一、問題介紹

斯特靈（Stirling）近似式，是數(shù)學(xué)分析中，用于求階乘近似值的一個(gè)常用公式，其簡(jiǎn)單的表述形式為：

二、Python實(shí)現(xiàn)

使用Python，循環(huán)從n=1至n=98，分別輸出n的階乘值、斯特靈公式近似值，以及二者的比值。程序如下：

import mathans = 1
appro = 1
for n in range(1, 99):appro = math.sqrt(2 * math.pi * n) * math.pow(n / math.e, n)print("斯特靈近似值：", appro)ans *= nprint("真實(shí)值：", ans)print("比值：", appro / ans)

程序輸出：

"C:\Program Files\Python312\python.exe" "C:\Users\lycbu\Desktop\Python組合數(shù)學(xué)\第 4 章  《生成排列和組合》\generating_sequence.py" 
斯特靈近似值： 0.9221370088957891
真實(shí)值： 1
比值： 0.9221370088957891
斯特靈近似值： 1.9190043514889832
真實(shí)值： 2
比值： 0.9595021757444916
斯特靈近似值： 5.836209591345864
真實(shí)值： 6
比值： 0.972701598557644
斯特靈近似值： 23.506175132893294
真實(shí)值： 24
比值： 0.9794239638705539
斯特靈近似值： 118.0191679575901
真實(shí)值： 120
比值： 0.9834930663132508
斯特靈近似值： 710.078184642185
真實(shí)值： 720
比值： 0.9862197008919236
斯特靈近似值： 4980.395831612462
真實(shí)值： 5040
比值： 0.9881737761135837
斯特靈近似值： 39902.39545265671
真實(shí)值： 40320
比值： 0.9896427443615256
斯特靈近似值： 359536.87284194835
真實(shí)值： 362880
比值： 0.9907872377699194
斯特靈近似值： 3598695.6187410373
真實(shí)值： 3628800
比值： 0.9917040395560619
斯特靈近似值： 39615625.05057755
真實(shí)值： 39916800
比值： 0.9924549325240889
斯特靈近似值： 475687486.47277606
真實(shí)值： 479001600
比值： 0.993081205726194
斯特靈近似值： 6187239475.19272
真實(shí)值： 6227020800
比值： 0.9936114996103306
斯特靈近似值： 86661001740.59883
真實(shí)值： 87178291200
比值： 0.9940663042108221
斯特靈近似值： 1300430722199.468
真實(shí)值： 1307674368000
比值： 0.9944606654548023
斯特靈近似值： 20814114415223.137
真實(shí)值： 20922789888000
比值： 0.994805880412765
斯特靈近似值： 353948328666101.1
真實(shí)值： 355687428096000
比值： 0.9951105962917827
斯特靈近似值： 6372804626194313.0
真實(shí)值： 6402373705728000
比值： 0.9953815442689276
斯特靈近似值： 1.2111278659229419e+17
真實(shí)值： 121645100408832000
比值： 0.9956240422775042
斯特靈近似值： 2.422786846761135e+18
真實(shí)值： 2432902008176640000
比值： 0.9958423473771203
斯特靈近似值： 5.088861732550975e+19
真實(shí)值： 51090942171709440000
比值： 0.9960399077096737
斯特靈近似值： 1.1197514946282378e+21
真實(shí)值： 1124000727777607680000
比值： 0.996219545909217
斯特靈近似值： 2.575852537052931e+22
真實(shí)值： 25852016738884976640000
比值： 0.9963835947771517
斯特靈近似值： 6.182979270227948e+23
真實(shí)值： 620448401733239439360000
比值： 0.9965339991134844
斯特靈近似值： 1.5459594834691181e+25
真實(shí)值： 15511210043330985984000000
比值： 0.9966723931598105
斯特靈近似值： 4.020009930609553e+26
真實(shí)值： 403291461126605635584000000
比值： 0.9968001602066026
斯特靈近似值： 1.0855315170319531e+28
真實(shí)值： 10888869450418352160768000000
比值： 0.9969184789796951
斯特靈近似值： 3.0398232624334186e+29
真實(shí)值： 304888344611713860501504000000
比值： 0.9970283601049891
斯特靈近似值： 8.81639210537749e+30
真實(shí)值： 8841761993739701954543616000000
比值： 0.9971306750419006
斯特靈近似值： 2.6451709592296516e+32
真實(shí)值： 265252859812191058636308480000000
比值： 0.9972261792398889
斯特靈近似值： 8.200764697241122e+33
真實(shí)值： 8222838654177922817725562880000000
比值： 0.9973155308202983
斯特靈近似值： 2.6244651408193303e+35
真實(shí)值： 263130836933693530167218012160000000
比值： 0.9973993057608336
斯特靈近似值： 8.661418381417958e+36
真實(shí)值： 8683317618811886495518194401280000000
比值： 0.9974780103233257
斯特靈近似值： 2.9451009609982435e+38
真實(shí)值： 295232799039604140847618609643520000000
比值： 0.9975520912915815
斯特靈近似值： 1.0308575166584033e+40
真實(shí)值： 10333147966386144929666651337523200000000
比值： 0.9976219444566121
斯特靈近似值： 3.711332490874158e+41
真實(shí)值： 371993326789901217467999448150835200000000
