圖中的每個頂點(diǎn)進(jìn)行如下操作：

臨時(shí)從圖中移除一個頂點(diǎn) (v) 及其相連的所有邊。
再次使用判定問題的算法來判斷剩余圖中是否存在大小為 (k-1) 的點(diǎn)覆蓋。
如果存在，則 (v) 不是最小點(diǎn)覆蓋的一部分，將 (v) 永久移除；
如果不存在，則 (v) 是最小點(diǎn)覆蓋的一部分，將 (v) 添加到最小點(diǎn)覆蓋集合中，并保持 (v) 在圖中。
構(gòu)造最小點(diǎn)覆蓋：重復(fù)第 3 步，直到找到大小為 (k) 的最小點(diǎn)覆蓋集合。

復(fù)雜度分析
二分搜索：二分搜索的步驟是多項(xiàng)式時(shí)間的，因?yàn)槊看尾僮鞫紝⑺阉鞣秶鷾p半，總共需要 (O(\log n)) 次判定操作。
構(gòu)造過程：在構(gòu)造最小點(diǎn)覆蓋的過程中，每個頂點(diǎn)都需要進(jìn)行一次判定操作，總共需要 (O(n)) 次判定操作。
結(jié)論
由于每次判定操作都是多項(xiàng)式時(shí)間的，整個構(gòu)造算法是多項(xiàng)式時(shí)間的。這種方法基于已有的判定問題算法，通過逐步縮小搜索范圍和確認(rèn)最小點(diǎn)覆蓋集合中的頂點(diǎn)來構(gòu)造最小點(diǎn)覆蓋的具體解。

20. 哈密頓圈的自身規(guī)約問題
要從判斷任意簡單無向圖是否存在哈密爾頓圈的多項(xiàng)式時(shí)間算法構(gòu)造出構(gòu)造哈密爾頓圈（如果存在的話）的多項(xiàng)式時(shí)間算法，我們可以使用一種增量構(gòu)建的方法。這種方法基于判定問題的解來逐步構(gòu)造哈密爾頓圈。以下是算法的一個概述：

算法步驟
初始化：從圖中任選一個頂點(diǎn)作為起始點(diǎn)。

增量構(gòu)建路徑：逐步增加路徑長度，每次添加一個頂點(diǎn)到當(dāng)前路徑的末端，直到路徑包含所有頂點(diǎn)或確定不可能構(gòu)成哈密爾頓圈為止。在每一步中：

對于當(dāng)前路徑的末端頂點(diǎn)，考慮與其相鄰的所有未在當(dāng)前路徑中的頂點(diǎn)。
對于每一個這樣的頂點(diǎn)，添加到當(dāng)前路徑末端，并利用判定算法檢查剩余的圖是否存在哈密爾頓路徑。
如果存在，繼續(xù)當(dāng)前過程；如果不存在，撤銷添加這個頂點(diǎn)的操作，嘗試下一個頂點(diǎn)。
回溯：如果在任意步驟中，所有的相鄰頂點(diǎn)都不能導(dǎo)致哈密爾頓圈的構(gòu)造，則回溯到上一步，嘗試不同的頂點(diǎn)擴(kuò)展路徑。

完成構(gòu)造：當(dāng)路徑包含所有頂點(diǎn)且能形成一個圈時(shí)，該路徑即為哈密爾頓圈。

復(fù)雜度分析
在最壞情況下，算法可能需要嘗試圖中所有頂點(diǎn)的所有排列來找到哈密爾頓圈，這是一個非常高的計(jì)算成本。然而，由于存在一個多項(xiàng)式時(shí)間的判定算法，我們可以在每一步中有效地排除那些不會導(dǎo)致哈密爾頓圈的路徑，這顯著減少了需要檢查的總路徑數(shù)量。

在實(shí)際操作中，算法的效率高度依賴于給定圖的結(jié)構(gòu)和判定算法的效率。在某些圖中，這個方法可能相對高效；在其他圖中，可能需要更多的回溯和嘗試。

結(jié)論
通過這種增量構(gòu)建和回溯的方法，如果存在一個多項(xiàng)式時(shí)間的判定算法，那么我們可以構(gòu)造出一個多項(xiàng)式時(shí)間的算法來構(gòu)建哈密爾頓圈（如果它存在的話）。需要注意的是，這種方法的效率高度依賴于判定算法的性能和圖的特定結(jié)構(gòu)。

要改為減邊的形式來構(gòu)造哈密爾頓圈，我們可以使用一種基于邊刪除的方法。這種方法逆向工作，從完整的圖開始，逐漸刪除邊，直到找到哈密爾頓圈或確定圖中不存在哈密爾頓圈為止。以下是算法的一個概述：

算法步驟
初始化：從原始圖 (G) 開始，其中包含所有頂點(diǎn)和邊。

逐步刪除邊：遍歷圖 (G) 中的每一條邊，對于每一條邊 (e)：

臨時(shí)從圖 (G) 中移除邊 (e)。
使用判定算法檢查刪除邊 (e) 后的圖 (G) 是否仍然包含哈密爾頓圈。
如果存在哈密爾頓圈，保持邊 (e) 被移除；如果不存在，撤銷移除邊 (e) 的操作。
回溯：如果在任意步驟中，所有的刪除操作都不能導(dǎo)致哈密爾頓圈的構(gòu)造，則回溯到上一步，嘗試不同的邊刪除。

完成構(gòu)造：當(dāng)圖中剩余的邊剛好形成一個哈密爾頓圈時(shí)，停止刪除邊。此時(shí)的圖即為哈密爾頓圈。

復(fù)雜度分析
與增量方法類似，在最壞情況下，算法可能需要嘗試刪除圖中的所有邊的不同組合來找到哈密爾頓圈，這可能涉及大量的計(jì)算。但由于存在一個多項(xiàng)式時(shí)間的判定算法，我們可以有效地排除那些不會導(dǎo)致哈密爾頓圈的邊刪除操作，從而減少所需的工作量。

效率同樣高度依賴于判定算法的性能和給定圖的特定結(jié)構(gòu)。

結(jié)論
通過這種逐步刪除邊的方法，如果存在一個多項(xiàng)式時(shí)間的判定算法，那么我們可以構(gòu)造出一個多項(xiàng)式時(shí)間的算法來尋找哈密爾頓圈（如果存在的話）。這種方法的有效性依賴于判定算法的準(zhǔn)確性和效率，以及原始圖的特性。

21. 三著色問題的自身規(guī)約
要從判斷一個圖是否可以進(jìn)行三著色的多項(xiàng)式時(shí)間算法構(gòu)造出找到具體三著色方案的算法，我們可以考慮兩種不同的策略：解法一和解法二。下面我將對這兩種策略進(jìn)行詳細(xì)描述。

解法一：逐步加邊法
這種方法基于逐漸增加圖中邊的數(shù)量，并在每一步使用判定算法來檢查當(dāng)前圖是否仍然可以進(jìn)行三著色。

初始化：從原始圖 (G) 開始，該圖可能是稀疏的，即邊的數(shù)量相對較少。

逐步加邊：在圖中逐步添加新的邊，每次添加一條邊后，使用判定算法來檢查新圖是否仍然可以進(jìn)行三著色。

如果圖仍然可以進(jìn)行三著色，繼續(xù)添加新的邊。
如果添加了新的邊后，圖不再可以進(jìn)行三著色，則撤銷這次添加的邊。
繼續(xù)直到無法添加更多邊：重復(fù)這個過程，直到無法添加更多的邊而保持圖的三著色性為止。

構(gòu)造三個獨(dú)立集：最終，圖中每種顏色的頂點(diǎn)將形成一個獨(dú)立集。這三個獨(dú)立集合起來構(gòu)成圖的一個三著色方案。

解法二：逐步合并頂點(diǎn)法
這種方法基于逐漸合并圖中的頂點(diǎn)，并在每一步使用判定算法來檢查當(dāng)前圖是否仍然可以進(jìn)行三著色。

初始化：從原始圖 (G) 開始。

逐步合并頂點(diǎn)：在圖中逐步合并兩個不相鄰的頂點(diǎn)。每次合并兩個頂點(diǎn)后，使用判定算法來檢查新圖是否仍然可以進(jìn)行三著色。

如果圖仍然可以進(jìn)行三著色，繼續(xù)合并其他頂點(diǎn)。
如果合并頂點(diǎn)后，圖不再可以進(jìn)行三著色，則撤銷這次合并操作。
繼續(xù)直到只剩下三個頂點(diǎn)：重復(fù)這個過程，直到圖中只剩下三個頂點(diǎn)為止。

構(gòu)造三著色方案：最終剩下的三個頂點(diǎn)分別代表三種不同的顏色，原始圖中每個頂點(diǎn)的顏色即為其合并路徑中最終剩下的頂點(diǎn)的顏色。

結(jié)論
這兩種方法都依賴于一個能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)判斷圖的三著色性的算法。通過逐步的加邊或合并頂點(diǎn)，我們可以在保持圖的三著色性的同時(shí)逐漸逼近具體的著色方案。這兩種方法在理論上是可行的，但它們的實(shí)際效率高度依賴于判定算法的性能和給定圖的特定結(jié)構(gòu)。

22. 背包問題進(jìn)行自身歸約的流程？
判定問題： 給定 n 個物品和容量 C，能否使得總價(jià)值是大于等于 k 的
如果存在判斷任意給定 n 個物品和容量為 C 的背包是否存在總價(jià)值是大于等于 k 的多項(xiàng)式時(shí)間算法，請你設(shè)計(jì)構(gòu)造任意背包問題的多項(xiàng)式時(shí)間算法。

要從判斷任意給定 ( n ) 個物品和容量為 ( C ) 的背包是否存在總價(jià)值大于等于 ( k ) 的多項(xiàng)式時(shí)間算法構(gòu)造出尋找具體解的多項(xiàng)式時(shí)間算法，我們可以采用一種增量構(gòu)建的方法。這種方法基于已有的判定問題的解來逐步構(gòu)建背包問題的解。以下是算法的一個概述：

算法步驟
初始化：設(shè)置一個變量 (v) 作為當(dāng)前背包的價(jià)值目標(biāo)，初始為 0。創(chuàng)建一個空的背包。

逐步添加物品：對于每個物品 (i)，執(zhí)行以下操作：

嘗試將物品 (i) 添加到背包中。
使用判定算法檢查是否存在一種方法使得背包中的物品總價(jià)值大于等于 (v + \text{價(jià)值}(i))，且不超過背包容量 (C)。
如果存在，將物品 (i) 添加到背包中，并更新 (v = v + \text{價(jià)值}(i))。
檢查總價(jià)值：在添加每個物品后，檢查當(dāng)前背包的總價(jià)值是否已經(jīng)達(dá)到或超過了目標(biāo) (k)。如果達(dá)到或超過，停止添加更多物品。

構(gòu)造解：重復(fù)步驟 2 和 3，直到無法添加更多物品或已達(dá)到目標(biāo)價(jià)值為止。最終背包中的物品集合即為問題的解。

復(fù)雜度分析
此算法的復(fù)雜度取決于判定算法的復(fù)雜度和物品數(shù)量 (n)。對于每個物品，算法至多調(diào)用一次判定算法。

如果判定算法是多項(xiàng)式時(shí)間的，那么整個構(gòu)造過程也是多項(xiàng)式時(shí)間的，因?yàn)樗婕爸炼?(n) 次判定調(diào)用。

結(jié)論
通過這種逐步添加物品的方法，如果存在一個多項(xiàng)式時(shí)間的判定算法，那么我們可以構(gòu)造出一個多項(xiàng)式時(shí)間的算法來尋找背包問題的具體解。這種方法的有效性依賴于判定算法的準(zhǔn)確性和效率。

現(xiàn)自己假設(shè)一個 01背包問題的多項(xiàng)式時(shí)間判定問題，并通多這個判定問題找出01背包問題的多項(xiàng)式時(shí)間的解？

為了構(gòu)造一個基于假設(shè)的多項(xiàng)式時(shí)間判定問題來找出 0-1 背包問題的多項(xiàng)式時(shí)間解，我們首先需要定義一個合適的判定問題。

