一、為什么做相機標定？

標定是為了得到相機坐標系下的點和圖像像素點的映射關(guān)系，為攝影幾何、計算機視覺等應(yīng)用做準備。

二、為什么需要張正友標定法？

張正友標定法使手工標定相機成為可能，使相機標定不再需要精密的設(shè)備幫助。但內(nèi)參標定的精度卻需要依賴采集數(shù)據(jù)的質(zhì)量。精度不如專業(yè)設(shè)備的結(jié)果，不過在日?？蒲械葘纫蟛皇欠浅８叩念I(lǐng)域足夠滿足。

三、為什么張正友使手工標定相機成為可能？

我們先思考一個問題，以針孔模型為例相機標定需要那些參數(shù)：

內(nèi)參：fx fy cx cy k1 k2?p1 p2；

外參：R t。

假如我們用n張圖像來標定相機的話，我們需要求解8 +（3 + 3）x n = 6n + 8個參數(shù)。求解這么多參數(shù)需要使用最優(yōu)化。構(gòu)建目標函數(shù)：

其中為圖像上角點，為投影點。

我們知道優(yōu)化問題最害怕的就是遇到局部最優(yōu)，導(dǎo)致優(yōu)化后的結(jié)果和真實值相差較大。為了解決局部最優(yōu)，最好的方法是提供較為準確的初值，這就是張正友標定法最重要的作用。通過正交矩陣性質(zhì)計算出不考慮畸變的相機內(nèi)參和外參初值，然后利用最優(yōu)化的方法，便可以得到精確的內(nèi)參。

四、如何推導(dǎo)？

已知相機成像過程：世界坐標系->相機坐標系->相機坐標系->像素坐標系?？梢杂孟旅婀矫枋?#xff1a;

其中M為世界坐標系點，R t為世界坐標系到相機坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移量，A為相機內(nèi)參矩陣，s為比例系數(shù)。

將具體數(shù)值代入公式可以獲得：

其中r為R矩陣的列向量。已知世界坐標系在實際中選取為標定板坐標系，因此世界坐標系下點的Z值為零，因此可以進一步化簡。

由于相機圖像和標定板都是平面，兩個平面上坐標的對應(yīng)關(guān)系就可以利用單應(yīng)矩陣。因此可以引入單應(yīng)矩陣H：

用列向量表示H得：

由旋轉(zhuǎn)矩陣是正交矩陣可以得到兩條性質(zhì)：列向量兩兩正交，且列向量是單位向量，因此可以得到：

因此可以用B表示:

將B代入上式并展開得到：

其中：

最后得到：

到現(xiàn)在，需要先求解H矩陣，然后利用H矩陣求解B矩陣。已知H矩陣有八個未知數(shù)（約去比例系數(shù)，使矩陣最后一項為1），利用下面公式，一對對應(yīng)點可以提供兩個約束，因此需要四個點可以求出單應(yīng)矩陣H；

有了H矩陣值后可以得到值，已知B是對稱矩陣因此有六個未知數(shù)，每個單應(yīng)矩陣H可以提供兩個約束，所以求解B最少需要三個不同的單應(yīng)矩陣，也就是三個不同視角的標定圖像。

求出B后便可以求解內(nèi)參矩陣A，再得到A后利用下面公司便可以求出外參矩陣R和t:

至此便得到了相機內(nèi)參的初值和不同標定圖像外參的初值，然后再利用上面提到的目標函數(shù)進行最優(yōu)化得到最后標定的內(nèi)參。

總結(jié)：

1.張正友標定法最重要的地方是計算出了相機內(nèi)參和外參的數(shù)值解，然后作為初始值代入的優(yōu)化函數(shù)，解決了局部最優(yōu)化的問題，使手工標定相機內(nèi)參成為可能。

2.由于相機標定數(shù)據(jù)是手工采集，因此相機內(nèi)參標定的精度取決于數(shù)據(jù)質(zhì)量。涉及標定板選取和采集圖像的注意事項，后續(xù)文章會介紹如何采集圖像。

3.由于相機內(nèi)外參在投影過程具有耦合關(guān)系，所以在優(yōu)化時外參結(jié)果不準確也會影響內(nèi)參結(jié)果，導(dǎo)致重投影誤差很小但是得到的相機內(nèi)參誤差較大。

4.在需要精確內(nèi)參標定結(jié)果時推薦使用相機廠商標定結(jié)果，在專業(yè)相機內(nèi)參標定時，利用機械臂抓住相機在特定位置進行采圖。相機外參有非常準確的初值，在優(yōu)化時可以得到非常高的內(nèi)參精度。