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💡本期內(nèi)容：前面介紹的各種模型都是有監(jiān)督的模型，對(duì)于無(wú)監(jiān)督，最經(jīng)典的就是聚類算法，本文就來(lái)介紹一下主要的聚類方法。

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1 聚類算法分析概述

近幾年，隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，越來(lái)越多的人開始習(xí)慣于在網(wǎng)上找信息，而網(wǎng)絡(luò)也逐漸地走進(jìn)了人們的日常生活。從人們每天都會(huì)接觸到大量的數(shù)據(jù)，比如文字、音樂(lè)、圖像、視頻等等。隨著信息的增多，人工智能應(yīng)運(yùn)而生。而在人工智能這個(gè)概念中，機(jī)器學(xué)習(xí)尤為重要，是實(shí)現(xiàn)人工智能的基礎(chǔ)。機(jī)器學(xué)習(xí)，就是讓計(jì)算機(jī)具有人一樣的學(xué)習(xí)能力的技術(shù)，對(duì)當(dāng)前和歷史的海量數(shù)據(jù)進(jìn)行挖掘、分析，并從中發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的信息和規(guī)律。

隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的來(lái)臨，數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)逐漸成為一種通用的業(yè)務(wù)方式，并推動(dòng)了機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)的快速發(fā)展。2021年，我國(guó)電商交易額為42.30萬(wàn)億元，較上年同期增加了19.6%。在電商和其他行業(yè)中，要想獲得更好的用戶體驗(yàn)，就必須要對(duì)新用戶進(jìn)行類型的識(shí)別，這時(shí)，就可以將新用戶進(jìn)行聚類，將其分成多個(gè)簇，之后再以獲得的結(jié)果為依據(jù)，來(lái)訓(xùn)練分類模型，進(jìn)而判別新用戶的類型。但是傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)已經(jīng)不能適應(yīng)海量的數(shù)據(jù)，K-Means聚類算法依賴其較簡(jiǎn)單的推導(dǎo)過(guò)程和實(shí)用、簡(jiǎn)單和高效的特性等廣受青睞，在很多領(lǐng)域有巨大的貢獻(xiàn)，例如：文檔聚類、市場(chǎng)細(xì)分、圖像分割、特征學(xué)習(xí)等。在非監(jiān)督學(xué)習(xí)領(lǐng)域，K均值聚類是最廣泛的，也是研究最多，應(yīng)用最廣泛的。而在聚類算法中，最常見的就是原型聚類（也稱原型判別），以K均值算法為代表。

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2 K-Means聚類算法

給定或隨機(jī)產(chǎn)生m個(gè)樣本的樣本集。為了描述每個(gè)示例（即樣本），我們給出了這樣一個(gè)假設(shè)：每個(gè)示例具有d個(gè)屬性來(lái)描述，這些屬性反映了它與其他示例的關(guān)系，即每個(gè)示例是d維樣本空間中的一個(gè)向量。

K-Means算法的基本思想是：將數(shù)據(jù)集按照距離進(jìn)行劃分，對(duì)于每一個(gè)樣本，將它的鄰域內(nèi)的所有樣本都分配到最近的那個(gè)類中。

首先，算法需要預(yù)先指定并且劃分為k個(gè)簇，這也是與其他算法的不同點(diǎn)。在這里定義簇的均值向量為：

基于此，定義簇內(nèi)樣本圍繞簇均值向量的緊密程度[13]，即平方誤差為：

E的值越小則簇內(nèi)樣本相似度越高，K-Means算法就是通過(guò)通過(guò)最小化SSE來(lái)尋找使得模型預(yù)測(cè)誤差最小的模型參數(shù)。

3 K-Means參數(shù)概念及公式推導(dǎo)

3.1 平方誤差（Sum of Squared Errors）

在聚類分析中，平方誤差（Sum of Squared
Errors，SSE）是一種衡量聚類效果的指標(biāo)。聚類算法將數(shù)據(jù)點(diǎn)分配到不同的簇中，每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與它所屬的簇的質(zhì)心之間的距離被計(jì)算出來(lái)，然后平方，最后這些平方距離的和被稱為平方誤差。

具體來(lái)說(shuō)，對(duì)于每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)xi和它所屬的簇ci的質(zhì)心，平方誤差會(huì)計(jì)算為(xi - ci)^2。然后，所有簇的平方誤差會(huì)相加，得到總的平方誤差。這個(gè)值越小，說(shuō)明每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與它所屬的簇的質(zhì)心之間的距離越小，也就是聚類效果越好。