假設(shè)的 0-1 背包問題多項(xiàng)式時(shí)間判定問題
判定問題：給定一組物品，每個物品有一個重量和一個價(jià)值，一個背包的容量限制 (C)，和一個目標(biāo)價(jià)值 (k)，判斷是否存在一個物品子集能夠被裝入背包中，使得這些物品的總價(jià)值大于等于 (k)，且總重量不超過背包容量 (C)。

假設(shè)存在一個多項(xiàng)式時(shí)間算法可以解決這個判定問題。

構(gòu)造 0-1 背包問題的多項(xiàng)式時(shí)間解
初始化：對于給定的物品集合，將目標(biāo)價(jià)值 (k) 設(shè)置為物品總價(jià)值的一半或任意預(yù)估的較低值。

增量提高目標(biāo)價(jià)值：逐漸增加 (k) 的值，每次增加后使用假設(shè)的判定算法來檢查是否存在滿足條件的物品子集。

如果存在，繼續(xù)增加 (k)。
如果不存在，停止增加 (k)，此時(shí)最后一個有效的 (k) 是背包能夠達(dá)到的最大價(jià)值。
尋找最優(yōu)子集：在找到最大價(jià)值 (k) 后，對于每個物品 (i)，執(zhí)行以下操作：

臨時(shí)從物品集合中移除物品 (i)。
使用判定算法檢查是否仍然存在滿足條件（總價(jià)值大于等于 (k)，總重量不超過 (C)）的物品子集。
如果存在，說明物品 (i) 不是必需的；如果不存在，說明物品 (i) 是必需的，將其加回到物品集合中。
構(gòu)造解：重復(fù)第 3 步，直到所有物品都被考慮過。最終留在物品集合中的物品就構(gòu)成了背包問題的解。

復(fù)雜度分析
增量提高目標(biāo)價(jià)值的步驟涉及多次判定調(diào)用，次數(shù)取決于 (k) 的增量大小。
在尋找最優(yōu)子集的過程中，可能需要對每個物品進(jìn)行一次判定，涉及 (O(n)) 次判定調(diào)用，其中 (n) 是物品的數(shù)量。
如果判定算法是多項(xiàng)式時(shí)間的，那么整個構(gòu)造過程也是多項(xiàng)式時(shí)間的。

結(jié)論
通過這種逐步尋找和驗(yàn)證最優(yōu)子集的方法，如果存在一個多項(xiàng)式時(shí)間的判定算法，那么我們可以構(gòu)造出一個多項(xiàng)式時(shí)間的算法來找出 0-1 背包問題的具體解。然而，這種構(gòu)造完全基于假設(shè)存在這樣的判定算法，而在實(shí)際中，0-1 背包問題通常通過動態(tài)規(guī)劃等方法求解，這些方法的時(shí)間復(fù)雜度是偽多項(xiàng)式的，而不是嚴(yán)格的多項(xiàng)式時(shí)間。

23.TSP 問題自身歸約的流程？
現(xiàn)自己假設(shè)一個 TSP 問題的多項(xiàng)式時(shí)間判定問題，并通多這個判定問題找出 TSP 問題的多項(xiàng)式時(shí)間的解？

旅行推銷員問題（TSP，Traveling Salesman Problem）是一個經(jīng)典的 NP-難問題，涉及尋找最短可能路徑來訪問一系列城市并返回出發(fā)點(diǎn)。目前沒有已知的多項(xiàng)式時(shí)間算法可以解決 TSP 的一般情況，但我們可以假設(shè)一個多項(xiàng)式時(shí)間判定問題，然后嘗試從這個判定問題構(gòu)造出 TSP 問題的多項(xiàng)式時(shí)間的解。

假設(shè)的 TSP 多項(xiàng)式時(shí)間判定問題
判定問題：給定一個完全圖 (G)（每對頂點(diǎn)之間都有一條邊），每條邊有一個權(quán)重，一個目標(biāo)值 (k)，判斷是否存在一條總權(quán)重不超過 (k) 的哈密爾頓回路（經(jīng)過每個頂點(diǎn)恰好一次并返回起點(diǎn)的回路）。

假設(shè)存在一個多項(xiàng)式時(shí)間算法可以解決這個判定問題。

構(gòu)造 TSP 問題的多項(xiàng)式時(shí)間解
初始化：設(shè)定一個初始的目標(biāo)值 (k)。這個值可以是圖中所有邊權(quán)重的總和，因?yàn)檫@肯定大于任何可能的哈密爾頓回路的權(quán)重。

二分搜索：使用二分搜索來找到最小的 (k)，使得判定問題的答案為真。每次迭代中：

使用判定算法檢查當(dāng)前的 (k) 是否可行。
如果可行，減小 (k)；如果不可行，增加 (k)。
尋找哈密爾頓回路：找到滿足條件的最小 (k) 后，逐步嘗試移除每條邊，并再次使用判定算法檢查是否仍存在符合條件的哈密爾頓回路。

如果移除某條邊后，不存在符合條件的哈密爾頓回路，那么這條邊是必需的，將其保留。
如果移除某條邊后，仍存在符合條件的哈密爾頓回路，那么這條邊是非必需的，將其移除。
構(gòu)造解：通過這種方式，可以逐步構(gòu)造出權(quán)重最小的哈密爾頓回路，即 TSP 的解。

復(fù)雜度分析
二分搜索的步驟涉及 (O(\log k)) 次判定調(diào)用，其中 (k) 是初始目標(biāo)值。
在尋找哈密爾頓回路的過程中，可能需要對每條邊進(jìn)行一次判定，涉及 (O(m)) 次判定調(diào)用，其中 (m) 是邊的數(shù)量。
如果判定算法是多項(xiàng)式時(shí)間的，那么整個構(gòu)造過程也是多項(xiàng)式時(shí)間的。

結(jié)論
雖然我們可以基于假設(shè)的多項(xiàng)式時(shí)間判定問題構(gòu)造出一個 TSP 問題的多項(xiàng)式時(shí)間解法，但值得注意的是，這種構(gòu)造完全基于假設(shè)存在這樣的判定算法，而在實(shí)際中，TSP 仍然是一個未解決的 NP-難問題。

24. 三著色進(jìn)行自身歸約的流程？
25. 最大流問題的解唯一嗎？
最大流問題的解不一定是唯一的。有可能存在多條增廣路徑，或者多種分配流量的方式，導(dǎo)致不同的最大流。

25. 如果一個流網(wǎng)絡(luò)的最大流唯一可以確定最小割唯一嗎？
如果一個流網(wǎng)絡(luò)的最大流唯一，那么最小割不一定唯一。有可能存在多種不同的割法，使得割的容量等于最大流的值。

最大流與最小割可以相互歸約嗎？
26. 2 元可滿足性問題的多項(xiàng)式時(shí)間算法描述（結(jié)合 42 題）
☆☆☆☆☆ 重點(diǎn)參考文章

什么是 2-SAT 問題？
2-SAT（2-Satisfiability）是布爾可滿足性問題的一個特例，其中每個子句都包含兩個文字。具體而言，給定一個包含布爾變量和以下形式子句的合取范式（CNF）：

[ ( ? x i ∨ y i ) ] [(\neg x_i \lor y_i)]
[(?x?
i
?
?∨y?
i
?
?)]

其中 (? \neg?) 表示邏輯非，(∨ \lor∨) 表示邏輯或，每個 (x i x_ix?
i
?
?) 和 (y i y_iy?
i
?
?) 都是布爾變量。2-SAT 問題的目標(biāo)是找到布爾變量的一個賦值，使得每個子句中至少有一個文字為真。

舉例說明，考慮以下 2-SAT 問題：

[ ( ? x 1 ∨ x 2 ) ∧ ( ? x 2 ∨ x 3 ) ∧ ( ? x 3 ∨ x 1 ) ] [(\neg x_1 \lor x_2) \land (\neg x_2 \lor x_3) \land (\neg x_3 \lor x_1)]
[(?x?
1
?
?∨x?
2
?
?)∧(?x?
2
?
?∨x?
3
?
?)∧(?x?
3
?
?∨x?
1
?
?)]

這個 2-SAT 問題包含三個子句，每個子句都包含兩個文字。問題的目標(biāo)是找到 (x 1 , x 2 , x 3 x_1, x_2, x_3x?
1
?
?,x?
2
?
?,x?
3
?
?) 的一個賦值，使得每個子句中至少有一個文字為真。

在這個例子中，可以找到一個解：(x 1 = True , x 2 = True , x 3 = True x_1 = \text{True}, x_2 = \text{True}, x_3 = \text{True}x?
1
?
?=True,x?
2
?
?=True,x?
3
?
?=True)，因?yàn)閷τ诿總€子句，至少有一個文字是真。

2-SAT 問題在計(jì)算機(jī)科學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，例如在圖算法、自動推理和編譯器優(yōu)化等領(lǐng)域。

2元可滿足性問題（2-SAT）是布爾可滿足性問題（SAT）的一個特殊情況，其中每個子句最多包含兩個文字（變量或其否定）。盡管一般的 SAT 問題是 NP 完全的，2-SAT 問題可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決。下面是一個典型的用于解決 2-SAT 問題的多項(xiàng)式時(shí)間算法，它基于圖的強(qiáng)連通分量（SCC）：

什么是強(qiáng)連通分量？

什么是蘊(yùn)含圖？
“若p發(fā)生，則q發(fā)生。(p→q)”

注： 這里的蘊(yùn)含圖看鏈接中的介紹，會更清楚詳實(shí)。 ☆☆☆☆☆ 重點(diǎn)參考文章

什么是拓?fù)渑判?#xff1f;
若一個由圖中所有點(diǎn)構(gòu)成的序列 A 滿足：對于圖中的每條邊 (x,y)，x 在 A 中都出現(xiàn)在 y 之前，則稱 A 是該圖的一個拓?fù)湫蛄小?/p>

肖老師作業(yè)中的答案描述：（其中x i ∧ x j x_i \land x_jx?
i
?
?∧x?
j
?
? 應(yīng)該是 x i ∨ x j x_i \lor x_jx?
i
?
?∨x?
j
?
?，后面就都錯了）

下面也有問題：x i ∧ x j x_i \land x_jx?
i
?
?∧x?
j
?
? 應(yīng)該是 x i ∨ x j x_i \lor x_jx?
i
?
?∨x?
j
?
?

案例
第一個例子
給定的 2-CNF 表達(dá)式為( a ∨ ? b ) ∧ ( ? a ∨ b ) ∧ ( b ∨ ? c ) ∧ ( a ∨ c )

圖包含四個強(qiáng)連通分量：{ a , b } , { c } , { ? a , ? b } , { ? c } 。沒有出現(xiàn)某個變量及其否定在同一個強(qiáng)連通分量的情況，所以是可滿足的。進(jìn)行縮點(diǎn) ：(由于 Tarjan 算法求強(qiáng)連通分量的過程中已經(jīng)得到了拓?fù)湫?#xff0c;我們不需要額外進(jìn)行拓?fù)渑判?

