1. 原理介紹

并查集是一種用于維護集合關(guān)系的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它支持合并集合和查詢元素所在的集合。它的基本思想是將元素分組，每個組稱為一個集合，最終目的是實現(xiàn)高效地判斷兩個元素是否在同一集合中。并查集維護的是一棵樹，其中每個節(jié)點代表一個元素，節(jié)點之間的邊表示它們屬于同一個集合。初始時，每個元素都是一個獨立的集合，也就是一棵只有一個節(jié)點的樹。合并兩個集合時，只需要將其中一個集合的根節(jié)點掛在另一個集合的根節(jié)點下面即可。查詢元素所在的集合時，只需要一直向上找到根節(jié)點即可。并查集的時間復(fù)雜度取決于路徑壓縮和按秩合并這兩種優(yōu)化策略。路徑壓縮是指在查詢根節(jié)點的過程中，將路徑上的所有節(jié)點都直接掛在根節(jié)點下面，以減少下次查詢的時間。按秩合并是指在合并兩個集合的時候，將元素個數(shù)少的集合掛在元素個數(shù)多的集合下面，以保持樹的平衡性。

2. 并查集的應(yīng)用

并查集常用于解決圖論中的連通性問題，例如判斷無向圖是否連通，求圖的最小生成樹等。另外，它還可以用于離散化處理等場景。

3. find()函數(shù)的定義與實現(xiàn)

前面在介紹原理的時候說到，并查集的基本思想是將元素分組，每個組稱為一個集合，最終目的是實現(xiàn)高效地判斷兩個元素是否在同一個集合中。而find函數(shù)的作用就是判斷一個元素是否屬于一個組，而所謂的一組實際上就是一棵樹。那么find函數(shù)是如何實現(xiàn)判斷一個元素是否屬于一個組的？原理其實很簡單，其實每個組都會有個代表元（這個代表元通常是更節(jié)點），只要兩個元素?fù)碛泄餐拇碓鼈兙蛯儆谕粋€組。下面我們基于代碼分析一下，find函數(shù)的原理：

public int find(int x) {while (parent[x] != x) {x = parent[x];}return x;
}

在該實現(xiàn)中，我們使用一個while循環(huán)來一直向上查找，直到找到該元素所在組的根節(jié)點為止。在查找的過程中，我們每次都將當(dāng)前元素的父節(jié)點（parent[x])作為下一個元素進(jìn)行查找。當(dāng)找到根節(jié)點時，循環(huán)終止，返回該節(jié)點即可。然而，當(dāng)并查集的規(guī)模比較大時，這種實現(xiàn)的時間復(fù)雜度會很高，為$O(n)$，其中$n$是并查集中元素的總數(shù)。而優(yōu)化后的實現(xiàn)可以將時間復(fù)雜度降低到$O(\alpha (n))$，其中$\alpha$是阿克曼函數(shù)的反函數(shù)，可以認(rèn)為它是一個極小的值，因此可以近似地看作是常數(shù)時間復(fù)雜度。因此，路徑壓縮優(yōu)化對于并查集的性能提升非常顯著。

4. 并查集的join函數(shù)

并查集（Union-Find Set）中的 join() 函數(shù)用于將兩個元素所在的組合并成一個大組，它的實現(xiàn)原理很簡單，即將其中一個元素的根節(jié)點指向另一個元素的根節(jié)點即可。具體來說，它的實現(xiàn)可以分為以下兩個步驟：

• 找到兩個元素所在組的根節(jié)點。我們可以使用并查集中的 find() 函數(shù)來查找兩個元素所在組的根節(jié)點。如果它們的根節(jié)點相同，則說明它們已經(jīng)在同一個組中，不需要再合并了。

• 合并兩個組。如果兩個元素不在同一個組中，則需要將它們所在的組合并成一個大組。具體來說，我們可以將其中一個元素的根節(jié)點指向另一個元素的根節(jié)點，從而將兩個組合并成一個大組。

以下是并查集中 join() 函數(shù)的 Java 代碼實現(xiàn)：

public void join(int x, int y) {int rootX = find(x);int rootY = find(y);if (rootX != rootY) {parent[rootX] = rootY;}
}

