一、說明

?? 以下文章介紹了用 C++ 計算和繪制的貝塞爾曲線（2D 和 3D）。
?? 貝塞爾曲線具有出色的數(shù)學(xué)能力來計算路徑（從起點到目的地點的曲線）。曲線的形狀由“控制點”決定。所討論的曲線最重要的特征是平滑度。
?? 在許多應(yīng)用和領(lǐng)域中，平滑度是不可或缺的。我們可以考慮機器人或其他機器的運動，其中運動必須是可預(yù)測的，以確保人員和硬件的安全（低磨損系數(shù)）。當(dāng)機器人關(guān)節(jié)的軌跡被計算為平滑路徑時，我們可以假設(shè)機器人將按照規(guī)劃的路徑平滑地移動，不會出現(xiàn)急動或意外移動。請注意，在我們考慮的機器人技術(shù)中，除了路徑之外，還有速度、加速度、沖擊力和電機扭矩。所有這些參數(shù)主要影響最終路徑。
?? 除了機器人技術(shù)之外，貝塞爾曲線還用于動畫、游戲和設(shè)計。

?? 為了繪圖的目的，我將使用我之前的文章中討論過的 C++ 的 matplotlib 庫。
?? 頭文件（用于繪圖庫）必須與您的 cpp 位于同一文件夾中。您的程序可以按如下方式編譯，

?//compile
g++ my_prog.cpp -o my_prog -I/usr/include/python3.8 -lpython3.8// 
//run
./my_prog
//folder tree
├── my_prog
├── my_prog.cpp
├── matplotlibcpp.h

?

二、貝塞爾曲線特征

?? 可以計算點集的貝塞爾曲線： { P0, P1, P2 …Pn}，其中n定義我們建模的曲線（多項式）的階數(shù)。在每種情況下，第一個點和最后一個點定義曲線的起點和終點的位置。其他點 - 控制點通常不屬于計算的曲線，而是影響貝塞爾曲線的形狀。

?? 2D中的每個點P都有兩個{x,y}笛卡爾坐標(biāo)，但在3D中，點P按預(yù)期由三個{x, y, z}定義。

?? 貝塞爾曲線的顯式定義可以指定如下（我們將在模擬中使用這個公式）。

這里

?? 是二項式系數(shù)。

?? 在我們的例子中，二項式系數(shù)的計算如下（如果您查看維基百科，您會發(fā)現(xiàn)遞歸實現(xiàn)，但這是最簡單的版本或更直觀）。

?? C++ 中的實現(xiàn)可以如下所示，

?double computeBinominal(int n, int k)
{double value = 1.0;for (int i = 1; i <= k; i++){value = value * ((n + 1 - i) / i);}if (n == k){value = 1;}return value;
}

?
平面空間中的四個點P 0 、P 1 、P 2 和P 3 定義三次貝塞爾曲線。該曲線可以建模為三階多項式。

當(dāng)提供六個點P 0、P 1、P 2、P 3、P4和P5時，貝塞爾曲線被計算為五階多項式。

三、模擬

?? 現(xiàn)在我們將顯示上面定義的曲線的 2D 和 3D 模擬（針對 4 點和 6 點）。下面的代碼為您提供了計算和繪制您想要的任何數(shù)字點P 的貝塞爾曲線的絕佳機會。

x{2.5, 1.5, 6.0, 10.0}; 
y{0.5, 5.0, 5.0, 0.5};x{2.5, 1.5, 6.0, 10.0}; 
//與 2D y{0.5, 5.0, 5.0, 0.5}相同；
//與 2D z{1.0, 2.0, 3.0, 4.0}相同；X{2.5, 1.5, 6, 10, 7, 3}; 
Y{0.5, 5.0, 5.0, 0.5, 1.0, 2.0};X{2.5, 1.5, 6.0, 10.0, 7.0, 3.0}; // 對于 2D 
Y{0.5, 5.0, 5.0, 0.5, 1.0 , 2.0}; // 對于 2D 
Z{1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 0.1};

對于相同階的多項式（三階），我們可以計算 3D 貝塞爾曲線。

x{2.5, 1.5, 6.0, 10.0}; //same as 2D
y{0.5, 5.0, 5.0, 0.5}; //same as 2D
z{1.0, 2.0, 3.0, 4.0};

