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問題：
- 我們每天用的鐘表，其實(shí)只有1~12這12個(gè)數(shù)字，但我們?nèi)粘?huì)說13點(diǎn)、17點(diǎn)之類的。
問：13點(diǎn)在鐘表上哪個(gè)位置？
答：很簡(jiǎn)單嘛，1點(diǎn)的位置。
你不覺得奇怪嗎，為啥13點(diǎn)會(huì)和1點(diǎn)在同一個(gè)位置？換言之，13和1有啥關(guān)系，17和5有啥關(guān)系？ - 計(jì)算機(jī)里為啥要用加法替代減法？
- 當(dāng)然是加法電路設(shè)計(jì)比減法電路設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單了，加法電路詳見CPU之圖解算數(shù)邏輯單元ALU
- 怎么用加法替代減法？
一、基本概念
1.0、余數(shù)(remainder)
在算術(shù)中，當(dāng)兩個(gè)整數(shù)相除的結(jié)果不能以整數(shù)商表示時(shí)，余數(shù)便是其“余留下的量”。當(dāng)余數(shù)為零時(shí)，被稱為整除。
即：被除數(shù) / 除數(shù) = 商……余數(shù)，用數(shù)學(xué)表示：
a = qd + r, 0 <= r < d，其中a為被除數(shù)，q為商(quotient)，d為除數(shù)(divisor)，r為余數(shù)(remainder)。
舉例：當(dāng)除數(shù)為4時(shí)，任何正數(shù)除以4時(shí)，余數(shù)總在0, 1, 2, 3中；
0 / 4 = 0 …… 0
1 / 4 = 0 …… 1
2 / 4 = 0 …… 2
3 / 4 = 1 …… 3
4 / 4 = 1 …… 0
5 / 4 = 1 …… 1
6 / 4 = 1 …… 2
7 / 4 = 1 …… 3
8 / 4 = 2 …… 0
……
如上，被除數(shù)從0開始遞增時(shí)，余數(shù)會(huì)在0, 1, 2, 3中一直循環(huán)下去，這就是同余
現(xiàn)在我們考慮除數(shù)為10時(shí)，則余數(shù)在0~9這10個(gè)數(shù)字中出現(xiàn)；把這10個(gè)數(shù)字同樣置于圓盤中，如上圖所示。
在0-9這10個(gè)數(shù)字的圓盤中，再也不會(huì)有其它數(shù)字了，也就是我們限定了我們的數(shù)字范圍為0~9，數(shù)字個(gè)數(shù)(記為模)為10。
給定圓盤上任一個(gè)數(shù)字作為起始點(diǎn)（記為 src），任一個(gè)數(shù)字為 終止點(diǎn)（記為dest），我們考慮從src出發(fā)，如何到達(dá)dest，可以 前進(jìn)（記為 + ），可以后退（記為 - ）。
舉例：
src = 3，dest = 4;
- 前進(jìn)1步（+1），即 3 + 1 = 4；
- 后退9步（-9）， 即 3 - 9 = 4；
src = 3，dest = 3;
- 前進(jìn)0步（+0），即 3 + 0 = 3；
- 后退(9+1)步（-(9+1)）， 即 3 - ( 9 + 1) = 4；// 因?yàn)槲覀兿薅藬?shù)字范圍為0~9，所以寫成（9 + 1）
src = 5，dest = 9;
- 前進(jìn)4步（+4），即 5 + 4 = 9；
- 后退6步（-6）， 即 5 - 6 = 9；
通過上面的例子，發(fā)現(xiàn)了嗎？
- 對(duì)于確定的起止點(diǎn)（如src = 3，dest = 4），不管前進(jìn)或者后退，我們都可以到達(dá)，也就是說前進(jìn)（1步）等價(jià)于后退（9步），
- 前進(jìn)步數(shù)和后退步數(shù)之和為模（10），模意味著啥？
- 模意味著走了一圈，一個(gè)輪回，起點(diǎn)走一圈，又回到了起點(diǎn)
1.1、補(bǔ)數(shù)(complement)
定義：對(duì)于給定的進(jìn)位制，相加后能使自然數(shù) a 的位數(shù)增加 1 的最小的數(shù)。
說人話：就是前面前進(jìn)和后退的步數(shù)等價(jià)的組合（如1和9、2和8、3和7、4和6），也即可以組成模（如10）的組合。
即：
當(dāng) a = 1時(shí)，a只有1位數(shù)字（即個(gè)位）要想將a變成2（1+1）位數(shù)字10（十位、個(gè)位），需要增加9。