如果 x i xixi 的拓?fù)湫蛟?? x i ?xi?xi 之后，那么取 x i xixi 為真；否則取 x i xixi 為假。這樣可以保證滿足所有的簡單析取式

27. 平面圖 4 著色的多項(xiàng)式時(shí)間算法
這個算法的基本思想是從一個三角形開始，逐步添加頂點(diǎn)和邊，同時(shí)保持著色的正確性。具體的算法步驟可以參考這篇文章。

算法的文字描述如下：

首先，找到平面圖中的一個三角形，給它的三個頂點(diǎn)分配不同的顏色，例如 1，2，3。
然后，用一個隊(duì)列存儲已經(jīng)著色的頂點(diǎn)，初始時(shí)將三角形的三個頂點(diǎn)入隊(duì)。
接下來，重復(fù)以下步驟，直到隊(duì)列為空為止：
從隊(duì)列中取出一個頂點(diǎn) v。
遍歷 v 的所有鄰居 u。
如果 u 已經(jīng)著色，跳過。
如果 u 沒有著色，找到一個可用的顏色 c，即與 u 的所有鄰居的顏色都不同的顏色。
如果沒有可用的顏色，說明平面圖不能 4-著色，返回 False。
否則，給 u 著色 c，并將 u 入隊(duì)。
最后，返回著色方案，即每個頂點(diǎn)的顏色。
28. 二部圖頂點(diǎn)覆蓋問題的多項(xiàng)式時(shí)間算法
二部圖頂點(diǎn)覆蓋問題可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決，方法是利用二部圖的最大匹配。這個解決方案基于K?nig定理，該定理指出在二部圖中，最大匹配的大小等于最小頂點(diǎn)覆蓋的大小。以下是解決二部圖頂點(diǎn)覆蓋問題的算法步驟：

二部圖頂點(diǎn)覆蓋問題的多項(xiàng)式時(shí)間算法
計(jì)算最大匹配：首先，使用例如Hopcroft-Karp算法來找到二部圖的最大匹配。Hopcroft-Karp算法的時(shí)間復(fù)雜度是 (O(\sqrt{V}E))，其中 (V) 是頂點(diǎn)數(shù)，(E) 是邊數(shù)。

構(gòu)建交錯樹：使用最大匹配結(jié)果來構(gòu)建交錯樹（Alternating Tree）。交錯樹是從未匹配的頂點(diǎn)開始的樹，其路徑交替包括不在匹配中和在匹配中的邊。

找到未覆蓋的頂點(diǎn)：在交錯樹中，找到所有未被匹配的頂點(diǎn)。這些頂點(diǎn)是最小頂點(diǎn)覆蓋的一部分。

構(gòu)建最小頂點(diǎn)覆蓋：根據(jù)K?nig定理，將這些未被匹配的頂點(diǎn)以及與它們相連的匹配邊中的另一端頂點(diǎn)一起選取，形成的集合即為最小頂點(diǎn)覆蓋。

算法復(fù)雜度
計(jì)算最大匹配的步驟是多項(xiàng)式時(shí)間的。
構(gòu)建交錯樹和找到最小頂點(diǎn)覆蓋的步驟也是多項(xiàng)式時(shí)間的，因?yàn)樗鼈兊膹?fù)雜度主要取決于圖的邊數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)。
結(jié)論
因此，二部圖頂點(diǎn)覆蓋問題可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決。這個方法的關(guān)鍵是利用K?nig定理將問題轉(zhuǎn)化為尋找最大匹配，然后通過構(gòu)建交錯樹來找到最小頂點(diǎn)覆蓋。這個算法在理論和實(shí)踐中都是有效的，是解決二部圖頂點(diǎn)覆蓋問題的標(biāo)準(zhǔn)方法。

29. 匹配問題的多項(xiàng)式時(shí)間算法
匹配問題，特別是在二部圖中的最大匹配問題，可以通過多項(xiàng)式時(shí)間算法解決。最著名的算法之一是Hopcroft-Karp算法，它用于在二部圖中找到最大匹配。以下是算法的簡要描述：

注： 這里是使用的 HK 算法，實(shí)際上可以使用匈牙利算法來計(jì)算

Hopcroft-Karp 算法
算法步驟
初始化：將所有頂點(diǎn)標(biāo)記為未匹配。

重復(fù)以下步驟直至無法找到增廣路徑：

使用廣度優(yōu)先搜索（BFS）從所有未匹配的左側(cè)頂點(diǎn)開始查找增廣路徑。增廣路徑是一條從左側(cè)未匹配頂點(diǎn)到右側(cè)未匹配頂點(diǎn)的路徑，路徑上的邊交替地不在匹配中和在匹配中。
一旦找到增廣路徑，就使用這條路徑來更新當(dāng)前的匹配，即在路徑上交替地添加不在匹配中的邊和移除在匹配中的邊。
重復(fù)此過程，直到在圖中找不到更多增廣路徑為止。
輸出最大匹配：算法完成后，當(dāng)前的匹配即為圖的最大匹配。

算法復(fù)雜度
Hopcroft-Karp算法的時(shí)間復(fù)雜度是 (O(\sqrt{V} \cdot E))，其中 (V) 是頂點(diǎn)數(shù)，(E) 是邊數(shù)。這是因?yàn)槊看握业皆鰪V路徑都會至少匹配一個新頂點(diǎn)，且每次搜索增廣路徑的復(fù)雜度是 (O(E))。
結(jié)論
Hopcroft-Karp算法是解決二部圖最大匹配問題的有效多項(xiàng)式時(shí)間算法。它通過迭代查找增廣路徑并不斷優(yōu)化當(dāng)前匹配來逐步構(gòu)建最大匹配。這種方法在理論和實(shí)踐中都是廣泛應(yīng)用的，是解決二部圖匹配問題的標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)。

匈牙利算法

30. 線性規(guī)劃的多項(xiàng)式時(shí)間算法
線性規(guī)劃問題是在一組線性約束下最大化或最小化一個線性目標(biāo)函數(shù)的問題。盡管線性規(guī)劃問題可以用多種方法求解，但直到1984年，才有了第一個多項(xiàng)式時(shí)間算法，即Karmarkar算法，由印度數(shù)學(xué)家Narendra Karmarkar提出。

Karmarkar算法
Karmarkar算法是一個迭代算法，用于解決線性規(guī)劃問題。它是對之前廣泛使用的單純形法的一個重要改進(jìn)，單純形法在實(shí)踐中效率很高，但在最壞情況下可能具有指數(shù)時(shí)間復(fù)雜度。

算法步驟
變換問題：首先將線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)型，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為一個在單位超球內(nèi)的特殊形式，稱為Karmarkar標(biāo)準(zhǔn)型。

初始化：從單位超球內(nèi)的一個點(diǎn)開始，通常是中心點(diǎn)。

迭代優(yōu)化：在每次迭代中，使用梯度下降或其他優(yōu)化技術(shù)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和約束條件在超球內(nèi)移動當(dāng)前點(diǎn)，以改進(jìn)目標(biāo)函數(shù)的值。

終止條件：當(dāng)當(dāng)前解足夠接近最優(yōu)解時(shí)，算法終止。

解的變換：將Karmarkar標(biāo)準(zhǔn)型下得到的解轉(zhuǎn)換回原始線性規(guī)劃問題的解。

算法復(fù)雜度
Karmarkar算法的時(shí)間復(fù)雜度是多項(xiàng)式的，具體取決于問題的大小和精度要求。它通常比單純形法更適合于大型線性規(guī)劃問題。
結(jié)論
Karmarkar算法是解決線性規(guī)劃問題的一個有效的多項(xiàng)式時(shí)間算法。它通過一種巧妙的變換和迭代優(yōu)化方法，能夠有效地求解大型問題。盡管在實(shí)際應(yīng)用中，單純形法由于其實(shí)現(xiàn)簡單和在許多情況下的高效性仍然被廣泛使用，Karmarkar算法提供了一個理論上重要的多項(xiàng)式時(shí)間替代方案。

31. 頂點(diǎn)覆蓋歸約到獨(dú)立集

頂點(diǎn)覆蓋歸約到獨(dú)立集，要求雙向證明，詳細(xì)說明構(gòu)造過程以及正向和反向證明過程

要證明頂點(diǎn)覆蓋問題可以歸約到獨(dú)立集問題，我們需要進(jìn)行雙向證明。首先，讓我們定義兩個問題：

頂點(diǎn)覆蓋問題：在一個給定的無向圖 ( G = (V, E) ) 中，頂點(diǎn)覆蓋是一個頂點(diǎn)集 ( C \subseteq V ) 使得每條邊至少有一個端點(diǎn)在 ( C ) 中。目標(biāo)是找到最小的這樣的頂點(diǎn)集。

獨(dú)立集問題：在同一個無向圖 ( G = (V, E) ) 中，獨(dú)立集是一個頂點(diǎn)集 ( I \subseteq V ) 使得集合中沒有兩個頂點(diǎn)是相鄰的。目標(biāo)是找到最大的這樣的頂點(diǎn)集。

構(gòu)造過程
對于給定的圖 ( G = (V, E) )，我們使用同一個圖來作為獨(dú)立集問題和頂點(diǎn)覆蓋問題的輸入。歸約的關(guān)鍵在于觀察到頂點(diǎn)覆蓋集和獨(dú)立集之間的互補(bǔ)關(guān)系。

正向證明
假設(shè)：假設(shè)存在一個大小為 ( k ) 的頂點(diǎn)覆蓋 ( C ) 在圖 ( G ) 中。

構(gòu)造獨(dú)立集：考慮頂點(diǎn)集 ( V \setminus C )，即所有不在頂點(diǎn)覆蓋 ( C ) 中的頂點(diǎn)。

證明獨(dú)立集性質(zhì)：由于 ( C ) 是頂點(diǎn)覆蓋，因此 ( V \setminus C ) 中的任何兩個頂點(diǎn)都不可能同時(shí)出現(xiàn)在 ( G ) 的任何一條邊上。因此，( V \setminus C ) 形成了一個獨(dú)立集。

結(jié)論：因此，如果存在大小為 ( k ) 的頂點(diǎn)覆蓋，則存在大小為 ( |V| - k ) 的獨(dú)立集。

反向證明
假設(shè)：假設(shè)存在一個大小為 ( l ) 的獨(dú)立集 ( I ) 在圖 ( G ) 中。

構(gòu)造頂點(diǎn)覆蓋：考慮頂點(diǎn)集 ( V \setminus I )，即所有不在獨(dú)立集 ( I ) 中的頂點(diǎn)。

證明頂點(diǎn)覆蓋性質(zhì)：由于 ( I ) 中沒有相鄰的頂點(diǎn)，因此所有在 ( G ) 中連接 ( I ) 中頂點(diǎn)的邊必須至少有一個端點(diǎn)在 ( V \setminus I ) 中。因此，( V \setminus I ) 形成了一個頂點(diǎn)覆蓋。

結(jié)論：因此，如果存在大小為 ( l ) 的獨(dú)立集，則存在大小為 ( |V| - l ) 的頂點(diǎn)覆蓋。

總結(jié)
通過上述雙向證明，我們展示了頂點(diǎn)覆蓋問題到獨(dú)立集問題的有效歸約。這兩個問題實(shí)際上是圖的互補(bǔ)問題，一個問題的解可以通過簡單的集合補(bǔ)運(yùn)算轉(zhuǎn)換為另一個問題的解。這種歸約在理論計(jì)算機(jī)科學(xué)中是一個重要的概念，說明了不同問題之間深層次的聯(lián)系。

32. 頂點(diǎn)覆蓋歸約到集合覆蓋

正向： 由于 ( C ) 是一個大小為 k 的頂點(diǎn)覆蓋，因此 ( C ) 中的頂點(diǎn)包含了圖中所有邊的至少一個端點(diǎn)。所以，這些集合的并集包含了全集 ( U ) 中的所有元素，且集合覆蓋的大小為 k。

反向： 由于 ( C ) 是一個大小為 k 的頂點(diǎn)覆蓋，因此 ( C ) 中的頂點(diǎn)包含了圖中所有邊的至少一個端點(diǎn)。所以，這些集合的并集包含了全集 ( U ) 中的所有元素，且集合覆蓋的大小為 k。

頂點(diǎn)覆蓋歸約到集合覆蓋，要求雙向證明，詳細(xì)說明構(gòu)造過程以及正向和反向證明過程

要證明頂點(diǎn)覆蓋問題可以歸約到集合覆蓋問題，并進(jìn)行雙向證明，我們首先需要定義這兩個問題：

頂點(diǎn)覆蓋問題（Vertex Cover）：對于給定的無向圖 ( G = (V, E) )，頂點(diǎn)覆蓋是一個頂點(diǎn)集 ( C \subseteq V ) 使得圖中的每條邊至少有一個端點(diǎn)在 ( C ) 中。目標(biāo)是找到最小的頂點(diǎn)覆蓋。

