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文章目錄

    • abstract
    • 常見曲線的不同形式
      • 小結(jié):一覽表
      • 分析
      • 圓錐曲線的極坐標(biāo)方程
      • 非標(biāo)準(zhǔn)位置的圓錐曲線參數(shù)方程
      • 應(yīng)用比較
    • refs

abstract

  • 常見平面曲線的方程的不同表示方式

常見曲線的不同形式

  • 下面以平面曲線為對(duì)象討論
  • 參數(shù)方程通常是對(duì)普通方程的補(bǔ)充和增強(qiáng),曲線的普通方程(直角坐標(biāo)方程)和其參數(shù)方程通常在直角坐標(biāo)系中討論,都涉及到 x , y x,y x,y
  • 而曲線的極坐標(biāo)方程,是以和直角坐標(biāo)截然不同的坐標(biāo)系,尤其擅長(zhǎng)表示的曲線類型,利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式,可以完成同一曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程形式轉(zhuǎn)換
  • 在應(yīng)用中,處理方程形式的變換,還要注意定義域或變量取值范圍的等價(jià)轉(zhuǎn)換,例如
    • x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2+y2=1, ( x , y ? 0 ) (x,y\geqslant{0}) (x,y?0)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)表示為: ρ = 1 \rho=1 ρ=1, θ ∈ [ 0 , π 2 ] \theta\in[0,\frac{\pi}{2}] θ[0,2π?],都表示的是 1 4 \frac{1}{4} 41?圓弧,
    • 而對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程為 x = cos ? θ x=\cos\theta x=cosθ; y = sin ? θ y=\sin\theta y=sinθ, θ ∈ [ 0 , π 2 ] \theta\in[0,\frac{\pi}{2}] θ[0,2π?]
      • x x x在該段圓弧的取值范圍 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1],因此 x = cos ? θ ∈ [ 0 , 1 ] x=\cos\theta\in[0,1] x=cosθ[0,1],解得 θ ∈ [ 0 , π 2 ] \theta\in[0,\frac{\pi}{2}] θ[0,2π?]
  • 直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式是在極坐標(biāo)的極點(diǎn)和直角坐標(biāo)原點(diǎn)重合的情形
    • x = ρ cos ? θ x=\rho\cos\theta x=ρcosθ; y = ρ sin ? θ y=\rho\sin\theta y=ρsinθ
  • 上述轉(zhuǎn)換公式不能濫用,有時(shí)極點(diǎn)不和直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,就不能直接代入上述公式,需要調(diào)整
    • 極點(diǎn)的位置根據(jù)問題的需要建立在合適的位置對(duì)于極坐標(biāo)方程的形式是重要的,而對(duì)比較簡(jiǎn)單的情形,通常建立在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)上

小結(jié):一覽表

曲線普通方程極坐標(biāo)方程參數(shù)方程
圓心在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) x 2 + y 2 = R 2 x^2+y^2=R^2 x2+y2=R2 ρ = R \rho=R ρ=R x = R cos ? θ x=R\cos\theta x=Rcosθ; y = R sin ? θ y=R\sin\theta y=Rsinθ, ( θ ∈ [ 0 , 2 π ) ) (\theta\in[0,2\pi)) (θ[0,2π))
圓心在 ( a , b ) (a,b) (a,b) ( x ? a ) 2 + ( y ? b ) 2 = R 2 (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 (x?a)2+(y?b)2=R2 ( ρ cos ? θ ? a ) 2 + ( ρ sin ? θ ? b ) 2 = R 2 (\rho\cos{\theta}-a)^2+(\rho\sin\theta-b)^2=R^2 (ρcosθ?a)2+(ρsinθ?b)2=R2 x = a + R cos ? θ x=a+R\cos\theta x=a+Rcosθ ; y = b + R sin ? θ y=b+R\sin\theta y=b+Rsinθ; ( ( θ ∈ [ 0 , 2 π ) ) ((\theta\in[0,2\pi)) ((θ[0,2π))
圓心在 ( a , 0 ) (a,0) (a,0)且半徑 R = a R=a R=a ( x ? a ) 2 + y 2 = a 2 (x-a)^2+y^2=a^2 (x?a)2+y2=a2 ρ = 2 a cos ? θ \rho=2a\cos\theta ρ=2acosθ x = a + a cos ? θ x=a+a\cos\theta x=a+acosθ ; y = a sin ? θ y=a\sin\theta y=asinθ; ( ( θ ∈ [ 0 , 2 π ) ) ((\theta\in[0,2\pi)) ((θ[0,2π))
圓心在 ( 0 , a ) (0,a) (0,a)且半徑 R = a R=a R=a x 2 + ( y ? b ) 2 = a 2 x^2+(y-b)^2=a^2 x2+(y?b)2=a2 ρ = 2 a sin ? θ \rho=2a\sin\theta ρ=2asinθ x = a cos ? θ x=a\cos\theta x=acosθ ; y = a + a sin ? θ y=a+a\sin\theta y=a+asinθ; ( ( θ ∈ [ 0 , 2 π ) ) ((\theta\in[0,2\pi)) ((θ[0,2π))
直線 A x + B y + C = 0 Ax+By+C=0 Ax+By+C=0 A ρ cos ? θ + B ρ sin ? θ + C = 0 A\rho\cos\theta+B\rho\sin\theta+C=0 Aρcosθ+sinθ+C=0 x = x 0 + B t x=x_0+Bt x=x0?+Bt; y = y 0 ? A t y=y_0-At y=y0??At ( t ∈ R ) (t\in\mathbb{R}) (tR)
以下極點(diǎn)建立在焦點(diǎn)上
橢圓(中心位于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)) x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2?+b2y2?=1 ρ = p 1 ? e cos ? θ \rho=\frac{p}{1-e\cos\theta} ρ=1?ecosθp?, ( e < 1 ) (e<1) (e<1) x = a cos ? t x=a\cos{t} x=acost; y = b sin ? t y=b\sin{t} y=bsint; 0 ∈ [ 0 , 2 π ] 0\in[0,2\pi] 0[0,2π]
拋物線(頂點(diǎn)位于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)) y 2 = x y^2=x y2=x ρ = p 1 ? e cos ? θ \rho=\frac{p}{1-e\cos\theta} ρ=1?ecosθp?, ( e = 1 ) (e=1) (e=1) x = 2 p t 2 x=2pt^2 x=2pt2; y = 2 p t y=2pt y=2pt; ( t ∈ R ) (t\in\mathbb{R}) (tR)
雙曲線(中心位于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)) x 2 a 2 ? y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2??b2y2?=1 ρ = p 1 ? e cos ? θ \rho=\frac{p}{1-e\cos\theta} ρ=1?ecosθp?, ( e > 1 ) (e>1) (e>1) x = a sec ? θ x=a\sec\theta x=asecθ; y = b tan ? θ y=b\tan\theta y=btanθ; ( θ ∈ [ 0 , 2 π ) , θ ≠ k π + π 2 , k = 0 , 1 ) (\theta\in[0,2\pi),\theta\neq{k\pi}+\frac{\pi}{2},k=0,1) (θ[0,2π),θ=+2π?,k=0,1)