所以 9是1的補(bǔ)數(shù)；當(dāng)然1也是9的補(bǔ)數(shù)，即1、9互為補(bǔ)數(shù)；
同理：2、8互為補(bǔ)數(shù)；
3、7互為補(bǔ)數(shù)；
4、6互為補(bǔ)數(shù)；
問： 36的補(bǔ)數(shù)是多少？
答：64
根據(jù)上面定義，我們知道對(duì)于整數(shù)a，a的補(bǔ)數(shù) = 模 - a（a>=0）;
補(bǔ)數(shù)有啥用？
還是回到之前我們0~9這10個(gè)數(shù)字的圓盤上來，我們來算小學(xué)生都會(huì)的10以內(nèi)的加減法：
一頓操作猛如虎，一看結(jié)果：直呼OMG,
正如上圖所示：減掉一個(gè)數(shù)，等價(jià)于加上這個(gè)數(shù)的補(bǔ)數(shù)。
這里有個(gè)重要的前提：數(shù)字是有范圍的（上面我們限定了0~9這10個(gè)數(shù)字）
1.2、減法
根據(jù)我們上面的結(jié)論：當(dāng)數(shù)字是有范圍的，則對(duì)于這個(gè)范圍內(nèi)的數(shù)字，減掉一個(gè)數(shù)，等價(jià)于加上這個(gè)數(shù)的補(bǔ)數(shù)，我們可以用加法替代減法，進(jìn)一步：減去一個(gè)正數(shù)相當(dāng)于加上這個(gè)正數(shù)對(duì)應(yīng)的負(fù)數(shù)。
還是回到我們前面提到的圓盤上來，我們把這條結(jié)論實(shí)踐下：
- 我們先在坐標(biāo)軸上標(biāo)出0~9這10個(gè)數(shù)字范圍，然后移動(dòng)這個(gè)范圍框，使框內(nèi)正負(fù)數(shù)個(gè)數(shù)大致相等，如下圖所示，數(shù)字范圍變成了
-5 ~ 4這10個(gè)數(shù)字。
- 將坐標(biāo)軸上的數(shù)字范圍同步映射到圓盤上。
- 此時(shí)，圓盤上數(shù)字的運(yùn)算可以用圓盤外相對(duì)應(yīng)的數(shù)字進(jìn)行替代，即圓盤上的數(shù)字范圍已經(jīng)改變了，由之前的0 ~ 9 變成了現(xiàn)在的 -5 ~ 4 。
1.3、補(bǔ)碼
看到這里，不知道你是否認(rèn)可前面的推導(dǎo)結(jié)論？
不認(rèn)可？不認(rèn)可就對(duì)了。聰明的你一定發(fā)現(xiàn)了上面的計(jì)算的問題：
1 - 5 = -4，在我們映射后變成了 1 + 5 = 6 但 -4 不等于 6？雖然圓盤上6確實(shí)對(duì)應(yīng)**-4**，但我們需要的是正確的結(jié)果-4，怎么將6轉(zhuǎn)換成-4?
- 好了，為了后面好敘述，我們先給實(shí)際求值結(jié)果記為原碼，映射后的結(jié)果記為補(bǔ)碼。我們先分析下實(shí)際的求值結(jié)果和映射后的結(jié)果：
- 發(fā)現(xiàn)原碼為0和正數(shù)時(shí)，補(bǔ)碼正確，即原碼為0和正數(shù)時(shí)，原碼等于補(bǔ)碼；
- 原碼為負(fù)數(shù)時(shí)，補(bǔ)碼錯(cuò)誤，即原碼為負(fù)數(shù)時(shí)，原碼不等于補(bǔ)碼。
問題來了？原碼為負(fù)數(shù)時(shí)，補(bǔ)碼（如6）怎么轉(zhuǎn)換成原碼（如-4）？
答: 謎底就在謎面上，你直接看圓盤不就好了，圓盤上都標(biāo)注了，圓盤內(nèi)外側(cè)的數(shù)字就是我們?cè)a和補(bǔ)碼的映射表。
問題又來了？圓盤上的映射怎么來的？
答：通過補(bǔ)數(shù)變換得到的，即原碼為負(fù)數(shù)時(shí)，補(bǔ)碼 + |原碼| = 模，也即原碼為負(fù)數(shù)時(shí)，補(bǔ)數(shù) + |原碼| = 模，在1.1小節(jié)中，我們提到了 a的補(bǔ)數(shù) = 模 - a（a>=0）;，
綜上：原碼為負(fù)數(shù)時(shí)，補(bǔ)碼 + |原碼| = 模
二、 二進(jìn)制里的花花世界
宏觀世界搞定了，看看微觀世界，十進(jìn)制搞完了，看看二進(jìn)制。
二進(jìn)制我們以1Byte(8bit)研究，1 Byte 可以表示256個(gè)數(shù)（28），即模為256
2.1 原碼
1 Byte 范圍的內(nèi)數(shù)字為0~255這256個(gè)數(shù)字。將其置于圓盤上如下：
2.2 補(bǔ)碼