集合覆蓋問題（Set Cover）：由于集合覆蓋覆蓋了全集 ( U )，即圖中的所有邊，所以選擇的頂點(diǎn)覆蓋了圖中的每條邊。

歸約過程
將頂點(diǎn)覆蓋問題歸約到集合覆蓋問題：

構(gòu)造：對于無向圖 ( G = (V, E) ) 中的每條邊 ( e \in E )，在集合覆蓋問題中創(chuàng)建一個元素。對于圖中的每個頂點(diǎn) ( v \in V )，創(chuàng)建一個集合，該集合包含與 ( v ) 相連的所有邊。這樣，全集 ( U ) 就是圖中所有邊的集合，而集合覆蓋問題中的集合集 ( S ) 則對應(yīng)于圖的每個頂點(diǎn)。
正向證明
假設(shè)：存在一個大小為 ( k ) 的頂點(diǎn)覆蓋 ( C ) 在圖 ( G ) 中。

構(gòu)造集合覆蓋：對于頂點(diǎn)覆蓋中的每個頂點(diǎn) ( v \in C )，選擇相應(yīng)的集合。

證明集合覆蓋性質(zhì)：由于 ( C ) 是一個頂點(diǎn)覆蓋，因此 ( C ) 中的頂點(diǎn)包含了圖中所有邊的至少一個端點(diǎn)。所以，這些集合的并集包含了全集 ( U ) 中的所有元素。

結(jié)論：因此，頂點(diǎn)覆蓋中的頂點(diǎn)對應(yīng)的集合形成了集合覆蓋問題的一個解。

反向證明
假設(shè)：存在一個集合覆蓋 ( D \subseteq S )，覆蓋了全集 ( U )。

構(gòu)造頂點(diǎn)覆蓋：對于集合覆蓋中的每個集合，選擇對應(yīng)的頂點(diǎn)。

證明頂點(diǎn)覆蓋性質(zhì)：由于集合覆蓋覆蓋了全集 ( U )，即圖中的所有邊，所以選擇的頂點(diǎn)覆蓋了圖中的每條邊。

結(jié)論：因此，集合覆蓋中的集合對應(yīng)的頂點(diǎn)形成了頂點(diǎn)覆蓋問題的一個解。

總結(jié)
通過上述雙向證明，我們展示了頂點(diǎn)覆蓋問題到集合覆蓋問題的有效歸約。這個歸約過程將圖中的邊視為集合覆蓋問題中的元素，圖中的頂點(diǎn)視為包含與其相連邊的集合。這種歸約在理論計(jì)算機(jī)科學(xué)中展示了不同問題之間的聯(lián)系，并為解決這些問題提供了新的視角。

33. 頂點(diǎn)覆蓋歸約到支配集
頂點(diǎn)覆蓋歸約到支配集，要求雙向證明，詳細(xì)說明構(gòu)造過程以及正向和反向證明過程

正向證明時(shí)，為什么會說： s 是 G 的一個頂點(diǎn)覆蓋，由于所有邊都被 s 覆蓋，因此圖 G’ 所有頂點(diǎn)也都被 s 所支配；是因?yàn)槊織l邊都有一個端點(diǎn)連接到 s 中的頂點(diǎn)，而 G’ 中加入的新頂點(diǎn)，連接到了每條邊的兩個端點(diǎn)，必要會連接到 s 中的一個頂點(diǎn)，如下圖：（波浪線為頂點(diǎn)覆蓋集同時(shí)也是支配集）

34. 3-SAT歸約到獨(dú)立集
3-SAT歸約到獨(dú)立集，要求雙向證明，詳細(xì)說明構(gòu)造過程以及正向和反向證明過程

注： 第二點(diǎn)證明有誤，當(dāng) ? \phi? 被滿足，在 k 個句子中選擇 k 個變量設(shè)置為 true 才對

35. 有向圖哈密爾頓圈歸約到無向圖哈密爾頓圈
有向圖哈密爾頓圈歸約到無向圖哈密爾頓圈，要求雙向證明，詳細(xì)說明構(gòu)造過程以及正向和反向證明過程

哈密爾頓圈歸約到旅行售貨員
哈密爾頓圈歸約到TSP，要求雙向證明，詳細(xì)說明構(gòu)造過程以及正向和反向證明過程

將哈密爾頓圈問題歸約到旅行推銷員問題（TSP）并進(jìn)行雙向證明，我們首先定義兩個問題：

哈密爾頓圈問題：給定一個圖 ( G = (V, E) )，判斷圖 ( G ) 中是否存在一條經(jīng)過每個頂點(diǎn)恰好一次并返回起點(diǎn)的閉合路徑（哈密爾頓圈）。

旅行推銷員問題（TSP）：給定一組城市和每對城市之間的旅行成本，找到訪問每個城市恰好一次并返回起點(diǎn)的最小成本路徑。

歸約過程
將哈密爾頓圈問題歸約到 TSP：

構(gòu)造：給定一個哈密爾頓圈問題實(shí)例，即圖 ( G = (V, E) )。構(gòu)造一個 TSP 實(shí)例，其中每個頂點(diǎn) ( v \in V ) 對應(yīng)一個城市，每條邊 ( e \in E ) 的成本設(shè)置為 1，不在 ( E ) 中的邊（即圖 ( G ) 中不存在的邊）的成本設(shè)置為一個非常大的數(shù)（例如 ( M )，其中 ( M ) 大于頂點(diǎn)數(shù)）。
正向證明
假設(shè)：假設(shè)存在一個哈密爾頓圈 ( H ) 在圖 ( G ) 中。

構(gòu)造 TSP 解：將哈密爾頓圈 ( H ) 直接映射為 TSP 路徑。由于 ( H ) 包含了圖 ( G ) 中的所有頂點(diǎn)，并且只包含存在于 ( G ) 中的邊，因此該路徑的總成本等于頂點(diǎn)數(shù)，這是可能的最小成本。

結(jié)論：因此，如果存在哈密爾頓圈，那么構(gòu)造的 TSP 實(shí)例的最小成本路徑的成本等于頂點(diǎn)數(shù)。

反向證明
假設(shè)：假設(shè)存在一個成本等于頂點(diǎn)數(shù)的 TSP 解。

構(gòu)造哈密爾頓圈：由于這個解的成本等于頂點(diǎn)數(shù)，這意味著路徑只包含成本為 1 的邊，即只包含原圖 ( G ) 中存在的邊。

結(jié)論：因此，這個 TSP 路徑對應(yīng)于圖 ( G ) 中的一個哈密爾頓圈。

總結(jié)
通過上述雙向證明，我們展示了哈密爾頓圈問題到 TSP 的有效歸約。這個歸約方法有效地將哈密爾頓圈問題轉(zhuǎn)化為一個特殊的 TSP 問題，其中不存在的邊被賦予非常大的成本，以確保 TSP 的最優(yōu)解只包含原圖中存在的邊。這種方法不僅在理論上證明了兩個問題之間的聯(lián)系，而且在實(shí)際中也為解決這些問題提供了新的思路。

36. 哈密爾頓圈歸約到最長路徑
哈密爾頓圈歸約到最長路徑，要求雙向證明，詳細(xì)說明構(gòu)造過程以及正向和反向證明過程

將哈密爾頓圈問題歸約到最長路徑問題，并進(jìn)行雙向證明，我們首先定義這兩個問題：

哈密爾頓圈問題：給定一個圖 ( G = (V, E) )，判斷圖 ( G ) 中是否存在一條經(jīng)過每個頂點(diǎn)恰好一次并返回起點(diǎn)的閉合路徑（哈密爾頓圈）。

最長路徑問題：給定一個圖 ( G = (V, E) )，找到圖中最長的路徑，即頂點(diǎn)序列，其中每個頂點(diǎn)最多出現(xiàn)一次，且序列中相鄰頂點(diǎn)在圖中有邊相連。

歸約過程
將哈密爾頓圈問題歸約到最長路徑問題：

構(gòu)造：給定哈密爾頓圈問題實(shí)例的圖 ( G = (V, E) )。使用同一個圖 ( G ) 作為最長路徑問題的輸入。目標(biāo)是在圖 ( G ) 中找到一條長度為 ( |V| - 1 ) 的路徑，這意味著該路徑通過圖中的每個頂點(diǎn)恰好一次，但不返回起點(diǎn)。
正向證明
假設(shè)：假設(shè)存在一個哈密爾頓圈 ( H ) 在圖 ( G ) 中。

構(gòu)造最長路徑：由于哈密爾頓圈 ( H ) 經(jīng)過每個頂點(diǎn)恰好一次，我們可以選擇 ( H ) 中的任意一點(diǎn)作為起點(diǎn)和終點(diǎn)，然后移除起點(diǎn)和終點(diǎn)之間的一條邊，從而形成一條長度為 ( |V| - 1 ) 的路徑。

結(jié)論：因此，如果存在哈密爾頓圈，則存在長度為 ( |V| - 1 ) 的最長路徑。

反向證明
假設(shè)：假設(shè)存在長度為 ( |V| - 1 ) 的最長路徑 ( P ) 在圖 ( G ) 中。

構(gòu)造哈密爾頓圈：由于路徑 ( P ) 經(jīng)過每個頂點(diǎn)恰好一次，且長度為 ( |V| - 1 )，我們可以在 ( P ) 的起點(diǎn)和終點(diǎn)之間添加一條邊（如果存在），從而形成一個哈密爾頓圈。

結(jié)論：因此，如果存在長度為 ( |V| - 1 ) 的最長路徑，則存在一個哈密爾頓圈。

總結(jié)
通過上述雙向證明，我們展示了哈密爾頓圈問題到最長路徑問題的有效歸約。這個歸約方法有效地將哈密爾頓圈問題轉(zhuǎn)化為尋找最長路徑的問題，其中最長路徑的長度剛好比頂點(diǎn)數(shù)少一。這種方法在理論上證明了兩個問題之間的聯(lián)系，但值得注意的是，最長路徑問題本身也是一個NP難問題。

37. 三著色歸約到 k 著色
三著色歸約到k著色，要求雙向證明，詳細(xì)說明構(gòu)造過程以及正向和反向證明過程

要證明三著色問題可以歸約到 (k)-著色問題，并進(jìn)行雙向證明，首先需要定義這兩個問題：

三著色問題：給定一個無向圖 ( G = (V, E) )，判斷是否可以使用三種顏色對頂點(diǎn)進(jìn)行著色，使得任何兩個相鄰的頂點(diǎn)都不具有相同的顏色。

(k)-著色問題：給定一個無向圖 ( G = (V, E) ) 和一個整數(shù) ( k )，判斷是否可以使用至多 ( k ) 種顏色對頂點(diǎn)進(jìn)行著色，使得任何兩個相鄰的頂點(diǎn)都不具有相同的顏色。

歸約過程
從三著色問題歸約到 (k)-著色問題實(shí)際上是直接的，因?yàn)槿珕栴}是 (k)-著色問題的一個特例，其中 ( k = 3 )。

正向證明
假設(shè)：假設(shè)存在一個三著色方案 ( C_3 ) 在圖 ( G ) 中。

構(gòu)造 (k)-著色方案：直接使用三著色方案 ( C_3 ) 作為 (k)-著色方案，因?yàn)槿绻粋€圖可以用三種顏色著色，那么它顯然也可以用任何多于三種的顏色著色（即 ( k \geq 3 )）。

結(jié)論：因此，如果存在三著色方案，那么對于任何 ( k \geq 3 )，也存在 (k)-著色方案。

反向證明
假設(shè)：假設(shè)存在一個 (k)-著色方案 ( C_k ) 在圖 ( G ) 中，其中 ( k \geq 3 )。

構(gòu)造三著色方案：這個反向歸約并不直接有效，因?yàn)槟苡?( k ) 種顏色著色的圖并不一定能用恰好三種顏色著色。因此，我們不能從一個 (k)-著色方案直接得出一個三著色方案。