比值： 0.9976879216895974
斯特靈近似值： 1.3732789283357648e+43
真實(shí)值： 13763753091226345046315979581580902400000000
比值： 0.9977503368693503
斯特靈近似值： 5.218769211900575e+44
真實(shí)值： 523022617466601111760007224100074291200000000
比值： 0.9978094708750969
斯特靈近似值： 2.0354344348300693e+46
真實(shí)值： 20397882081197443358640281739902897356800000000
比值： 0.9978655758120651
斯特靈近似值： 8.142172644946236e+47
真實(shí)值： 815915283247897734345611269596115894272000000000
比值： 0.9979188786040203
斯特靈近似值： 3.3384604069916416e+49
真實(shí)值： 33452526613163807108170062053440751665152000000000
比值： 0.9979695840606352
斯特靈近似值： 1.4022212235243676e+51
真實(shí)值： 1405006117752879898543142606244511569936384000000000
比值： 0.9980178775072052
斯特靈近似值： 6.029829470665712e+52
真實(shí)值： 60415263063373835637355132068513997507264512000000000
比值： 0.9980639270478056
斯特靈近似值： 2.6532418206505554e+54
真實(shí)值： 2658271574788448768043625811014615890319638528000000000
比值： 0.9981078855202017
斯特靈近似值： 1.1940090686044361e+56
真實(shí)值： 119622220865480194561963161495657715064383733760000000000
比值： 0.9981498921903026
斯特靈近似值： 5.492662822140226e+57
真實(shí)值： 5502622159812088949850305428800254892961651752960000000000
比值： 0.9981900742259572
斯特靈近似值： 2.5816510284825745e+59
真實(shí)值： 258623241511168180642964355153611979969197632389120000000000
比值： 0.9982285479826416
斯特靈近似值： 1.2392382664425307e+61
真實(shí)值： 12413915592536072670862289047373375038521486354677760000000000
比值： 0.9982654201287052
斯特靈近似值： 6.072482645765103e+62
真實(shí)值： 608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000
比值： 0.9983007886329174
斯特靈近似值： 3.036344593938168e+64
真實(shí)值： 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000
比值： 0.9983347436336244
斯特靈近似值： 1.5485863474941077e+66
真實(shí)值： 1551118753287382280224243016469303211063259720016986112000000000000
比值： 0.99836736820575
斯特靈近似值： 8.052902038388715e+67
真實(shí)值： 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000
比值： 0.9983987390393719
斯特靈近似值： 4.268167130531859e+69
真實(shí)值： 4274883284060025564298013753389399649690343788366813724672000000000000
比值： 0.9984289270415383
斯特靈近似值： 2.3048773586655146e+71
真實(shí)值： 230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000
比值： 0.9984579978713181
斯特靈近似值： 1.267718115662497e+73
真實(shí)值： 12696403353658275925965100847566516959580321051449436762275840000000000000
比值： 0.9984860124164401
斯特靈近似值： 7.099413522574659e+74
真實(shí)值： 710998587804863451854045647463724949736497978881168458687447040000000000000
比值： 0.9985130272189967
斯特靈近似值： 4.04677135197153e+76
真實(shí)值： 40526919504877216755680601905432322134980384796226602145184481280000000000000
比值： 0.9985390948563266
斯特靈近似值： 2.3471865464234703e+78
真實(shí)值： 2350561331282878571829474910515074683828862318181142924420699914240000000000000
比值： 0.9985642642825379
斯特靈近似值： 1.3848737857596246e+80
真實(shí)值： 138683118545689835737939019720389406345902876772687432540821294940160000000000000
比值： 0.9985885811353248
斯特靈近似值： 8.3094383149767e+81
真實(shí)值： 8320987112741390144276341183223364380754172606361245952449277696409600000000000000
比值： 0.9986120880121295
斯特靈近似值： 5.068872779161898e+83
真實(shí)值： 507580213877224798800856812176625227226004528988036003099405939480985600000000000000
比值： 0.9986348247191474
斯特靈近似值： 3.1427703689082454e+85
真實(shí)值： 31469973260387937525653122354950764088012280797258232192163168247821107200000000000000
比值： 0.9986568284963022