分析

  • 上表中不是每個(gè)方程都常用例如極坐標(biāo)方程形式復(fù)雜或不便于計(jì)算,就不常用

  • 直線的普通方程有各種各樣的形式,一般方程 A x + B y + C = 0 Ax+By+C=0 Ax+By+C=0, ( A B ≠ 0 ) (AB\neq{0}) (AB=0)可以表示任意直線

    • 其法線方向向量為 ( A , B ) (A,B) (A,B)
    • 其方向向量為 ( B , ? A ) (B,-A) (B,?A)
  • 直線的參數(shù)方程也有多種形式

  • 從普通方程化為極坐標(biāo)方程通常是容易的

    • 只要將直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式代入普通方程,即可得到極坐標(biāo)方程
    • 而對(duì)于簡(jiǎn)單曲線,還可以從幾何特點(diǎn)出發(fā):設(shè)曲線上的任意點(diǎn)為 ( ρ , θ ) (\rho,\theta) (ρ,θ),根據(jù)曲線幾何特點(diǎn),建立極坐標(biāo)方程,這比通用的代入轉(zhuǎn)化公式更加直觀
    • 例如,半徑為 R R R,圓心為 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0),可以立馬根據(jù)幾何性質(zhì)寫出極坐標(biāo)方程為 ρ = 1 \rho=1 ρ=1
  • 而普通方程化為參數(shù)方程就復(fù)雜一些

圓錐曲線的極坐標(biāo)方程

  • 上述表格中給出的是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的情形下圓錐曲線的極坐標(biāo)方程
  • 將極坐標(biāo)建立在直角坐標(biāo)系原點(diǎn)上是不常見的,此時(shí)代入坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式可知,形式復(fù)雜,一般不利于使用

非標(biāo)準(zhǔn)位置的圓錐曲線參數(shù)方程

  • 對(duì)于橢圓和雙曲線,標(biāo)準(zhǔn)位置指中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的情形

  • 利用坐標(biāo)平移公式,可以得到與非標(biāo)準(zhǔn)位置的圓的類似的參數(shù)方程

    • 橢圓(中心為 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0?,y0?)): x = x 0 + a cos ? θ x=x_0+a\cos{\theta} x=x0?+acosθ; y = y 0 + b sin ? θ y=y_0+b\sin{\theta} y=y0?+bsinθ; θ ∈ [ 0 , 2 π ] \theta\in[{0},{2\pi}] θ[0,2π]
    • 雙曲線(中心為 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0?,y0?)): x = x 0 + a sec ? θ x=x_0+a\sec{\theta} x=x0?+asecθ; y = y 0 + b tan ? θ y=y_0+b\tan{\theta} y=y0?+btanθ; θ ∈ [ 0 , 2 π ] \theta\in[{0},{2\pi}] θ[0,2π]
    • 拋物線(頂點(diǎn)為 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0?,y0?)): x = x 0 + 2 p t 2 x=x_0+2pt^2 x=x0?+2pt2; y = y 0 + 2 p t y=y_0+2pt y=y0?+2pt; t ∈ R t\in\mathbb{R} tR

應(yīng)用比較

  • 極坐標(biāo)方程適合用在 f ( x 2 + y 2 ) f(x^2+y^2) f(x2+y2), f ( y x ) f(\frac{y}{x}) f(xy?), f ( x y ) f(\frac{x}{y}) f(yx?)這類情形下,可以簡(jiǎn)化曲線的表示形式,在二重積分的某些和圓有關(guān)的區(qū)域,用極坐標(biāo)表示往往是方便的
  • 參數(shù)方程可以表示一些一般方程那一表示的或者表示形式復(fù)雜的曲線或方程

refs

  • 極坐標(biāo)方程
  • 圓@圓錐曲線參數(shù)方程
http://www.risenshineclean.com/news/49995.html

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