前言

??Vikor 歸根到底其實(shí)屬于一種綜合評價(jià)方法。說到綜合評價(jià)方法，TOPSIS（結(jié)合熵權(quán)法使用）、灰色關(guān)聯(lián)度分析、秩和比法等方法你應(yīng)該耳熟能詳。Vikor 未必比這些方法更出色，但是可以拓展我們的視野。接下來先介紹 Vikor 方法的原理，再結(jié)合一個(gè)例子使用 Vikor 方法進(jìn)行 Python 建模。

原理

??Vikor 方法是一種基于多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，選擇最好的（折中的）策略的方法。非常類似于 TOPSIS 綜合評價(jià)方法。
??多標(biāo)準(zhǔn)決策（MCDM）問題描述為：現(xiàn)有 $n$ 個(gè)可行方案，每個(gè)方案均有 $m$ 個(gè)指標(biāo)，用 $f_{ij}$ 表示第 $i$ 個(gè)方案的第 $j$ 個(gè)指標(biāo)?，F(xiàn)在要求出多準(zhǔn)則意義上的最佳（折衷）解決方案。例如，現(xiàn)在有 $A_1?A_4$ 四架飛機(jī)（即 $n=4$），每架飛機(jī)有 $m=6$ 個(gè)指標(biāo)，如下表所示，請你選出多準(zhǔn)則意義上最好的飛機(jī)。

飛機(jī)編號(hào)	最大速度	飛行半徑	最大負(fù)載	費(fèi)用	可靠性	靈敏度
$A_1$	$2.0$	$1500$	$20000$	$5500000$	$0.5$	$1$
$A_2$	$2.5$	$2700$	$18000$	$6500000$	$0.3$	$0.5$
$A_3$	$1.8$	$2000$	$21000$	$4500000$	$0.7$	$0.7$
$A_4$	$2.2$	$1800$	$20000$	$5000000$	$0.5$	$0.5$

這是司守奎等的《Python 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與建模》上的一個(gè)例題。

步驟

??Vikor 評價(jià)法的步驟如下：

1. 對每個(gè)指標(biāo) $f_{ij}$ 進(jìn)行處理，使得處理后的指標(biāo)都是極大型指標(biāo)，仍用 $f_{ij}$ 表示。無需歸一化、無量綱化。

極大型指標(biāo)指的是值越大越好的指標(biāo)，如效率、產(chǎn)能、可靠性等，又稱“效益型指標(biāo)”。相對地，極小型指標(biāo)指的是值越小越好的指標(biāo)，如能耗、費(fèi)用等，又稱“成本性指標(biāo)”。還有一類中間型指標(biāo)，其值太大太小都不好，位于一個(gè)區(qū)間才合適，例如人的 BMI。

