abstract

• 常見平面曲線的方程的不同表示方式

常見曲線的不同形式

• 下面以平面曲線為對(duì)象討論
• 參數(shù)方程通常是對(duì)普通方程的補(bǔ)充和增強(qiáng),曲線的普通方程(直角坐標(biāo)方程)和其參數(shù)方程通常在直角坐標(biāo)系中討論,都涉及到$x,y$
• 而曲線的極坐標(biāo)方程,是以和直角坐標(biāo)截然不同的坐標(biāo)系,尤其擅長(zhǎng)表示的曲線類型,利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式,可以完成同一曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程形式轉(zhuǎn)換
• 在應(yīng)用中,處理方程形式的變換,還要注意定義域或變量取值范圍的等價(jià)轉(zhuǎn)換,例如
  • $x^2+y^2=1$,$(x,y?0)$轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)表示為:$\rho =1$,$\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$,都表示的是$\frac{1}{4}$圓弧,
  • 而對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程為$x=\cos \theta$;$y=\sin \theta$,$\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$
    • $x$在該段圓弧的取值范圍$[0,1]$,因此$x=\cos \theta \in [0,1]$,解得$\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$
• 直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式是在極坐標(biāo)的極點(diǎn)和直角坐標(biāo)原點(diǎn)重合的情形
  • $x=\rho \cos \theta$;$y=\rho \sin \theta$
• 上述轉(zhuǎn)換公式不能濫用,有時(shí)極點(diǎn)不和直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,就不能直接代入上述公式,需要調(diào)整
  • 極點(diǎn)的位置根據(jù)問題的需要建立在合適的位置對(duì)于極坐標(biāo)方程的形式是重要的,而對(duì)比較簡(jiǎn)單的情形,通常建立在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)上

小結(jié):一覽表

曲線	普通方程	極坐標(biāo)方程	參數(shù)方程
圓心在$(0,0)$	$x^2+y^2=R^2$	$\rho =R$	$x=R\cos \theta$;$y=R\sin \theta$,$(\theta \in [0,2\pi ))$
圓心在$(a,b)$	$(x?a{)}^2+(y?b{)}^2=R^2$	$(\rho \cos \theta ?a{)}^2+(\rho \sin \theta ?b{)}^2=R^2$	$x=a+R\cos \theta$ ;$y=b+R\sin \theta$;$((\theta \in [0,2\pi ))$
圓心在$(a,0)$且半徑$R=a$	$(x?a{)}^2+y^2=a^2$	$\rho =2a\cos \theta$	$x=a+a\cos \theta$ ;$y=a\sin \theta$;$((\theta \in [0,2\pi ))$
圓心在$(0,a)$且半徑$R=a$	$x^2+(y?b{)}^2=a^2$	$\rho =2a\sin \theta$	$x=a\cos \theta$ ;$y=a+a\sin \theta$;$((\theta \in [0,2\pi ))$
直線	$Ax+By+C=0$	$A\rho \cos \theta +B\rho \sin \theta +C=0$	$x=x_0+Bt$;$y=y_0?At$ $(t\in \mathbb{R})$
		以下極點(diǎn)建立在焦點(diǎn)上
橢圓(中心位于$(0,0)$)	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$\rho =\frac{p}{1?e\cos \theta }$,$(e<1)$	$x=a\cos t$;$y=b\sin t$;$0\in [0,2\pi ]$
拋物線(頂點(diǎn)位于$(0,0)$)	$y^2=x$	$\rho =\frac{p}{1?e\cos \theta }$,$(e=1)$	$x=2p{t}^2$;$y=2pt$;$(t\in \mathbb{R})$
雙曲線(中心位于$(0,0)$)	$\frac{x^2}{a^2}?\frac{y^2}{b^2}=1$	$\rho =\frac{p}{1?e\cos \theta }$,$(e>1)$	$x=a\sec \theta$;$y=b\tan \theta$;$(\theta \in [0,2\pi ),\theta \ne k\pi +\frac{\pi }{2},k=0,1)$

分析

• 上表中不是每個(gè)方程都常用例如極坐標(biāo)方程形式復(fù)雜或不便于計(jì)算,就不常用

• 直線的普通方程有各種各樣的形式,一般方程$Ax+By+C=0$,$(AB\ne 0)$可以表示任意直線

  • 其法線方向向量為$(A,B)$
  • 其方向向量為$(B,?A)$

• 直線的參數(shù)方程也有多種形式

• 從普通方程化為極坐標(biāo)方程通常是容易的

  • 只要將直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式代入普通方程,即可得到極坐標(biāo)方程
  • 而對(duì)于簡(jiǎn)單曲線,還可以從幾何特點(diǎn)出發(fā):設(shè)曲線上的任意點(diǎn)為$(\rho ,\theta )$,根據(jù)曲線幾何特點(diǎn),建立極坐標(biāo)方程,這比通用的代入轉(zhuǎn)化公式更加直觀
  • 例如,半徑為$R$,圓心為$(0,0)$,可以立馬根據(jù)幾何性質(zhì)寫出極坐標(biāo)方程為$\rho =1$

• 而普通方程化為參數(shù)方程就復(fù)雜一些

圓錐曲線的極坐標(biāo)方程

• 上述表格中給出的是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的情形下圓錐曲線的極坐標(biāo)方程
• 將極坐標(biāo)建立在直角坐標(biāo)系原點(diǎn)上是不常見的,此時(shí)代入坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式可知,形式復(fù)雜,一般不利于使用

非標(biāo)準(zhǔn)位置的圓錐曲線參數(shù)方程

• 對(duì)于橢圓和雙曲線,標(biāo)準(zhǔn)位置指中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的情形

• 利用坐標(biāo)平移公式,可以得到與非標(biāo)準(zhǔn)位置的圓的類似的參數(shù)方程

  • 橢圓(中心為$(x_0,y_0)$):$x=x_0+a\cos \theta$;$y=y_0+b\sin \theta$;$\theta \in [0,2\pi ]$
  • 雙曲線(中心為$(x_0,y_0)$):$x=x_0+a\sec \theta$;$y=y_0+b\tan \theta$;$\theta \in [0,2\pi ]$
  • 拋物線(頂點(diǎn)為$(x_0,y_0)$):$x=x_0+2p{t}^2$;$y=y_0+2pt$;$t\in \mathbb{R}$

應(yīng)用比較

• 極坐標(biāo)方程適合用在$f(x^2+y^2)$,$f(\frac{y}{x})$,$f(\frac{x}{y})$這類情形下,可以簡(jiǎn)化曲線的表示形式,在二重積分的某些和圓有關(guān)的區(qū)域,用極坐標(biāo)表示往往是方便的
• 參數(shù)方程可以表示一些一般方程那一表示的或者表示形式復(fù)雜的曲線或方程

refs

• 極坐標(biāo)方程
• 圓@圓錐曲線參數(shù)方程