目錄

一. 介紹

二. 行列式的基本性質(zhì)

2.1 單位陣的行列式

2.2 交換行位置的行列式

三. 矩陣求逆與行列式

四. 體積與行列式

五. 矩陣主元與行列式

六. 解方程與矩陣行列式

七. 小結(jié)

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一. 介紹

行列式可以反應(yīng)矩陣的很多性質(zhì)，比如可以求矩陣的逆，也可以求方程的解，如下：

矩陣行列式有三個基礎(chǔ)的性質(zhì)：

（1）單位陣

單位陣的行列式為1，也就是：

det I=1

（2) 符號

矩陣的行位置交換會影響行列式的符號

（3）線性關(guān)系

矩陣行列式與行向量之間呈現(xiàn)線性關(guān)系

本文章將梳理矩陣行列式的四個基本應(yīng)用。

二. 行列式的基本性質(zhì)

以2行2列的矩陣為例，其行列式的計算非常簡單，如下：

通常行列式有兩種常用寫法，分別是detA和|A|

以下我們將主要討論方陣。

2.1 單位陣的行列式

很明顯單位矩陣（identity matrix）的行列式為1，如下：

2.2 交換行位置的行列式

當(dāng)把某兩行的位置交換時，行列式會改變符號，如下：

任何置換矩陣都可以變成單位陣，單位陣的行列式為1，由此可得置換矩陣的行列式只能取1或-1，如下：

三. 矩陣求逆與行列式

我們都知道如果矩陣行列式為0時，那么其為奇異矩陣（singular）。如果矩陣A行列式不為0，那么該矩陣可以直接求逆，如下：

逆矩陣中的元素與行列式的倒數(shù)相關(guān)。

在求矩陣特征值時，涉及到：

其中的值會出現(xiàn)在矩陣對角線上，要保證該方程有解，那么要求是奇異的，也就是可得：

把以上等式看成一個方程，如果該方程為n次方，也就是有n個解，從而矩陣A有n個特征值。

四. 體積與行列式

以最簡單的三維立方體為例子dV=dxdydz，也就是：

如果寫成柱坐標(biāo)（cylindrical coordinates），可得：

dx的積分運(yùn)算替換成(dx/du)du，由此可得體積運(yùn)算為：

于是，雅克比行列式（Jacobian determinant）就可以寫成三維的形式，如下：

此三階矩陣的行列式很容易計算為r

綜上可得矩陣A的行列式與n維箱子的體積相等，在網(wǎng)絡(luò)安全中此結(jié)論是很有用的，來看一個直觀的圖形：

五. 矩陣主元與行列式

忽略正負(fù)號的情況下，矩陣行列式等于矩陣主元（pivots)的乘積。?

六. 解方程與矩陣行列式

可以用行列式的思想來衡量b對的影響。利用行列式可以直接計算矩陣A的逆，接著利用Cramer法則計算解：

七. 小結(jié)

以上討論中，我們了解到行列式的值與主元的乘積相關(guān)。通常而言計算行列式有兩個常用的公式，一個是所謂的big formula，另外一個是 formula by induction。

（1）線性代數(shù)需要掌握的重點(diǎn)

行列式 內(nèi)容：行列式的定義和性質(zhì)；Cramer 法則；子式與代數(shù)余子式；按一行（列）展開定理。

要求： 掌握行列式的概念和性質(zhì)，熟練應(yīng)用行列式的性質(zhì)計算行列式，并會用行列式求解線性方程組。

矩陣及其運(yùn)算、矩陣的初等變換與線性方程組 內(nèi)容： 矩陣的概念和運(yùn)算；常用的特殊矩陣；矩陣的初等變換與初等矩陣；可逆矩陣以及性質(zhì) ；矩陣的秩等概念。 線性方程組的解。

要求： 掌握矩陣和秩的概念；能熟練地進(jìn)行矩陣的各種運(yùn)算（加、減、數(shù)乘、乘、求逆等）；會求逆陣和矩陣的秩。

向量組的線性相關(guān)性 內(nèi)容： 向量組及其線性組合、向量組的線性相關(guān)性，向量組的秩，線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，向量空間。

