學(xué)習(xí)視頻

1.特殊矩陣

1.1 通用特殊矩陣

format
% 零矩陣(全0) 幺矩陣(全1) 單位矩陣
% zeros ones eye rand(生成0~1的隨機(jī)元素) randn(生成均值為1，方差為0的符合正太分布的隨機(jī)陣)zeros(3)     % 3x3的全0方陣
zeros(3, 4)  % 3x4的全0矩陣
exA = ones(3, 5)  % 3x5的全1矩陣
zeros(size(exA))  % 和exA大小一致的全0矩陣eye(3, 3), eye(5, 3)  % 主對角線為1的全0矩陣

示例：

1.2 用于特殊領(lǐng)域的矩陣

魔方矩陣(magic)

范德蒙矩陣(vander)

希爾伯特矩陣(hilb)

2. 矩陣變換

2.1 基礎(chǔ)概念

對角陣(diag)

主對角線有值，其他均為0的矩陣

diag作用1 - 創(chuàng)建對角陣：

diag作用2 - 取對角線：

數(shù)量矩陣(k*eye)

只有主對角線有值，且全相同

單位矩陣(eye)

只有主對角線有值，且全是1

三角陣

秩(rank)

非零子式的最高階數(shù)就是秩
設(shè)在矩陣 A中有一個不等于0的r階子式D,且所有r+1階子式(如果存在的話)全等于0,那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩,記作R(A).并規(guī)定零矩陣的秩等于0.
-是否可逆：只有滿秩的矩陣才可逆
-初等變換后矩陣的秩不變
-判斷非齊次線性方程組(方程組右側(cè)的值不全為0)解的情況

跡(trace)

矩陣主對角線元素的和，trace()計算；相似變換時矩陣的跡不變

逆(inv)和廣義逆(pinv)

設(shè)A是數(shù)域上的一個n階方陣，若在相同數(shù)域上存在另一個n階矩B，使得：
AB=BA=I
則我們稱B是A的逆矩陣，而A則被稱為可逆矩陣。

示例：

偽逆：對于非方陣、奇異陣(是方陣，但是行列式為0)、非滿秩矩陣(rank(A) ~= n)是不存在逆矩陣的；但是可以去定義一個偽逆矩陣pinv()。

行列式

矩陣行列式是指矩陣的全部元素構(gòu)成的行列式。排成 n 階方陣形式的 n^2 個數(shù)所確定的一個數(shù)稱為 n 階方陣 A 的行列式，記為：det(A) 或 |A|

一個 2x2 的矩陣的行列式可表示為：

范數(shù)(norm)

簡單來說，用來度量某個向量空間(或矩陣)中的每個向量的長度或大小。

條件數(shù)(cond)

矩陣A的條件數(shù)等于A的范數(shù)與A的逆的范數(shù)的乘積，即cond(A)=‖A‖·‖A^(-1)‖，是判斷矩陣病態(tài)與否的一種度量，條件數(shù)越大矩陣越病態(tài)。(條件數(shù)同時描述了矩陣 A 對向量的拉伸能力和壓縮能力，換句話說，令向量發(fā)生形變的能力。條件數(shù)越大，向量在變換后越可能變化得越多。)

示例：

2.2 矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)

轉(zhuǎn)置(.')

共軛轉(zhuǎn)置(')

旋轉(zhuǎn)(rot90(A, k))

左右翻轉(zhuǎn)(fliplr)

上下翻轉(zhuǎn)(flipud)

3.矩陣求值

3.1行列式求值(det)

3.2 矩陣的秩與跡

3.3向量和矩陣的范數(shù)

3.4 矩陣的條件數(shù)

4.矩陣特征值與特征向量(eig)

5.稀疏矩陣

5.1區(qū)分稀疏矩陣(含極大量0元素的矩陣) 和 采用稀疏方式存儲的矩陣

5.2稀疏存儲方式的產(chǎn)生(sparse)

5.3與稀疏矩陣操作相關(guān)的函數(shù)

find()

full()

spconvert()

spdiags()

5.4稀疏矩陣應(yīng)用實例