斯特靈近似值： 1.9799875733185862e+87
真實(shí)值： 1982608315404440064116146708361898137544773690227268628106279599612729753600000000000000
比值： 0.9986781342207176
斯特靈近似值： 1.2672182368568135e+89
真實(shí)值： 126886932185884164103433389335161480802865516174545192198801894375214704230400000000000000
比值： 0.9986987745912168
斯特靈近似值： 8.237083539630221e+90
真實(shí)值： 8247650592082470666723170306785496252186258551345437492922123134388955774976000000000000000
比值： 0.9987187802957616
斯特靈近似值： 5.436580738355171e+92
真實(shí)值： 544344939077443064003729240247842752644293064388798874532860126869671081148416000000000000000
比值： 0.9987381801636844
斯特靈近似值： 3.6425777374886635e+94
真實(shí)值： 36471110918188685288249859096605464427167635314049524593701628500267962436943872000000000000000
比值： 0.9987570013042998
斯特靈近似值： 2.476998166605485e+96
真實(shí)值： 2480035542436830599600990418569171581047399201355367672371710738018221445712183296000000000000000
比值： 0.9987752692332945
斯特靈近似值： 1.709159089950092e+98
真實(shí)值： 171122452428141311372468338881272839092270544893520369393648040923257279754140647424000000000000000
比值： 0.9987930079881316
斯特靈近似值： 1.1964320047337557e+100
真實(shí)值： 11978571669969891796072783721689098736458938142546425857555362864628009582789845319680000000000000000
比值： 0.9988102402335611
斯特靈近似值： 8.494809664319491e+101
真實(shí)值： 850478588567862317521167644239926010288584608120796235886430763388588680378079017697280000000000000000
比值： 0.9988269873582672
斯特靈近似值： 6.1163626615111185e+103
真實(shí)值： 61234458376886086861524070385274672740778091784697328983823014963978384987221689274204160000000000000000
比值： 0.9988432695633732
斯特靈近似值： 4.465015533351977e+105
真實(shí)值： 4470115461512684340891257138125051110076800700282905015819080092370422104067183317016903680000000000000000
比值： 0.9988591059437687
斯特靈近似值： 3.3041624646270324e+107
真實(shí)值： 330788544151938641225953028221253782145683251820934971170611926835411235700971565459250872320000000000000000
比值： 0.9988745145628006
斯特靈近似值： 2.4781590571159635e+109
真實(shí)值： 24809140811395398091946477116594033660926243886570122837795894512655842677572867409443815424000000000000000000
比值： 0.9988895125210016
斯特靈近似值： 1.8834284182269836e+111
真實(shí)值： 1885494701666050254987932260861146558230394535379329335672487982961844043495537923117729972224000000000000000000
比值： 0.9989041160193974
斯特靈近似值： 1.4502605334563188e+113
真實(shí)值： 145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000
比值： 0.9989183404178815
斯特靈近似值： 1.1312189114037986e+115
真實(shí)值： 11324281178206297831457521158732046228731749579488251990048962825668835325234200766245086213177344000000000000000000
比值： 0.9989322002890937
斯特靈近似值： 8.936750255667243e+116
真實(shí)值： 894618213078297528685144171539831652069808216779571907213868063227837990693501860533361810841010176000000000000000000
比值： 0.998945709468257
斯特靈近似值： 7.14949447318118e+118
真實(shí)值： 71569457046263802294811533723186532165584657342365752577109445058227039255480148842668944867280814080000000000000000000
比值： 0.998958881099184
斯特靈近似值： 5.791164996507119e+120
真實(shí)值： 5797126020747367985879734231578109105412357244731625958745865049716390179693892056256184534249745940480000000000000000000
比值： 0.9989717276769705
斯特靈近似值： 4.748814876499388e+122
真實(shí)值： 475364333701284174842138206989404946643813294067993328617160934076743994734899148613007131808479167119360000000000000000000
比值： 0.9989842610875203
斯特靈近似值： 3.941564607394658e+124