- 調(diào)整數(shù)字范圍使其映射到 -128~127 這256個(gè)數(shù)字：
- 調(diào)整圓盤范圍，即原碼寫到圓盤上，補(bǔ)碼寫到圓盤外，如下：
2.3 補(bǔ)碼和原碼轉(zhuǎn)換
原碼和補(bǔ)碼怎么轉(zhuǎn)換呢？
通過1.3節(jié)，我們知道如下結(jié)論：
- 原碼為0和正數(shù)時(shí)，原碼等于補(bǔ)碼
- 原碼為負(fù)數(shù)時(shí)，補(bǔ)碼 + |原碼| = 模
- 還記得我們?cè)?.3 小節(jié) 文末得到的結(jié)論嗎？原碼為負(fù)數(shù)時(shí)，補(bǔ)碼 + |原碼| = 模，我們變換下這個(gè)等式，即原碼為負(fù)數(shù)時(shí)，補(bǔ)碼 = 模 - |原碼|，按照公式我們計(jì)算下：
至此，二進(jìn)制的原碼和補(bǔ)碼轉(zhuǎn)換我們也已搞定，即： - 原碼為0和正數(shù)時(shí)，原碼等于補(bǔ)碼
- 原碼為負(fù)數(shù)時(shí)，補(bǔ)碼 = 模 - |原碼|
2.4 反碼
不知道你繞暈了嗎？還記得我們的初心嗎？怎么用加法替代減法？
2.3 節(jié)說原碼為負(fù)數(shù)時(shí)，補(bǔ)碼 = 模 - |原碼|，這玩呢？前面這么多推理就是想用加法替代減法，結(jié)果搞了半天回到了原點(diǎn)，還使得計(jì)算減法，自己替代自己?jiǎn)?#xff1f;替代了個(gè)寂寞……
不急，稍安勿躁，且聽下面道來。
2.4.1 模
細(xì)想下 ：補(bǔ)數(shù)的定義，使得當(dāng)前數(shù)的位數(shù)增加1位：
- 假設(shè)二進(jìn)制下，當(dāng)前為8位，問要使得增加的數(shù)最小時(shí)，怎么才能使得位數(shù)增加1位呢，即由原來的8位變成9位？
答：增加的數(shù)為1時(shí)最小，此時(shí)當(dāng)前8位數(shù)達(dá)到了最大，那就是
0b 1111 1111，即0b 1111 1111+0b 0000 0001=0b 1 0000 0000
- 所以我們找到了二進(jìn)制8位數(shù)即將跳變成9位的臨界值，即當(dāng)前8位數(shù)的最大值
0b 1111 1111； - 二進(jìn)制時(shí)，一個(gè)數(shù)變成最大的最快方式，當(dāng)然是加上該數(shù)按位取反后的值。即
0b 1111 1111-0b 0000 0001=0b 1111 1110，看到了嗎，0b 1111 1110正好等于0b 0000 0001按位取反的值，那就叫它反碼吧，即原碼為負(fù)數(shù)時(shí)，反碼為原碼數(shù)據(jù)位按位取反，注意這里是數(shù)據(jù)位，最高位為符號(hào)位“為使得定義一致和完整，我們補(bǔ)充：原碼為0和正數(shù)時(shí)，原碼等于反碼。
- 我們來求下 模
- 如上圖所示，原碼為負(fù)數(shù)時(shí)，模 (256) = 8bit最大值 + 1 ， 8bit最大值 = 原碼的絕對(duì)值 + 反碼，結(jié)合之前的 原碼為負(fù)數(shù)時(shí)，補(bǔ)碼 = 模 - |原碼| 得到：
至此，1 Byte 的數(shù)據(jù)我們通過補(bǔ)碼的形式用加法替代了減法。計(jì)算機(jī)語言內(nèi)的整數(shù)類型比如java的int (4Byte)、long(8Byte)都是如此。
三、總結(jié)
為了使用加法替代加法，我們先后引入了補(bǔ)數(shù)、模、原碼、補(bǔ)碼、反碼等概念：
- 圓盤代表數(shù)字是有范圍的，該范圍的大小即為模，并且會(huì)首尾相連。計(jì)算機(jī)1 Byte、4Byte、8Byte天然會(huì)限定數(shù)據(jù)的范圍。數(shù)據(jù)范圍限定后，數(shù)據(jù)一直累計(jì)下去一定會(huì)產(chǎn)生數(shù)據(jù)溢出（即進(jìn)位丟失），從而結(jié)束當(dāng)前輪回，開始下一輪回；
- 圓盤內(nèi)的數(shù)字是原碼，圓盤外的數(shù)字是補(bǔ)碼，補(bǔ)碼也是模內(nèi)的無符號(hào)整數(shù)。注意，反碼 + 1只是求得補(bǔ)碼的一種方式，并非補(bǔ)碼的定義；
- 原碼為0和正數(shù)時(shí)，原碼等于反碼等于補(bǔ)碼；
- 原碼為負(fù)數(shù)時(shí)，反碼為原碼數(shù)據(jù)位按位取反。