要求： 掌握向量的線性關(guān)系（組合與等價、線性相關(guān)與線性無關(guān)、極大線性無關(guān)組）等概念， 能熟練應(yīng)用矩陣來求解或討論線性方程組的解和解的結(jié)構(gòu)。掌握向量空間的有關(guān)知識。

（2）矩陣應(yīng)用

隨著計算機(jī)硬件的發(fā)展和處理復(fù)雜算法能力的提高 ，近30年來 ，以人工智能為核心的相關(guān)學(xué)科群 ：計算機(jī)視覺 、模式識別（含機(jī)器學(xué)習(xí)） 、數(shù)字圖像處理 、數(shù)字信號處理和計算機(jī)圖形學(xué)得到了迅速的發(fā)展 ．20世紀(jì)90年代 ，這些學(xué)科的發(fā)展逐步走向成熟 ，相關(guān)技術(shù)的融合和實(shí)際應(yīng)用顯著增長 ．而且 ，隨著計算機(jī)應(yīng)用深入到社會科學(xué)和生物學(xué)等學(xué)科 ，加之計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的迅速擴(kuò)展 ，數(shù)據(jù)的維數(shù)激增和數(shù)據(jù)量按指數(shù)增長 ，計算機(jī)所處理的數(shù)據(jù)發(fā)生了根本性的變化 ，這些都將進(jìn)一步推動相關(guān)學(xué)科向縱深發(fā)展 ． 在這些學(xué)科研究的過程中 ，涉及數(shù)學(xué)知識的廣度和深度都超出了人們的想象 ．

在廣度上 ，幾乎所有數(shù)學(xué)科目都在這些學(xué)科的研究中出現(xiàn)過 ，而不像傳統(tǒng)的學(xué)科 ， 如物理主要應(yīng)用微分幾何 、偏微分方程和群論 ；不僅如此 ，這些學(xué)科研究過程中所用的數(shù)學(xué)理論往往是當(dāng)前數(shù)學(xué)界最新的研究成果 ，比如圖像處理中所用的偏微分方程理論 ．這對沒有受過嚴(yán)格數(shù)學(xué)訓(xùn)練的計算機(jī)學(xué)者提出了嚴(yán)峻挑戰(zhàn) ． 傳統(tǒng)的計算機(jī)學(xué)科研究所用到的數(shù)學(xué)主要集中在離散數(shù)學(xué) 、算法設(shè)計 、數(shù)值計算和組合數(shù)學(xué) ，這些19世紀(jì)的數(shù)學(xué)已經(jīng)無法滿足當(dāng)前計算機(jī)科學(xué)發(fā)展的要求 ．為此 ，眾多的計算機(jī)學(xué)者一方面呼吁數(shù)學(xué)工作者加入到計算機(jī)科學(xué)的研究中 ，同時也積極地將相關(guān)的數(shù)學(xué)理論引入到研究中。

矩陣計算又稱為數(shù)值線性代數(shù) ．作為一門數(shù)學(xué)學(xué)科 ，它是眾多理工學(xué)科重要的數(shù)學(xué)工具 ．矩陣?yán)碚摷仁墙?jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程 ，是一門最有實(shí)用價值的數(shù)學(xué)理論 ，是計算機(jī)科學(xué)與工程計算的核心 ，已成為現(xiàn)代各科技領(lǐng)域處理大量有限維空間形式與數(shù)量關(guān)系強(qiáng)有力的工具 ，計算機(jī)科學(xué)和工程的問題最終都轉(zhuǎn)化成矩陣的運(yùn)算與求解 ．特別是計算機(jī)的廣泛應(yīng)用為矩陣論的應(yīng)用開辟了廣闊的前景 ．例如 ，系統(tǒng)工程 、優(yōu)化方法以及穩(wěn)定性理論等 ，都與矩陣論有著密切的聯(lián)系。