真實(shí)值： 39455239697206586511897471180120610571436503407643446275224357528369751562996629334879591940103770870906880000000000000000000
比值： 0.9989964926442252
斯特靈近似值： 3.310953843822257e+126
真實(shí)值： 3314240134565353266999387579130131288000666286242049487118846032383059131291716864129885722968716753156177920000000000000000000
比值： 0.9990084331220233
斯特靈近似值： 2.8143436137448937e+128
真實(shí)值： 281710411438055027694947944226061159480056634330574206405101912752560026159795933451040286452340924018275123200000000000000000000
比值： 0.9990200927890578
斯特靈近似值： 2.4203630992044694e+130
真實(shí)值： 24227095383672732381765523203441259715284870552429381750838764496720162249742450276789464634901319465571660595200000000000000000000
比值： 0.9990314814361174
斯特靈近似值： 2.1057393492558477e+132
真實(shí)值： 2107757298379527717213600518699389595229783738061356212322972511214654115727593174080683423236414793504734471782400000000000000000000
比值： 0.999042608404093
斯特靈近似值： 1.8530707971086265e+134
真實(shí)值： 185482642257398439114796845645546284380220968949399346684421580986889562184028199319100141244804501828416633516851200000000000000000000
比值： 0.9990534826094823
斯特靈近似值： 1.6492505573148788e+136
真實(shí)值： 16507955160908461081216919262453619309839666236496541854913520707833171034378509739399912570787600662729080382999756800000000000000000000
比值： 0.9990641125682085
斯特靈近似值： 1.4843409438918685e+138
真實(shí)值： 1485715964481761497309522733620825737885569961284688766942216863704985393094065876545992131370884059645617234469978112000000000000000000000
比值： 0.9990745064179393
斯特靈近似值： 1.3507640027413541e+140
真實(shí)值： 135200152767840296255166568759495142147586866476906677791741734597153670771559994765685283954750449427751168336768008192000000000000000000000
比值： 0.9990846719388152
斯特靈近似值： 1.2427152520695737e+142
真實(shí)值： 12438414054641307255475324325873553077577991715875414356840239582938137710983519518443046123837041347353107486982656753664000000000000000000000
比值： 0.9990946165728123
斯特靈近似值： 1.155736440826705e+144
真實(shí)值： 1156772507081641574759205162306240436214753229576413535186142281213246807121467315215203289516844845303838996289387078090752000000000000000000000
比值： 0.9991043474420477
斯特靈近似值： 1.086402610369289e+146
真實(shí)值： 108736615665674308027365285256786601004186803580182872307497374434045199869417927630229109214583415458560865651202385340530688000000000000000000000
比值： 0.9991138713656339
斯特靈近似值： 1.0320921110167377e+148
真實(shí)值： 10329978488239059262599702099394727095397746340117372869212250571234293987594703124871765375385424468563282236864226607350415360000000000000000000000
比值： 0.9991231948757692
斯特靈近似值： 9.908174799577235e+149
真實(shí)值： 991677934870949689209571401541893801158183648651267795444376054838492222809091499987689476037000748982075094738965754305639874560000000000000000000000
比值： 0.9991323242325261
斯特靈近似值： 9.611015563513046e+151
真實(shí)值： 96192759682482119853328425949563698712343813919172976158104477319333745612481875498805879175589072651261284189679678167647067832320000000000000000000000
比值： 0.9991412654380193
斯特靈近似值： 9.41887782059826e+153
真實(shí)值： 9426890448883247745626185743057242473809693764078951663494238777294707070023223798882976159207729119823605850588608460429412647567360000000000000000000000
比值： 0.9991500242494132Process finished with exit code 0

可以看出，隨著n值的增長(zhǎng)，斯特靈近似值和真實(shí)的階乘值之間的比值越來越接近1.我們也有如下推論：