這個(gè)概念可以用于評(píng)估和優(yōu)化聚類算法。比如在K-means算法中，初始質(zhì)心的選擇可能會(huì)影響聚類結(jié)果。K-means++ 算法通過(guò)讓選擇的質(zhì)心盡可能分散來(lái)改善這個(gè)問(wèn)題。另外，二分K-means算法則通過(guò)反復(fù)將一個(gè)簇劃分為兩個(gè)簇，直到達(dá)到用戶給定的簇?cái)?shù)目為止。在這個(gè)過(guò)程中，被劃分出去的總是誤差平方和最大的簇，因?yàn)檫@通常意味著這個(gè)簇的聚類效果最不好。

3.2 歐氏距離（euclidean metric）

也被稱為歐幾里得度量，是一個(gè)經(jīng)常使用的在m維空間中兩點(diǎn)之間的距離定義，或者向量的自然長(zhǎng)度，即該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。在二維和三維空間中的歐氏距離就是兩點(diǎn)之間的實(shí)際距離。

在聚類分析中，歐氏距離是常用的距離度量方式之一。它表示的是在n維空間中，兩個(gè)點(diǎn)之間的直線距離。

具體計(jì)算公式為：

其中，x和y是兩個(gè)n維向量，x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn是它們的對(duì)應(yīng)維度上的值。

在應(yīng)用方面，歐氏距離經(jīng)常被用于衡量數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的相似度，數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離越小，說(shuō)明它們?cè)较嗨?。例?#xff0c;在客戶分群中，可以使用該算法將相似行為模式的客戶歸類到同一簇中，以便進(jìn)行個(gè)性化推薦和精準(zhǔn)營(yíng)銷。在圖像分析中，可以使用該算法將相似的圖像歸類到同一簇中，以便進(jìn)行圖像檢索和內(nèi)容識(shí)別。

• 缺點(diǎn)

例如，它對(duì)數(shù)據(jù)的尺度敏感，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，以避免尺度差異對(duì)聚類結(jié)果的影響。此外，它只考慮了數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離，沒(méi)有考慮到數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的方向關(guān)系，因此在處理某些特殊數(shù)據(jù)集時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)聚類效果不佳的情況。

3.3 輪廓系數(shù)（Silhouette Coefficient）

輪廓系數(shù)（Silhouette Coefficient）是一種用于評(píng)估聚類效果的指標(biāo)，它考慮了聚類中的內(nèi)聚度和分離度。

輪廓系數(shù)的計(jì)算涉及到每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)和其所屬簇內(nèi)其他數(shù)據(jù)點(diǎn)的距離，以及該數(shù)據(jù)點(diǎn)與其他簇的距離。具體而言，對(duì)于每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，其輪廓系數(shù)被定義為：s = (b - a) / max(a, b)，其中a是數(shù)據(jù)點(diǎn)與其同簇其他數(shù)據(jù)點(diǎn)的平均距離，b是數(shù)據(jù)點(diǎn)與其他簇的平均距離。

輪廓系數(shù)計(jì)算公式如下：

根據(jù)輪廓系數(shù)的定義，si接近1時(shí)，說(shuō)明樣本i聚類合理；si接近-1時(shí)，說(shuō)明樣本i更應(yīng)該分類到另外的簇；若si近似為0，則說(shuō)明樣本i在兩個(gè)簇的邊界上。所有樣本的si的均值稱為聚類結(jié)果的輪廓系數(shù)，是該聚類是否合理、有效的度量。

• 優(yōu)點(diǎn)

它可以用于處理不等簇大小的情況，因?yàn)樗紤]了每個(gè)樣本點(diǎn)與其他簇的平均距離。

輪廓系數(shù)的值域?yàn)閇-1,1]，方便理解和使用。

• 局限性

它對(duì)異常值比較敏感，可能會(huì)受到離群點(diǎn)的影響。

3.4 DB指數(shù)（Davies-Bouldin Index）

DB指數(shù)（Davies-Bouldin Index）是一種用于評(píng)估聚類效果的內(nèi)部指標(biāo)。它考慮了每個(gè)簇內(nèi)的樣本點(diǎn)的緊密程度以及不同簇之間的分離度。