這是一條 2D 貝塞爾曲線，它是針對五階多項式（六點）計算的。

X{2.5, 1.5, 6, 10, 7, 3};
Y{0.5, 5.0, 5.0, 0.5, 1.0 , 2.0};

和以前一樣，我們可以繪制 3D 貝塞爾曲線。

X{2.5, 1.5, 6.0, 10.0, 7.0, 3.0}; //as for 2D
Y{0.5, 5.0, 5.0, 0.5, 1.0 , 2.0}; //as for 2D
Z{1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 0.1};

四、全部代碼如下

/// g++ bezier_curve.cpp -o t -I/usr/include/python3.8 -lpython3.8#include <iostream>
#include <vector>
#include <tuple>
#include <math.h>#include "matplotlibcpp.h"namespace plt = matplotlibcpp;//-----------------------------------------------------------std::tuple<std::vector<double>, std::vector<double>> computeBesierCurve2D(std::vector<double> xX, std::vector<double> yY)
{std::vector<double> bCurveX;std::vector<double> bCurveY;double bCurveXt;double bCurveYt;for (double t = 0.01; t <= 1; t += 0.01){bCurveXt = std::pow((1 - t), 3) * xX[0] + 3 * std::pow((1 - t), 2) * t * xX[1] + 3 * std::pow((1 - t), 1) * std::pow(t, 2) * xX[2] + std::pow(t, 3) * xX[3];bCurveYt = std::pow((1 - t), 3) * yY[0] + 3 * std::pow((1 - t), 2) * t * yY[1] + 3 * std::pow((1 - t), 1) * std::pow(t, 2) * yY[2] + std::pow(t, 3) * yY[3];bCurveX.push_back(bCurveXt);bCurveY.push_back(bCurveYt);}return std::make_tuple(bCurveX, bCurveY);
}//-----------------------------------------------------------void plot2D(std::tuple<std::vector<double>, std::vector<double>> data)
{std::vector<double> xX = std::get<0>(data);std::vector<double> yY = std::get<1>(data);plt::plot(xX, yY);plt::show();
}//-----------------------------------------------------------std::tuple<std::vector<double>, std::vector<double>, std::vector<double>> computeBesierCurve3D(std::vector<double> xX, std::vector<double> yY, std::vector<double> zZ)
{std::vector<double> bCurveX;std::vector<double> bCurveY;std::vector<double> bCurveZ;double bCurveXt;double bCurveYt;double bCurveZt;for (double t = 0.01; t <= 1; t += 0.01){bCurveXt = std::pow((1 - t), 3) * xX[0] + 3 * std::pow((1 - t), 2) * t * xX[1] + 3 * std::pow((1 - t), 1) * std::pow(t, 2) * xX[2] + std::pow(t, 3) * xX[3];bCurveYt = std::pow((1 - t), 3) * yY[0] + 3 * std::pow((1 - t), 2) * t * yY[1] + 3 * std::pow((1 - t), 1) * std::pow(t, 2) * yY[2] + std::pow(t, 3) * yY[3];bCurveZt = std::pow((1 - t), 3) * yY[0] + 3 * std::pow((1 - t), 2) * t * yY[1] + 3 * std::pow((1 - t), 1) * std::pow(t, 2) * yY[2] + std::pow(t, 3) * yY[3];bCurveX.push_back(bCurveXt);bCurveY.push_back(bCurveYt);bCurveZ.push_back(bCurveZt);}return std::make_tuple(bCurveX, bCurveY, bCurveZ);
}//-----------------------------------------------------------void plot3Dexample()
{std::vector<double> xX;std::vector<double> yY;std::vector<double> zZ;double theta;double r;double z_inc = 4.0 / 99.0;double theta_inc = (8.0 * M_PI) / 99.0;for (double i = 0; i < 100; i += 1){theta = -4.0 * M_PI + theta_inc * i;zZ.push_back(-2.0 + z_inc * i);r = zZ[i] * zZ[i] + 1;xX.push_back(r * std::sin(theta));yY.push_back(r * std::cos(theta));}plt::plot3(xX, yY, zZ);plt::show();
}//-----------------------------------------------------------void plot3D(std::tuple<std::vector<double>, std::vector<double>, std::vector<double>> data)
{std::vector<double> xX = std::get<0>(data);std::vector<double> yY = std::get<1>(data);std::vector<double> zZ = std::get<2>(data);plt::plot3(xX, yY, zZ);plt::xlabel("x");plt::ylabel("y");plt::set_zlabel("z");plt::show();