結(jié)論：因此，雖然每個三著色問題都是一個 (k)-著色問題，但并非所有的 (k)-著色問題都是三著色問題。

總結(jié)
通過上述證明，我們展示了三著色問題可以視為 (k)-著色問題的特殊情況，但反過來并不總是成立。這意味著三著色問題可以歸約到 (k)-著色問題，但不能從 (k)-著色問題的解直接得到三著色問題的解，除非 ( k ) 恰好等于 3。這種歸約在理論上說明了三著色問題在復(fù)雜度上是 (k)-著色問題的一個下界。

三著色問題歸約到 k 著色問題的方法是：

給定一個無向圖 G 和一個正整數(shù) k ，假設(shè) k ≥ 4。
構(gòu)造一個新的無向圖 G′，如下：
G′ 包含 G 中的所有頂點(diǎn)和邊。
G′ 還包含 k ? 3 個新的頂點(diǎn) v 1 , v 2 , … , v k ? 3?v_1, v_2, \ldots, v_{k-3}?v?
1
?
?,v?
2
?
?,…,v?
k?3
?
??，稱為附加頂點(diǎn)。
G′ 還包含 k ? 3 條新的邊，分別連接 v i v_iv?
i
?
? 和 v i + 1 v_{i+1}v?
i+1
?
?，對于i = 1 , 2 , … , k ? 4 i = 1, 2, \ldots, k-4i=1,2,…,k?4。這些邊形成了一個環(huán)，稱為附加環(huán)。
G′ 還包含 G 中每個頂點(diǎn)和附加環(huán)中任意一個頂點(diǎn)之間的邊，即 G 中的每個頂點(diǎn)都與附加環(huán)相連。
返回 G ′ 和 k 作為歸約的結(jié)果。
這個歸約的正確性可以用以下證明：

如果 G有一個三著色方案，那么G′也有一個 k 著色方案。具體來說，我們可以沿用 G中的三著色方案，然后給附加頂點(diǎn)分配不同的顏色，使得附加環(huán)中的每個頂點(diǎn)都與相鄰的頂點(diǎn)和G中的任意一個頂點(diǎn)顏色不同。這樣，G′ 中的所有邊都滿足了 k 著色的要求。
如果 G′有一個 k 著色方案，那么 G也有一個三著色方案。具體來說，我們可以觀察到附加環(huán)中的 k?3個頂點(diǎn)必須有k?3種不同的顏色，否則就會出現(xiàn)相鄰頂點(diǎn)顏色相同的情況。而且，G中的每個頂點(diǎn)都與附加環(huán)中的某個頂點(diǎn)相連，所以G中的每個頂點(diǎn)的顏色必須是附加環(huán)中沒有出現(xiàn)的那三種顏色之一，否則就會出現(xiàn)與附加環(huán)中的頂點(diǎn)顏色相同的情況。這樣， G中的所有邊都滿足了三著色的要求。
這個歸約的時(shí)間復(fù)雜度是多項(xiàng)式的，因?yàn)槲覀冎恍枰獜?fù)制G中的頂點(diǎn)和邊，然后添加k?3個頂點(diǎn)和O(k+n) 條邊，其中n是 G中的頂點(diǎn)數(shù)。因此，三著色問題可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)歸約到 k 著色問題，即三著色問題 ≤ p k 著色問題。

38. 子集和歸約到分區(qū)問題
39. 子集和歸約到背包問題
40. 最長路徑問題的自歸約
最長路徑問題：給定簡單無向圖中是否存在長度大于等于k的簡單路徑?請證明這個問題是NP完全問題。

要證明最長路徑問題（在給定的簡單無向圖中是否存在長度大于等于 ( k ) 的簡單路徑）是 NP 完全的，我們需要滿足兩個條件：

該問題在 NP 中：即對于該問題的任意一個“是”的實(shí)例，存在一個多項(xiàng)式時(shí)間的驗(yàn)證算法。
該問題至少和 NP 中最困難的問題一樣困難：即需要從一個已知的 NP 完全問題進(jìn)行多項(xiàng)式時(shí)間歸約。
證明問題在 NP 中
一個簡單路徑的長度大于等于 ( k ) 可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)被驗(yàn)證。給定一個路徑，我們只需要檢查路徑是否簡單（即不包含重復(fù)的頂點(diǎn)），并計(jì)算其長度是否大于等于 ( k )。這兩個步驟都可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)完成，因此最長路徑問題在 NP 中。

從一個已知的 NP 完全問題進(jìn)行歸約
我們可以從哈密爾頓路徑問題進(jìn)行歸約，該問題是已知的 NP 完全問題。哈密爾頓路徑問題是判斷給定圖中是否存在一條經(jīng)過每個頂點(diǎn)恰好一次的路徑。

歸約過程
給定實(shí)例：考慮哈密爾頓路徑問題的一個實(shí)例，即一個圖 ( G = (V, E) )。

構(gòu)造最長路徑問題的實(shí)例：使用相同的圖 ( G ) 作為最長路徑問題的實(shí)例，設(shè)置長度 ( k ) 為 ( |V| )（頂點(diǎn)的數(shù)量）。

證明等價(jià)性：

如果圖 ( G ) 中存在哈密爾頓路徑，則存在一條長度為 ( |V| ) 的路徑，這滿足最長路徑問題的要求。
反過來，如果存在一條長度為 ( |V| ) 的路徑，則這條路徑必須經(jīng)過每個頂點(diǎn)恰好一次，即構(gòu)成哈密爾頓路徑。
結(jié)論
因此，最長路徑問題是 NP 完全的。我們證明了它在 NP 中，并且能夠從哈密爾頓路徑問題（一個已知的 NP 完全問題）進(jìn)行多項(xiàng)式時(shí)間歸約。這證明了最長路徑問題至少和 NP 中最困難的問題一樣困難。

41. 證明：如果我們可以檢查一個圖在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)是否有一個大小為 k 的團(tuán)（一個完整的圖），那么我們也可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)找到一個大小為k的團(tuán)。
要證明如果存在一個多項(xiàng)式時(shí)間算法可以判斷一個圖中是否存在一個大小為 ( k ) 的團(tuán)，那么也存在一個多項(xiàng)式時(shí)間算法來找到一個大小為 ( k ) 的團(tuán)，我們可以使用一種自我歸約的方法。這種方法基于判定問題（是否存在團(tuán)）來逐步構(gòu)造出一個確切的團(tuán)。

算法步驟
初始化：從原始圖 ( G = (V, E) ) 開始。

逐步移除頂點(diǎn)：對于圖中的每個頂點(diǎn) ( v \in V )：

臨時(shí)從圖 ( G ) 中移除頂點(diǎn) ( v ) 及其所有相連的邊，得到新圖 ( G’ )。
使用判定算法檢查 ( G’ ) 中是否存在一個大小為 ( k ) 的團(tuán)。
如果在 ( G’ ) 中存在一個大小為 ( k ) 的團(tuán)，則說明 ( v ) 不是原始圖 ( G ) 中大小為 ( k ) 的團(tuán)的一部分；將 ( v ) 永久移除。
如果在 ( G’ ) 中不存在一個大小為 ( k ) 的團(tuán)，則 ( v ) 是團(tuán)的一部分，將 ( v ) 保留在圖中。
重復(fù)步驟 2：重復(fù)上述過程，直到圖中剩余的頂點(diǎn)數(shù)等于 ( k )。最終剩下的頂點(diǎn)構(gòu)成了一個大小為 ( k ) 的團(tuán)。

復(fù)雜度分析
此算法的復(fù)雜度取決于判定算法的復(fù)雜度和頂點(diǎn)數(shù) ( n )。對于每個頂點(diǎn)，算法至多調(diào)用一次判定算法。

如果判定算法是多項(xiàng)式時(shí)間的，那么整個構(gòu)造過程也是多項(xiàng)式時(shí)間的，因?yàn)樗婕爸炼?( n ) 次判定調(diào)用。

結(jié)論
通過這種逐步移除頂點(diǎn)的方法，如果存在一個多項(xiàng)式時(shí)間的判定算法，那么我們可以構(gòu)造出一個多項(xiàng)式時(shí)間的算法來找到一個大小為 ( k ) 的團(tuán)。這種方法的有效性依賴于判定算法的準(zhǔn)確性和效率，以及原始圖的特性。

24.在多路切割問題中，我們給出了一個無向圖G=（V，E）和V中的一些特殊的頂點(diǎn)（稱為終端）。這個問題要求我們從圖中刪除最小的邊數(shù)，這樣就不會連接到終端對。請給出這個問題的一個2-近似算法。

多路切割問題（Multiway Cut Problem）是圖論中的一個經(jīng)典問題，目的是在給定的無向圖中移除盡可能少的邊，以確保一組特定的頂點(diǎn)（稱為終端）之間不存在路徑相連。一個有效的近似算法是利用最小割問題的算法來逐個斷開終端之間的連接。我們可以用以下步驟構(gòu)建一個2-近似算法：

2-近似算法步驟
初始化：創(chuàng)建一個新的圖 ( G’ ) 作為原始圖 ( G ) 的副本。定義一個集合 ( C ) 用于存儲要移除的邊。

對每個終端節(jié)點(diǎn)進(jìn)行迭代：從終端節(jié)點(diǎn)集合中選擇一個節(jié)點(diǎn) ( t )，將其作為源點(diǎn)。對于其他每個終端節(jié)點(diǎn) ( t’ )，將 ( t’ ) 作為匯點(diǎn)，并應(yīng)用最小割算法（如Ford-Fulkerson算法）來找到從 ( t ) 到 ( t’ ) 的最小割。

移除邊并更新圖：對于每次計(jì)算的最小割，將所有在割集中的邊添加到集合 ( C ) 中，并從圖 ( G’ ) 中移除這些邊。

重復(fù)直到終端節(jié)點(diǎn)間不再相連：繼續(xù)這個過程，直到圖 ( G’ ) 中所有終端節(jié)點(diǎn)之間不再相互連接。

輸出結(jié)果：集合 ( C ) 中的邊就是需要移除的邊集，以確保圖中的終端節(jié)點(diǎn)不再相連。

復(fù)雜度分析
最小割算法（如Ford-Fulkerson算法）通常是多項(xiàng)式時(shí)間的，尤其是對于小到中等規(guī)模的圖。
此2-近似算法在最壞情況下可能需要對每對終端節(jié)點(diǎn)執(zhí)行一次最小割計(jì)算，因此其時(shí)間復(fù)雜度取決于終端節(jié)點(diǎn)的數(shù)量以及最小割算法的效率。
結(jié)論
這個2-近似算法為多路切割問題提供了一個有效的近似解。雖然它可能不會總是找到最優(yōu)解，但在實(shí)踐中，它通常能快速地找到一個較好的解決方案，特別是當(dāng)終端節(jié)點(diǎn)的數(shù)量不是很大時(shí)。這種方法在理論和實(shí)踐中都是解決多路切割問題的一個常用策略。

42. 我們已經(jīng)證明了3-SAT（每個子句的長度最多為3）是 np 完備的。請證明 2-SAT（每個子句的長度最多為 2）為 P 問題
【算法/圖論】2-SAT問題詳解

2-SAT

根據(jù)2-SAT - OI Wiki的介紹，2-SAT 是一個布爾可滿足性問題的簡化版本，即給定一個由簡單析取式組成的合取范式，判斷是否存在一組布爾變量的賦值使得該公式為真。例如，(x1 ∨ ?x2) ∧ (?x1 ∨ x3) ∧ (x2 ∨ x4) 就是一個 2-SAT 問題，它有可滿足的賦值，如 x1 = x2 = x4 = true, x3 = false。

要證明 2-SAT 為 P 問題，我們需要給出一個多項(xiàng)式時(shí)間的算法來解決它。一個常用的方法是將 2-SAT 問題轉(zhuǎn)化為圖論問題，然后利用強(qiáng)連通分量和拓?fù)渑判虻男再|(zhì)來求解。具體的步驟如下：