DB指數(shù)的計(jì)算方法如下：

1. 對(duì)于每個(gè)簇Ck，計(jì)算其內(nèi)部樣本點(diǎn)之間的平均距離avg(Ck)。
2. 對(duì)于每個(gè)簇Ck，計(jì)算其與其它簇之間的最小樣本距離dmin(Ck, Cj)。
3. 對(duì)于每個(gè)簇Ck，計(jì)算其中心點(diǎn)與其它簇中心點(diǎn)之間的距離dcen(Ck, Cj)。
4. 計(jì)算DB指數(shù)，公式為：DBI=k1i=1∑kmaxj??=i?(dcen(ui,uj)avg(Ci)+avg(Cj)?)。

DB指數(shù)的值越小，說(shuō)明聚類效果越好。這是因?yàn)?strong>DB指數(shù)衡量的是不同簇之間的分離度和簇內(nèi)的緊密程度之間的平衡，當(dāng)DB指數(shù)越小，說(shuō)明聚類效果越好。

• 缺點(diǎn)

DB指數(shù)對(duì)于異常值比較敏感，因?yàn)楫惓Ｖ悼赡軙?huì)影響簇內(nèi)樣本點(diǎn)的平均距離的計(jì)算。

此外，DB指數(shù)也可能會(huì)受到樣本規(guī)模的影響，因?yàn)闃颖疽?guī)模的增加可能會(huì)增加計(jì)算量，從而影響聚類效果的評(píng)價(jià)。

DB指數(shù)在計(jì)算過(guò)程中需要知道真實(shí)標(biāo)簽信息，因此常常被用作無(wú)監(jiān)督聚類算法的評(píng)價(jià)指標(biāo)，在比較不同算法或不同參數(shù)設(shè)置時(shí)提供了重要的幫助。

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4 K-Means聚類算法的實(shí)現(xiàn)

K-Means聚類算法的基本原理是，針對(duì)聚類簇劃分，最小化平方誤差。平方誤差在一定程度上描述了簇內(nèi)樣本點(diǎn)圍繞簇均值向量的緊密程度，它的值越小說(shuō)明聚類效果越好。

4.1 算法流程

• 從數(shù)據(jù)中選擇K個(gè)對(duì)象作為初始聚類中心。
• 計(jì)算每個(gè)聚類對(duì)象到聚類中心的距離，將每個(gè)對(duì)象歸到距離最近的聚類中心所對(duì)應(yīng)的類別。
• 對(duì)于每個(gè)聚類，計(jì)算其所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的均值，作為新的聚類中心。
• 如果聚類中心發(fā)生變化，返回第2步；否則算法結(jié)束。
• 整個(gè)算法會(huì)反復(fù)迭代第2步至第4步，直到聚類中心不再發(fā)生變化或達(dá)到最大迭代次數(shù)為止。最終，算法將會(huì)得到聚類結(jié)果，將每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)劃分到不同的聚類中心所對(duì)應(yīng)的類別中。

4.2 算法的偽代碼描述

K-Means聚類算法的執(zhí)行效果如下圖所示：

4.3 算法優(yōu)缺點(diǎn)

• 優(yōu)點(diǎn)
  首先，此算法容易理解、方便實(shí)現(xiàn)，其次，K均值算法可以看作高斯混合聚類在混合成分方差相等、且每個(gè)樣本僅派給一個(gè)混合成分時(shí)的特例，所以該算法在數(shù)據(jù)集近似高斯分布時(shí)，聚類效果不錯(cuò)。同時(shí)，該算法可以處理大規(guī)模數(shù)據(jù)集，效率高。

• 缺點(diǎn)
  但是，缺點(diǎn)也很顯然。K值和初始聚類點(diǎn)的選取對(duì)于聚類的效果可能產(chǎn)生較大的影響，其次，樣本點(diǎn)的離散程度可能對(duì)于聚類影響有較大的差別，特別是離群點(diǎn)的處理問(wèn)題。由于K-Means聚類算法只能使用歐氏距離進(jìn)行計(jì)算，所以只能較好的適用于橢球形類簇，對(duì)于非凸形狀的簇不適合。K-Means算法只能處理數(shù)值型數(shù)據(jù)，對(duì)于非數(shù)值型數(shù)據(jù)需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換才能使用。最后，由于此算法的時(shí)間復(fù)雜度為$O(nkt)$，所以在大規(guī)模數(shù)據(jù)上收斂較慢甚至引起崩潰。