}//-----------------------------------------------------------double computeBinominal(int n, int k)
{double value = 1.0;for (int i = 1; i <= k; i++){value = value * ((n + 1 - i) / i);}if (n == k){value = 1;}return value;
}//-----------------------------------------------------------std::tuple<std::vector<double>, std::vector<double>> computeNVertexBasierCurve2D(std::vector<double> xX, std::vector<double> yY)
{std::vector<double> bCurveX;std::vector<double> bCurveY;int n = xX.size() - 1;std::cout << "n :" << n << "\n";for (double t = 0.0; t <= 1.0; t += 0.01){double bCurveXt{0};double bCurveYt{0};for (int i = 0; i <= n; ++i){bCurveXt += computeBinominal(n, i) * std::pow((1 - t), (n - i)) * std::pow(t, i) * xX[i];bCurveYt += computeBinominal(n, i) * std::pow((1 - t), (n - i)) * std::pow(t, i) * yY[i];//std::cout << " t= "<< t<< " i=" << i << " bCurveXt=" << bCurveXt << " = " << computeBinominal(n, i)  << " * " << std::pow((1 - t), (n - i))  << " * " << std::pow(t, i) << " * " << xX[i] << std::endl;}bCurveX.push_back(bCurveXt);bCurveY.push_back(bCurveYt);}return std::make_tuple(bCurveX, bCurveY);
}std::tuple<std::vector<double>, std::vector<double>, std::vector<double>> computeNVertexBasierCurve3D(std::vector<double> xX, std::vector<double> yY, std::vector<double> zZ)
{std::vector<double> bCurveX;std::vector<double> bCurveY;std::vector<double> bCurveZ;int n = xX.size() - 1;std::cout << "n :" << n << "\n";for (double t = 0.0; t <= 1.0; t += 0.01){double bCurveXt{0};double bCurveYt{0};double bCurveZt{0};for (int i = 0; i <= n; ++i){bCurveXt += computeBinominal(n, i) * std::pow((1 - t), (n - i)) * std::pow(t, i) * xX[i];bCurveYt += computeBinominal(n, i) * std::pow((1 - t), (n - i)) * std::pow(t, i) * yY[i];bCurveZt += computeBinominal(n, i) * std::pow((1 - t), (n - i)) * std::pow(t, i) * zZ[i];//std::cout << " t= "<< t<< " i=" << i << " bCurveXt=" << bCurveXt << " = " << computeBinominal(n, i)  << " * " << std::pow((1 - t), (n - i))  << " * " << std::pow(t, i) << " * " << xX[i] << std::endl;}bCurveX.push_back(bCurveXt);bCurveY.push_back(bCurveYt);bCurveZ.push_back(bCurveZt);}return std::make_tuple(bCurveX, bCurveY, bCurveZ);
}//-----------------------------------------------------------int main()
{std::vector<double> xX{2.5, 1.5, 6, 10};std::vector<double> yY{0.5, 5, 5, 0.5};std::vector<double> zZ{1.0, 2.0, 3.0, 4.0};std::tuple<std::vector<double>, std::vector<double>> bCurve2D = computeBesierCurve2D(xX, yY);plot2D(bCurve2D);std::tuple<std::vector<double>, std::vector<double>, std::vector<double>> bCurve3D = computeBesierCurve3D(xX, yY, zZ);plot3D(bCurve3D);std::vector<double> xXn{2.5, 1.5, 6, 10, 7, 3};std::vector<double> yYn{0.5, 5, 5, 0.5, 1.0 , 2.0};std::vector<double> zZn{1, 2, 3, 4, 5, 0.1};std::tuple<std::vector<double>, std::vector<double>> bCurve2DxN = computeNVertexBasierCurve2D(xXn, yYn);plot2D(bCurve2DxN);std::tuple<std::vector<double>, std::vector<double>, std::vector<double>> bCurve3DxN = computeNVertexBasierCurve3D(xXn, yYn, zZn);plot3D(bCurve3DxN);}

?五、資源和下載

下面給出源代碼資源下載鏈接地址：
https://download.csdn.net/download/gongdiwudu/88821722

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