對于每個布爾變量 xi，我們用兩個點(diǎn) xi 和 ?xi 來表示它的兩種取值，這樣一共有 2n 個點(diǎn)。
對于每個簡單析取式 xi ∨ xj，我們添加兩條有向邊 ?xi → xj 和 ?xj → xi，表示如果 xi 為假，則 xj 必須為真，反之亦然。這樣一共有 2m 條邊，其中 m 是簡單析取式的個數(shù)。
在這個有向圖上，我們用 Tarjan 算法求出所有的強(qiáng)連通分量，并縮點(diǎn)得到一個有向無環(huán)圖（DAG）。如果某個變量 xi 和它的否定 ?xi 屬于同一個強(qiáng)連通分量，那么說明原公式是不可滿足的，因?yàn)闊o法同時(shí)滿足 xi 和 ?xi 為真。否則，原公式是可滿足的，且有以下性質(zhì)：如果 xi 可達(dá) ?xi，那么 xi 必須為假；如果 ?xi 可達(dá) xi，那么 xi 必須為真；如果 xi 和 ?xi 互不可達(dá)，那么 xi 可以任意取值。
為了構(gòu)造一個可行的賦值方案，我們可以對 DAG 進(jìn)行拓?fù)渑判?#xff0c;然后按照逆序依次確定每個變量的取值。具體地，如果 xi 的拓?fù)湫蛟??xi 之后，那么取 xi 為真；否則取 xi 為假。這樣可以保證滿足所有的簡單析取式，因?yàn)槿绻?xi 和 xj 之間有邊，那么它們的拓?fù)湫蛞欢ㄊ??xi 在 xi 之前，xi 在 xj 之前，或者 ?xj 在 xj 之前，xj 在 xi 之前。由于 Tarjan 算法求強(qiáng)連通分量的過程中已經(jīng)得到了拓?fù)湫?#xff0c;我們不需要額外進(jìn)行拓?fù)渑判颉?br /> 以上算法的時(shí)間復(fù)雜度是 O(n + m)，其中 n 是變量的個數(shù)，m 是簡單析取式的個數(shù)。因此，我們證明了 2-SAT 為 P 問題。👏

案例
第一個例子
給定的 2-CNF 表達(dá)式為( a ∨ ? b ) ∧ ( ? a ∨ b ) ∧ ( b ∨ ? c ) ∧ ( a ∨ c )

2-SAT（2元可滿足性問題），即每個子句最多包含兩個文字的布爾可滿足性問題，與3-SAT不同，它是一個 P 類問題，意味著存在多項(xiàng)式時(shí)間的算法可以解決它。這是因?yàn)?-SAT可以通過建立一個蘊(yùn)含圖并尋找強(qiáng)連通分量來解決。下面是證明的詳細(xì)步驟：

2-SAT 解決方法
構(gòu)造蘊(yùn)含圖：給定一個2-SAT問題的實(shí)例，首先構(gòu)造一個有向圖，稱為蘊(yùn)含圖。對于每個變量 (x)，蘊(yùn)含圖中有兩個頂點(diǎn)：(x) 和 (\neg x)。對于每個子句，如 (x \lor y)，向圖中添加兩條邊：(\neg x \rightarrow y) 和 (\neg y \rightarrow x)。這表示如果 (x) 為假，則 (y) 必須為真，反之亦然。

計(jì)算強(qiáng)連通分量：使用算法（如Tarjan算法）計(jì)算蘊(yùn)含圖的強(qiáng)連通分量。強(qiáng)連通分量是圖中的最大子圖，其中每對頂點(diǎn)都是互相可達(dá)的。

檢查矛盾：在每個強(qiáng)連通分量中檢查是否存在矛盾，即檢查對于任何變量 (x)，(x) 和 (\neg x) 是否在同一個強(qiáng)連通分量中。如果是這樣，問題無解，因?yàn)檫@意味著 (x) 和 (\neg x) 必須同時(shí)為真，這是不可能的。如果沒有這樣的矛盾，問題是可滿足的。

復(fù)雜度分析
構(gòu)造蘊(yùn)含圖是線性時(shí)間操作，與子句的數(shù)量成線性關(guān)系。
計(jì)算強(qiáng)連通分量通常是線性時(shí)間操作，與頂點(diǎn)和邊的數(shù)量成線性關(guān)系。
檢查矛盾也是線性時(shí)間操作。
結(jié)論
因此，2-SAT 是一個 P 類問題。與 3-SAT 不同，后者是一個已知的 NP 完全問題，2-SAT 可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決。這種差異說明了問題復(fù)雜度類別之間的明顯區(qū)別，即使在看似相似的問題之間。2-SAT 的多項(xiàng)式時(shí)間解法在理論計(jì)算機(jī)科學(xué)中是一個重要發(fā)現(xiàn)，表明了問題約束條件的微小變化可能導(dǎo)致其復(fù)雜度類別的顯著變化。

43. 給定一個圖，一個邊支配集是一個邊的子集，這樣任何一條邊都連接到該子集中至少有一條邊的端點(diǎn)。邊支配集問題是檢查一個給定的圖是否具有一個大小最多為k的邊支配集。證明邊支配集是 NP-hard 問題
要證明邊支配集問題是 NP-hard 的，我們需要展示所有 NP 中的問題都可以多項(xiàng)式時(shí)間歸約到邊支配集問題。通常，這是通過從一個已知的 NP-hard 問題歸約到邊支配集問題來完成的。一個常見的策略是從頂點(diǎn)覆蓋問題進(jìn)行歸約，因?yàn)轫旤c(diǎn)覆蓋問題已知是 NP-hard 的。

為什么是添加 2k 個點(diǎn)，而不是 k 個點(diǎn)呢，是因?yàn)樵谔砑?( u i , v i ) (u_i, v_i)(u?
i
?
?,v?
i
?
?) 這條線時(shí)， 固定了在充分性證明時(shí)：F 中的 k 條邊分別與每個 v i v_iv?
i
?
? 相連，即這 k 條邊支配集分別與 v i v_iv?
i
?
? 相連。且因?yàn)槭沁呏浼?#xff0c;所以 G 中所有邊均與 F 中邊共點(diǎn)，所以這 k 條邊的端點(diǎn)不是 v i v_iv?
i
?
? 的那些頂點(diǎn)組成了一個大小為 k 的點(diǎn)覆蓋。

頂點(diǎn)覆蓋問題到邊支配集問題的歸約
頂點(diǎn)覆蓋問題：給定無向圖 ( G = (V, E) ) 和一個整數(shù) ( k )，判斷是否存在一個大小最多為 ( k ) 的頂點(diǎn)集 ( C \subseteq V )，使得 ( G ) 中的每條邊至少有一個端點(diǎn)在 ( C ) 中。

構(gòu)造過程：

從頂點(diǎn)覆蓋問題的實(shí)例 ( G = (V, E) ) 出發(fā)，構(gòu)造一個新圖 ( G’ )。
對于圖 ( G ) 中的每個頂點(diǎn) ( v \in V )，在 ( G’ ) 中創(chuàng)建一個與 ( v ) 相關(guān)的邊 ( e_v )。
對于圖 ( G ) 中的每條邊 ( (u, v) \in E )，在 ( G’ ) 中創(chuàng)建一個與之相連的新頂點(diǎn)，這個新頂點(diǎn)與 ( e_u ) 和 ( e_v ) 相連。
歸約的直觀解釋：在新圖 ( G’ ) 中，找到一個大小為 ( k ) 的邊支配集實(shí)質(zhì)上等同于在原圖 ( G ) 中找到一個大小為 ( k ) 的頂點(diǎn)覆蓋。

正向證明
如果 ( G ) 有一個大小為 ( k ) 的頂點(diǎn)覆蓋，那么在 ( G’ ) 中，與這個頂點(diǎn)覆蓋相對應(yīng)的邊構(gòu)成了一個邊支配集。每條邊 ( (u, v) \in E ) 至少有一個端點(diǎn)在頂點(diǎn)覆蓋中，因此 ( e_u ) 或 ( e_v )（或兩者都在）將在邊支配集中，從而覆蓋所有與之相連的新頂點(diǎn)。
反向證明
如果 ( G’ ) 有一個大小為 ( k ) 的邊支配集，那么這個邊支配集中的邊對應(yīng)于 ( G ) 中的頂點(diǎn)，構(gòu)成了一個頂點(diǎn)覆蓋。由于每個新添加的頂點(diǎn)在 ( G’ ) 中都與兩條邊相連，這些邊的端點(diǎn)對應(yīng)于 ( G ) 中的頂點(diǎn)，因此這些頂點(diǎn)覆蓋了 ( G ) 中的所有邊。
結(jié)論
通過上述歸約和雙向證明，我們證明了邊支配集問題是 NP-hard 的。歸約過程提供了一種有效的方法將頂點(diǎn)覆蓋問題轉(zhuǎn)換為邊支配集問題，從而表明解決邊支配集問題至少和解決頂點(diǎn)覆蓋問題一樣困難。

44. 帶權(quán)頂點(diǎn)覆蓋問題的二倍近似算法及正確性證明
45. 負(fù)載均衡問題的近似算法及正確性證明
46. 背包問題的近似算法和正確性證明（×）
對于 0-1 背包問題，存在多種近似算法，這些算法在犧牲一些精確性的前提下提供了較快的解決方案。一個常見的近似方法是基于貪心策略，例如按價(jià)值密度（即價(jià)值與重量的比率）排序物品，然后盡可能地裝入具有最高價(jià)值密度的物品。

0-1 背包問題的近似算法
假設(shè)我們有 ( n ) 個物品和一個容量為 ( W ) 的背包，每個物品 ( i ) 有價(jià)值 ( v_i ) 和重量 ( w_i )。

按價(jià)值密度排序：計(jì)算每個物品的價(jià)值密度 ( d_i = \frac{v_i}{w_i} )，然后按照這個比率對物品進(jìn)行降序排序。

貪心選擇：從排序后的列表中開始，按照順序選擇物品放入背包，直到下一個物品不能放入背包為止（即再添加這個物品會超過背包的總?cè)萘?#xff09;。

正確性證明
貪心算法的正確性在于它總是優(yōu)先選擇單位重量價(jià)值最高的物品。對于小容量背包問題，這通常會導(dǎo)致接近最優(yōu)解的結(jié)果。然而，由于 0-1 背包問題要求每個物品要么完整地被選中要么完全不選，貪心算法不能保證總是得到最優(yōu)解。

在某些情況下，選擇單位重量價(jià)值最高的物品可能會阻止選擇總價(jià)值更高的物品組合。
貪心算法在每一步都做出局部最優(yōu)的選擇，但這些局部最優(yōu)的選擇未必能導(dǎo)致全局最優(yōu)解。
總結(jié)
貪心算法作為 0-1 背包問題的一個近似解決方案，在計(jì)算上效率高，容易實(shí)現(xiàn)，對于某些問題實(shí)例可以給出非常接近最優(yōu)解的結(jié)果。然而，由于其局部最優(yōu)決策的本質(zhì)，它不能保證總是得到全局最優(yōu)解，因此在理論上它不是一個精確算法。這種近似算法在實(shí)踐中常用于那些對解的精確性要求不是非常嚴(yán)格的場景。

對于 0-1 背包問題的貪心近似算法，由于它基于價(jià)值密度（價(jià)值與重量的比率）進(jìn)行選擇，通常很難給出一個精確的近似比率。這是因?yàn)樗惴ǖ男阅芨叨纫蕾囉谔囟▎栴}實(shí)例的特性。對于某些問題實(shí)例，貪心算法可能非常接近最優(yōu)解，而對于其他實(shí)例，則可能差距較大。

近似比證明
要確定這種貪心算法的近似比率，我們需要比較算法得到的解與最優(yōu)解的價(jià)值。然而，由于 0-1 背包問題的復(fù)雜性，沒有簡單的通用方法來精確計(jì)算這個比率。在最壞情況下，貪心算法的性能可能遠(yuǎn)低于最優(yōu)解，特別是當(dāng)最優(yōu)解包含的是低價(jià)值密度但總價(jià)值高的物品組合時(shí)。