其中，parent 是一個數(shù)組，用于存儲每個元素所在組的根節(jié)點。初始時，每個元素的父節(jié)點都是它自己，即 parent[i] = i。在 join() 函數(shù)中，我們首先使用 find() 函數(shù)來找到 x 和 y 所在組的根節(jié)點。如果它們的根節(jié)點相同，說明它們已經(jīng)在同一個組中，不需要再合并了。如果它們的根節(jié)點不同，說明它們不在同一個組中，需要將它們所在的組合并成一個大組。為了實現(xiàn)這一點，我們將其中一個元素的根節(jié)點指向另一個元素的根節(jié)點即可，這里我們選擇將 x 所在組的根節(jié)點 rootX 指向 y 所在組的根節(jié)點 rootY。具體來說，我們可以將 parent[rootX] 的值賦為 rootY，從而將 x 所在組的所有元素的根節(jié)點都指向 y 所在組的根節(jié)點 rootY，從而將兩個組合并成一個大組。需要注意的是，這里的 join() 函數(shù)只是簡單地將其中一個元素的根節(jié)點指向另一個元素的根節(jié)點，并不考慮各組的大小和深度等因素，因此可能會導(dǎo)致并查集出現(xiàn)深度不平衡的情況。針對這個問題，可以使用一些其他的優(yōu)化策略，例如按秩合并和路徑壓縮等，以提高并查集的性能和穩(wěn)定性。

5. 路徑壓縮優(yōu)化算法-優(yōu)化find

前面我們說到，原始的find函數(shù)的查找根節(jié)點的時間復(fù)雜度較高，這里我們考慮將其進(jìn)行優(yōu)化。路徑壓縮是并查集中一種常用的優(yōu)化技術(shù)，它通過修改樹的結(jié)構(gòu)來減少后續(xù)查找所需經(jīng)過的節(jié)點數(shù)量，從而提高并查集的性能。在并查集中，每個元素都有一個父節(jié)點，用于表示它所在的組的根節(jié)點。當(dāng)我們查找一個元素所在的組時，實際上就是在不斷向上查找該元素的父節(jié)點，直到找到根節(jié)點為止。路徑壓縮就是在這個查找的過程中，將沿途經(jīng)過的所有節(jié)點的父節(jié)點直接指向根節(jié)點，從而降低后續(xù)查找所需經(jīng)過的節(jié)點數(shù)量。

具體來說，路徑壓縮的原理可以分為兩個步驟：

• 查找根節(jié)點：我們首先使用遞歸調(diào)用的方式，不斷查找當(dāng)前元素的父節(jié)點，直到找到根節(jié)點為止。在查找過程中，如果當(dāng)前元素的父節(jié)點不是根節(jié)點，那么我們就將其父節(jié)點設(shè)置為下一次查找的元素。

• 路徑壓縮：當(dāng)我們找到根節(jié)點后，就會得到整個樹的結(jié)構(gòu)。此時，為了減少后續(xù)查找所需經(jīng)過的節(jié)點數(shù)量，我們可以將沿途經(jīng)過的所有節(jié)點的父節(jié)點都直接指向根節(jié)點。這個過程可以在遞歸調(diào)用的返回過程中完成，具體來說就是在返回前將當(dāng)前元素的父節(jié)點設(shè)置為根節(jié)點即可。

以下是基于路徑壓縮優(yōu)化的并查集中find()函數(shù)的Java實現(xiàn)：

public int find(int x) {if (parent[x] != x) {parent[x] = find(parent[x]); // 路徑壓縮}return parent[x];
}

6. 路徑壓縮優(yōu)化算法+按秩合并算法

路徑壓縮算法還可以與按秩合并算法結(jié)合起來，以進(jìn)一步提高并查集的性能和穩(wěn)定性。具體來說，可以在每個節(jié)點上增加一個權(quán)值，表示該節(jié)點所在組的大小或深度等信息，從而實現(xiàn)按秩合并算法的功能。在進(jìn)行路徑壓縮的同時，還可以更新節(jié)點的權(quán)值信息，從而保證并查集的平衡性和穩(wěn)定性。在路徑壓縮算法中，為了避免對并查集中所有節(jié)點都進(jìn)行路徑壓縮操作，可能會出現(xiàn)一些節(jié)點的父節(jié)點指向了自己的情況。為了避免這種情況，可以在進(jìn)行路徑壓縮時，同時對節(jié)點進(jìn)行加權(quán)標(biāo)記，表示該節(jié)點已經(jīng)進(jìn)行了路徑壓縮操作。具體來說，可以在 find() 函數(shù)中增加一個參數(shù) compress，表示是否進(jìn)行路徑壓縮，同時在每個節(jié)點上增加一個標(biāo)記 compressed，表示該節(jié)點是否已經(jīng)進(jìn)行了路徑壓縮。修改后的 find() 函數(shù)實現(xiàn)如下：

public int find(int x, boolean compress) {if (parent[x] != x) {if (compress && !compressed[x]) {// 路徑壓縮，并更新節(jié)點的權(quán)值信息parent[x] = find(parent[x], compress);size[x] = size[parent[x]];compressed[x] = true;} else {// 遞歸查找根節(jié)點parent[x] = find(parent[x], compress);}}return parent[x];
}