2. 對每個(gè)指標(biāo)確定正理想解 $f_j^{+}=\underset{1\le i\le n}{\max }(f_{ij})$ ，以及負(fù)理想解 $f_j^{?}=\underset{1\le i\le n}{\min }(f_{ij})$。
3. 對于每個(gè)方案，計(jì)算 $S$ 值（綜合距離，表示方案與正理想解之間的綜合距離）和 $R$ 值（個(gè)體最大距離，表示方案在最不利標(biāo)準(zhǔn)下與正理想解之間的距離）：$$S_i=\sum _{j=1}^m\frac{w_j(f_j^{+}?f_{ij})}{f_j^{+}?f_j^{?}}$$$$R_i=\underset{1\le j\le m}{\max }\left(\frac{w_j(f_j^{+}?f_{ij})}{f_j^{+}?f_j^{?}}\right)$$這里 $w_j$ 是給每個(gè)標(biāo)注取的權(quán)重，默認(rèn)情況下那么都取 $1/m$。
4. 計(jì)算每個(gè)方案的 $Q$ 值，這個(gè)值是綜合所有方案的 $S$ 值與 $R$ 值得出的結(jié)果：$$Q_i=v\times \frac{S_i?S^{+}}{S^{?}?S^{+}}+(1?v)\times \frac{R_i?R^{+}}{R^{?}?R^{+}}$$其中，
   • $S^{+}=\underset{1\le i\le n}{\min }(S_i)$，$S^{?}=\underset{1\le i\le n}{\max }(S_i)$，$R^{+}=\underset{1\le i\le n}{\min }(R_i)$，$R^{?}=\underset{1\le i\le n}{\max }(R_i)$。
   • $v$ 是一個(gè)在 $0$ 到 $1$ 之間的權(quán)重，通常取 $0.5$，表示 $S$ 值和 $R$ 值的平衡。當(dāng) $v>0.5$ 時(shí)，表示根據(jù)最大群體效用的決策機(jī)制進(jìn)行決策;當(dāng) $v<0.5$ 時(shí)，表示根據(jù)最小個(gè)體遺憾的決策機(jī)制進(jìn)行決策。數(shù)學(xué)建模時(shí)，這個(gè) $v$ 可能適合拿來靈敏度分析。
5. 對這個(gè) $Q$ 值進(jìn)行升序排序，就是各個(gè)方案的最終排名。一般取 $Q$ 值最小的為最優(yōu)。

參考文獻(xiàn)：VIKOR方法_vikor方法簡介-CSDN博客

代碼實(shí)例

??就使用上面評價(jià)飛機(jī)的那個(gè)例子。首先觀察到費(fèi)用是一個(gè)極小型指標(biāo)，需要極大化。書上直接給出了使用比例變換法將所有指標(biāo)極大歸一化的結(jié)果，因此下面的代碼中直接使用這個(gè)結(jié)果：

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn import preprocessing
import matplotlib.pyplot as plt# 這個(gè)就是極大歸一化后的數(shù)據(jù)
data = pd.DataFrame([[0.8,0.5556,0.9524,0.8182,0.7143,1],[1,1,0.8571,0.6923,0.4286,0.5],[0.72,0.7407,1,1,1,0.7],[0.88,0.6667,0.9524,0.9,0.7143,0.5]])# 確定正負(fù)理想解
f_best = data.max(axis = 0)
f_worst = data.min(axis = 0)
# 計(jì)算 S 和 R
S = []
R = []
for i in range(data.index.size):S.append(sum((f_best - data.iloc[i,:])/(f_best - f_worst))/data.columns.size)R.append(max((f_best - data.iloc[i,:])/(f_best - f_worst))/data.columns.size)# 計(jì)算 Q
S = np.array(S)
R = np.array(R)
qq = [[],[],[],[]]
v_arr = np.linspace(0,1,1000)
for v in v_arr:Q = 0if(S.max() - S.min() != 0):Q += v * (S - S.min()) / (S.max() - S.min())if(R.max() - R.min() != 0):Q += (1 - v) * (R - R.min()) / (R.max() - R.min())for i in range(len(Q)):qq[i].append(Q[i])# 作圖部分
plt.rc('text',usetex = True)
plt.plot(v_arr,qq[0],label = '$A_1$')
plt.plot(v_arr,qq[1],label = '$A_2$')
plt.plot(v_arr,qq[2],label = '$A_3$')
plt.plot(v_arr,qq[3],label = '$A_4$')
plt.xlabel('$v$')
plt.ylabel('$Q_i$')
plt.legend()
plt.show()

??上面的代碼，我嘗試了 $(0,1)$ 中的許多 $v$ 值，作出了 $Q_i(i=1,2,3,4)$ 關(guān)于 $v$ 的圖線，如下圖所示：

??可以看出，無論 $v$ 怎么選，結(jié)果都是固定的：$A_3>A_1>A_4>A_2$。這和熵權(quán)法的結(jié)果一樣，而 TOPSIS 的結(jié)果是 $A_3>A_1>A_2>A_4$?？偠灾?Vikor 還是個(gè)比較不錯(cuò)的方法。