例如，考慮這樣一個極端情況：背包容量很小，只能容納重量最輕的物品，而最高總價(jià)值的物品組合實(shí)際上包含了重量稍微大一點(diǎn)但價(jià)值更高的物品。在這種情況下，貪心算法選擇的可能是單個重量最輕的物品，而忽略了更高總價(jià)值的物品組合。

結(jié)論
因此，對于 0-1 背包問題的貪心近似算法，我們不能給出一個固定的多倍近似比率。它在某些情況下可能表現(xiàn)良好，但在其他情況下可能與最優(yōu)解有較大的差距。這種算法更適用于當(dāng)計(jì)算資源有限且對解的最優(yōu)性要求不是特別嚴(yán)格的場景。對于需要精確解的情況，應(yīng)該考慮使用動態(tài)規(guī)劃等方法來獲得最優(yōu)解。

敘述帶權(quán)重的點(diǎn)覆蓋問題的競價(jià)法（Pricing method）的步驟，簡單證明競價(jià)法（Pricing method）求解帶權(quán)重的點(diǎn)覆蓋（Weighted Vertex Cover）問題是2倍近似的。

帶權(quán)重的點(diǎn)覆蓋問題是圖論中的一個經(jīng)典問題，其中每個頂點(diǎn)都有一個權(quán)重，目標(biāo)是找到一個頂點(diǎn)的子集，使得圖中的每條邊至少有一個端點(diǎn)在這個子集中，并且這個子集的總權(quán)重盡可能小。競價(jià)法（Pricing Method）是求解帶權(quán)重的點(diǎn)覆蓋問題的一種近似算法，它可以提供一個2倍近似的解決方案。下面是競價(jià)法的步驟和簡單的證明：

競價(jià)法步驟
初始化：給每個頂點(diǎn) ( v ) 分配一個初始價(jià)格 ( p(v) = 0 )。定義一個集合 ( C ) 作為點(diǎn)覆蓋集，最初為空。

未覆蓋邊的處理：對于圖中的每條未被覆蓋的邊 ( (u, v) )：

增加頂點(diǎn) ( u ) 和 ( v ) 的價(jià)格，直到 ( p(u) + p(v) ) 等于邊 ( (u, v) ) 的權(quán)重。
如果 ( p(u) ) 達(dá)到 ( w(u) )（( u ) 的權(quán)重），將 ( u ) 加入到點(diǎn)覆蓋集 ( C ) 中。
同樣地，如果 ( p(v) ) 達(dá)到 ( w(v) )，將 ( v ) 加入到點(diǎn)覆蓋集 ( C ) 中。
終止條件：當(dāng)所有邊都被覆蓋時(shí)，算法終止。

簡單證明
競價(jià)法是2倍近似的：算法保證了每個頂點(diǎn)加入點(diǎn)覆蓋集 ( C ) 的價(jià)格之和不會超過其權(quán)重的兩倍。
對于每條邊 ( (u, v) )，算法保證 ( p(u) + p(v) ) 最終等于邊 ( (u, v) ) 的權(quán)重。因此，總價(jià)格是邊權(quán)重之和的上界。
在最優(yōu)解中，每條邊至少貢獻(xiàn)一個頂點(diǎn)的權(quán)重到總權(quán)重中。因此，總價(jià)格至多是最優(yōu)解的兩倍。
結(jié)論
競價(jià)法是帶權(quán)重的點(diǎn)覆蓋問題的2倍近似算法。它通過逐漸增加頂點(diǎn)的價(jià)格，并在必要時(shí)將頂點(diǎn)加入到覆蓋集中，以確保每條邊都被覆蓋。這種方法在保證覆蓋的同時(shí)，確保了總權(quán)重不會超過最優(yōu)解的兩倍，使其成為一個有效的近似算法。

證明圖二著色問題（是否能給一個圖的頂點(diǎn)進(jìn)行兩種顏色著色使得任意兩個相鄰頂點(diǎn)都有不同的顏色）是屬于P的。

圖二著色問題是指判斷一個給定的無向圖是否可以用兩種顏色來著色，使得任何兩個相鄰的頂點(diǎn)都有不同的顏色。這個問題可以通過簡單的圖遍歷算法在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決，因此它屬于 P 類問題。具體來說，這個問題可以使用深度優(yōu)先搜索（DFS）或廣度優(yōu)先搜索（BFS）來解決。以下是使用廣度優(yōu)先搜索的證明：

算法步驟
選擇起點(diǎn)：從圖中任選一個頂點(diǎn)作為起點(diǎn)，并給它分配一種顏色（例如紅色）。

廣度優(yōu)先搜索：使用廣度優(yōu)先搜索遍歷圖的每個頂點(diǎn)。對于當(dāng)前頂點(diǎn)的每個鄰接頂點(diǎn)：

如果鄰接頂點(diǎn)未著色，給它分配與當(dāng)前頂點(diǎn)不同的顏色。
如果鄰接頂點(diǎn)已著色且顏色與當(dāng)前頂點(diǎn)相同，則圖不能進(jìn)行二著色，算法結(jié)束。
遍歷整個圖：重復(fù)上述過程，直到所有頂點(diǎn)都被訪問。

輸出結(jié)果：如果算法沒有在過程中終止，則圖可以進(jìn)行二著色。

正確性證明
二分圖特性：一個圖可以進(jìn)行二著色當(dāng)且僅當(dāng)它是二分圖。在二分圖中，所有頂點(diǎn)可以被分成兩個集合，使得同一個集合內(nèi)的頂點(diǎn)之間沒有邊。

檢測二分圖：廣度優(yōu)先搜索能有效地檢測一個圖是否是二分圖。如果在為頂點(diǎn)著色的過程中發(fā)現(xiàn)了一個沖突（即兩個相鄰的頂點(diǎn)被著上了相同的顏色），則圖不是二分圖，也就不能進(jìn)行二著色。

多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度：廣度優(yōu)先搜索的時(shí)間復(fù)雜度是 (O(V + E))，其中 (V) 是頂點(diǎn)數(shù)，(E) 是邊數(shù)。因此，這個算法在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)運(yùn)行。

結(jié)論
因此，圖二著色問題是屬于 P 類問題的?？梢允褂脧V度優(yōu)先搜索等圖遍歷算法在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決這個問題。這表明判斷一個圖是否能進(jìn)行二著色是一個計(jì)算上相對簡單的問題。

47. 輸入規(guī)模與偽多項(xiàng)式時(shí)間算法
輸入規(guī)模
求下面兩個算法的輸入規(guī)模

1.要計(jì)算 n 個整數(shù)的加法

輸入 a1, a2, ..., an

2.判斷一個大數(shù) N 是不是一個素?cái)?shù)

輸入數(shù) N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
第一道題，根據(jù)直覺判斷出他的輸入規(guī)模應(yīng)該是是輸入整數(shù)的個數(shù) n。

但是第二道題的輸入規(guī)模應(yīng)該是多少呢？按照第一道題的直覺，輸入一個數(shù)，那么輸入規(guī)模應(yīng)該是 1 。這樣判斷正確嘛？

答案是錯誤的，只通過輸入個數(shù)來判斷輸入規(guī)模的方法并不總是可行，這是輸入規(guī)模的概念不清楚導(dǎo)致的。

要解決這個問題，我們就要從輸入規(guī)模的概念出發(fā)，輸入規(guī)模到底是什么？為了搞清楚輸入規(guī)模的含義，要首先思考：輸入規(guī)模中的輸入是向哪里輸入？

這里的輸入是將數(shù)據(jù)輸入到計(jì)算機(jī)內(nèi)存中，而輸入規(guī)模指的是數(shù)據(jù)在內(nèi)存中所占據(jù)空間的大小。即 輸入規(guī)模不是指輸入數(shù)據(jù)的個數(shù)，而是數(shù)據(jù)在內(nèi)存中所占空間的大小

在計(jì)算機(jī)中，數(shù)據(jù)都是以二進(jìn)制存儲的，所以我們可以用數(shù)據(jù)所占的比特位來代表數(shù)據(jù)所占的空間。

按照這個思路，我們再分析剛剛例子中的第一題，通過內(nèi)存的角度來判斷第一題中的輸入規(guī)模到底是多少。

先對于第一個數(shù) a1，如何判斷其在內(nèi)存中占多少比特位呢？我們可以用真實(shí)的數(shù)來舉例。

5 -> 101 3位

8 -> 1000 4位

11 -> 1011 4位

17 -> 10001 5位
1
2
3
4
5
6
7
尋找規(guī)律，對于一個十進(jìn)制數(shù) a ，他用二進(jìn)制表示的位數(shù)為，

? l o g 2 ? a + 1 ? \lfloor log_2?a+1 \rfloor
?log?
2
?
??a+1?

所以第一題輸入的 n 個數(shù) a1, a2, …, an， 所占的比特位可以表示為，

? l o g 2 a 1 ? + 1 + ? l o g 2 a 2 ? + 1 + . . . + ? l o g 2 a n ? + 1 = ∑ i ? l o g 2 a i ? + n \lfloor log_2a_1 \rfloor + 1 + \lfloor log_2a_2 \rfloor +1+...+ \lfloor log_2a_n \rfloor +1 = \sum_i \lfloor log_2a_i \rfloor +n
?log?
2
?
?a?
1
?
??+1+?log?
2
?
?a?
2
?
??+1+...+?log?
2
?
?a?
n
?
??+1=?
i
∑
?
??log?
2
?
?a?
i
?
??+n

為了方便計(jì)算，假設(shè) n 位數(shù)中的最大值 為 a m a_ma?
m
?
?，則上面的公式還可以再化簡

∑ i ? l o g 2 a i ? + n < n ? l o g 2 a m ? + n = n ( ? l o g 2 a m ? + 1 ) \sum_i \lfloor log_2a_i \rfloor +n < n \lfloor log_2a_m \rfloor + n = n(\lfloor log_2a_m \rfloor + 1)
i
∑
?
??log?
2
?
?a?
i
?
??+n<n?log?
2
?
?a?
m
?
??+n=n(?log?
2
?
?a?
m
?
??+1)

做到這一步，就能感覺到離結(jié)果越來越近了。接下來就對這個式子進(jìn)行模糊操作，對于括號里的式子進(jìn)行省略，就可以得到最終的結(jié)果 n nn

n ( ? l o g 2 a m ? + 1 ) ≈ n n(\lfloor log_2a_m \rfloor + 1) \approx nn(?log?
2
?
?a?
m
?
??+1)≈n

這就證明了我們最開始的直覺是正確的，感覺上輸入個數(shù) n 可以作為輸入規(guī)模，但實(shí)際上是 n 是由于比特位的計(jì)算后近似的結(jié)果

那么就按照這個思路，繼續(xù)計(jì)算第二道題的輸入規(guī)模。

由于剛剛我們已經(jīng)得到了由一個十進(jìn)制數(shù)計(jì)算二進(jìn)制數(shù)的位數(shù)的公式，第二道題的計(jì)算就變得容易很多，可以直接計(jì)算得到輸入規(guī)模為,

? l o g 2 N ? + 1 ≈ ? l o g 2 N ? \lfloor log_2N \rfloor + 1 \approx \lfloor log_2N \rfloor
?log?
2
?
?N?+1≈?log?
2
?
?N?

這就說明，如果按照輸入規(guī)模=輸入個數(shù)來計(jì)算，是很明顯錯誤的。我們要從輸入規(guī)模更深層次的概念來分析。

通過問題一和問題二的對比，我們就可以發(fā)現(xiàn)在通常情況下，可以把算法的輸入規(guī)?？醋髋c輸入數(shù)據(jù)個數(shù)相同。但是在一些特殊情況下，輸入規(guī)模需要根據(jù)其概念來進(jìn)行計(jì)算，例如操作大數(shù)的算法。

回到最最開始的問題。“兩個數(shù)加法的時(shí)間復(fù)雜度不一定為O(1)，與參與運(yùn)算數(shù)據(jù)的輸入規(guī)模有關(guān)”，現(xiàn)在就可以理解了，當(dāng)輸入兩個數(shù)很大時(shí)，就不能把輸入規(guī)?？醋魇禽斎霐?shù)據(jù)個數(shù)了，而是應(yīng)該用上面講解的計(jì)算公式來計(jì)算求解。

總結(jié)

輸入規(guī)模不是輸入數(shù)據(jù)的個數(shù)，而是數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)存中所占空間的大小
在通常情況下，計(jì)算數(shù)據(jù)存儲位數(shù)的結(jié)果可以約等于輸入數(shù)據(jù)的個數(shù)
對于輸入大數(shù)的算法，就不能只考慮輸入數(shù)據(jù)的個數(shù)，也要考慮輸入數(shù)據(jù)的長度，即按照輸入規(guī)模的概念計(jì)算
偽多項(xiàng)式時(shí)間算法
背包問題

斐波那契

這里的指數(shù)時(shí)間算法是相對于輸入規(guī)模而言的，輸入規(guī)模是 log n = L 個 bit，時(shí)間是O(n)，所以時(shí)間是輸入規(guī)模的指數(shù)級別的，即 O(2 L 2^{L}2?
L
?)，隨著 n 的增加，算法是呈現(xiàn)指數(shù)增長的。

背包問題也是一樣的道理，輸入規(guī)模是 logW 級別的，時(shí)間是 O(nW)時(shí)間里卻有個 W

而對于排序算法的輸入規(guī)模是就是 n 個 bit 的存儲大小。輸入規(guī)模就是 O(n) 的

48. 證明三著色問題是 NPC 問題
“3 色問題的 NP-Complete 證明”

52. 三著色的自歸約過程
比如有下述這樣一個四邊形圖需要進(jìn)行三著色，首先判斷是否可以進(jìn)行三著色，可以則進(jìn)行加邊。

加邊后若可以進(jìn)行三著色，則繼續(xù)進(jìn)行加邊，（加邊即將任意兩個頂點(diǎn)進(jìn)行連接）

當(dāng)加邊后，判斷不能進(jìn)行三著色，則撤銷此邊。

當(dāng)加完所有可能的邊后，就很容易進(jìn)行三著色了，比如任取一個頂點(diǎn)，比如下圖的左下角為 1，則與它相連的另外兩個頂點(diǎn)分別為其他兩個顏色，因?yàn)樵谕粋€三角形，同理繼續(xù)右上角的三角形也確定了為 1這個顏色

55. 哈密爾頓圈歸約到最長路徑
哈密爾頓圈歸約到最長路徑等價(jià)于哈密爾頓圈約到哈密爾頓圈路徑問題。

58. 最小割歸約到最大流問題
只學(xué)過最大流到最小割，所以只能最小割歸約到最大流
考試的時(shí)候通常不是 k ，而是一個固定的值，確切的值

58. 三著色歸約到 k 著色
K 著色是一個更難的問題，因?yàn)橐粋€ K 著色或許可以通過三著色來替換解決，但是有些圖只能進(jìn)行 K 著色，比如必須要 5種或6種顏色才能解決。

歸約的構(gòu)造方法為：比如三著色構(gòu)造四著色，添加一個新頂點(diǎn)，連接到三著色圖 G 中的所有頂點(diǎn)，這樣三著色圖 G 的所有邊都與 新頂點(diǎn)連接，新頂點(diǎn)不能使用三種顏色的任何一種，只能使用第 4 中顏色

k 著色，就構(gòu)造 k - 3 個頂點(diǎn)，每個頂點(diǎn)連接到原圖 G 中的所有邊，然后 k - 3 個頂點(diǎn)互相連接形成完全圖，這樣 k - 3 個頂點(diǎn)兩兩都不能使用同一個顏色，就需要增加 k - 3 個顏色，并且所有的每個頂點(diǎn)都與原圖三著色 G 的頂點(diǎn)相連，所以所有顏色都不能與原圖的顏色一樣，加上與原始 3 個顏色，總共 k 個顏色。即變?yōu)?K 著色

100 著色，就構(gòu)造 97 個頂點(diǎn)，97 個頂點(diǎn)

A 歸約到 B，A 是 NPH，B 就是 NPH

59. 分區(qū)問題歸約到負(fù)載均衡問題（Partition ≤p k-Load-Balance）
分區(qū)問題是說：一個集合可以分為兩個相等的集合

負(fù)載均衡問題是： m 個任務(wù)分配到 k 個機(jī)器上，能夠在時(shí)間 T 內(nèi)處理完 m 個任務(wù)，令 T = ∑ t j k \frac{\sum t_j}{k}?
k
∑t?
j
?
?
?
?，問題就變?yōu)榱四懿荒軐?m 個任務(wù)平均分配個 k 個機(jī)器。

舉例，假設(shè) k = 3，將 分區(qū)集合中的 w 1 . . . w n + 1 2 ∑ w i w_1 ... w_n + \frac{1}{2} \sum w_iw?
1
?
?...w?
n
?
?+?
2
1
?
?∑w?
i
?
?，能夠平均分配給 k 個機(jī)器

60. 3-SAT 歸約到 3 著色問題（3-SAT ≤ P 3-COLOR）
構(gòu)造： 給定3-SAT實(shí)例Φ，我們構(gòu)造了一個三色顏色的實(shí)例，如果Φ是可滿足的。

(i) 為每個變量創(chuàng)建一個帶有一個節(jié)點(diǎn)的圖G。
（ii）將每個變量與它的否定聯(lián)系起來。
（iii）創(chuàng)建3個新節(jié)點(diǎn)T、F、B，將它們連接成三角形。
（iv）將每個文字連接到 B。
(v)對于每個子句 C j C_jC?
j
?
?，添加一個包含6個節(jié)點(diǎn)和13條邊的小工具。

每個 T 連接到這 6 個節(jié)點(diǎn)，每個

假設(shè)圖G是3著色的。

考慮將所有T個變量設(shè)置為真

確保每個變量都是T或F。

確保一個變量和它的否定是相反的

? 假設(shè)圖G是3-著色的。
考慮將所有T個變量設(shè)置為真的賦值。
（iv）確保每個變量都是T或F
?(ii) 確保一個變量和它的否定是相反的。

總結(jié)
1. NPC問題都是判定問題

比如獨(dú)立集問題的判定版本是：是否存在大小為 k 的獨(dú)立集
優(yōu)化版本就是 “找出圖中最大的獨(dú)立集”
判定版本是 NPC 的，而優(yōu)化版本是NP難的
獨(dú)立集問題的優(yōu)化版本是： 給定一個無向圖 G 和一個正整數(shù) k ，找出 G 中最大的獨(dú)立集，即沒有邊相連的點(diǎn)集，且點(diǎn)集的大小不小于 k 。

獨(dú)立集問題的判定版本是： 給定一個無向圖 G 和一個正整數(shù) k ，判斷 G 是否存在一個大小為 k 的獨(dú)立集。

獨(dú)立集問題的判定版本是一個 NPC 問題，即它既是 NP 問題，又是 NP-Hard 問題。這意味著：

NP 問題：如果給定一個候選的獨(dú)立集，我們可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)驗(yàn)證它是否滿足條件。
NP -Hard問題：任何 NP 問題都可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)歸約到獨(dú)立集問題的判定版本，即獨(dú)立集問題的判定版本至少和 NP 問題一樣難。
證明獨(dú)立集問題的判定版本是 NPC 問題的一種方法是，從已知的 NPC 問題，如 3-SAT 問題，進(jìn)行歸約。具體來說，給定一個 3-SAT 問題的布爾邏輯公式 Φ \PhiΦ，我們可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)構(gòu)造一個無向圖 G 和一個正整數(shù) k ，使得 Φ \PhiΦ 是可滿足的，當(dāng)且僅當(dāng) G 中存在一個大小為 k 的獨(dú)立集。

獨(dú)立集問題的優(yōu)化版本是一個 NP -Hard 問題，但不是一個 NP 問題。這是因?yàn)?#xff0c;優(yōu)化版本不是一個判定性問題，而是一個尋找最優(yōu)解的問題。目前還沒有已知的多項(xiàng)式時(shí)間算法可以找到無向圖的最大獨(dú)立集，也沒有已知的多項(xiàng)式時(shí)間算法可以驗(yàn)證一個給定的獨(dú)立集是否是最大的。 因此，獨(dú)立集問題的優(yōu)化版本不屬于 NP 類，也不屬于 NPC 類，而是屬于 NP -Hard 類。

NPC問題限制了規(guī)模就可以多項(xiàng)式時(shí)間求解

判定問題是指可以用是或否來回答的問題，比如“給定一個圖，它是否是連通的？”優(yōu)化問題是指要找到一個最優(yōu)的解，比如“給定一個圖，找到一條最短的路徑，經(jīng)過所有的頂點(diǎn)?！眱?yōu)化問題通常比判定問題更難，因?yàn)橐紤]所有可能的解，并比較它們的優(yōu)劣。

NPC問題是指一類特殊的判定問題，它們有兩個特點(diǎn)：一是它們本身是NP問題，也就是說，如果已經(jīng)知道一個解，可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)驗(yàn)證它的正確性；二是它們是NP難問題，也就是說，任何其他的NP問題都可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)化為它們。這意味著，如果能找到一個多項(xiàng)式時(shí)間的算法，可以解決任意一個NPC問題，那么就可以解決所有的NP問題。這就是著名的P=NP問題，目前還沒有人能證明或否定它。

所以，所有的NPC問題都是判定問題，但不是所有的判定問題都是NPC問題。有些判定問題可能更容易，有些可能更難。優(yōu)化問題不是判定問題，但通?？梢赞D(zhuǎn)化為判定問題，比如“給定一個圖，找到一條長度小于k的路徑，經(jīng)過所有的頂點(diǎn)?！边@樣，就可以用二分法來逼近最優(yōu)解。但是，這種轉(zhuǎn)化并不一定能降低問題的難度，有些優(yōu)化問題對應(yīng)的判定問題也是NPC問題，有些甚至是NP難問題，比NPC問題還要難。

49.

思考線性規(guī)劃是每個節(jié)點(diǎn)對應(yīng)分?jǐn)?shù)，而整數(shù)規(guī)劃會直接選整個點(diǎn)的權(quán)重 即 y ≤ x

50.
如果一個算是1.5倍近似的，那他也是 3 倍近似的。好比一個是 O(n) 的算法也是 O(n^2) 的

51.
判斷素?cái)?shù)的問題，輸入的是一個整數(shù)，同背包問題的偽代碼，運(yùn)行時(shí)間為O(w^2) 的算法并不是多項(xiàng)式時(shí)間的，也是指數(shù)的，是 2 l o g w 2 2^{logw^2}2?
logw?
2
?
? 的

52.

如果將集合覆蓋的實(shí)例構(gòu)造到頂點(diǎn)覆蓋顯然是不行的，因?yàn)榧尤爰细采w中含有三個集合都有 1 這個元素，那如何表示呢？

而歸約只需要將頂點(diǎn)覆蓋的實(shí)例構(gòu)造一個集合覆蓋的實(shí)例即可，所以不會出現(xiàn)上述情況。

54.

A 答案：如果是問最短路徑是不是小于等于 k，那A就沒問題，因?yàn)?A 可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)驗(yàn)證出，并給出一個最短路徑

B 答案：由于是問最長路，所以需要大于等于 k，并不斷增大 k，才能問出具體是那條路

當(dāng)確定了最長路的長度 k 后，需要有證據(jù)說明，流程如下（自歸約）：去掉某條邊，詢問是不是還大于等于 k，如果還大于等于，則去掉，如果并不大于等于 k，說明這條邊在最長路中，一次來判斷所有邊。
所以如果是小于等于 k，可以通過二分確定最長路的大小 k，但是沒有證據(jù)說明，比如每次去掉邊后，詢問小于等于 k 是否滿足，肯定滿足呀，去不去最長路徑中的邊，都會告訴你滿足。就無法判斷這條邊是否在最長路徑中。
56.
3-SAT和co-3-SAT可以相互歸約，但是 co-3-SAT 是NP難的

57.
3-SAT歸約到3著色很簡單？？？

References
https://juejin.cn/post/6844904112283205640