本文僅供學(xué)習(xí)使用，總結(jié)很多本現(xiàn)有講述運(yùn)動(dòng)學(xué)或動(dòng)力學(xué)書(shū)籍后的總結(jié)，從矢量的角度進(jìn)行分析，方法比較傳統(tǒng)，但更易理解，并且現(xiàn)有的看似抽象方法，兩者本質(zhì)上并無(wú)不同。
2024年底本人學(xué)位論文發(fā)表后方可摘抄
若有幫助請(qǐng)引用
本文參考：
《空間機(jī)構(gòu)的分析與綜合（上冊(cè)）》-張啟先，感謝張啟先先生對(duì)機(jī)構(gòu)學(xué)的卓越貢獻(xiàn)，希望下冊(cè)有見(jiàn)天明之日！
《高等機(jī)構(gòu)學(xué)》-白師賢
《高等空間機(jī)構(gòu)學(xué)》-黃真
《機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)微分幾何學(xué)分析與綜合》-王德倫

食用方法
自由度？約束——本質(zhì)含義是什么？如何表達(dá)？
系統(tǒng)的自由度？廣義坐標(biāo)的自由度？
如何表示約束方程？
務(wù)必自己計(jì)算自由度，了解約束的含義

1. 廣義坐標(biāo)與約束

1.1 參考坐標(biāo)

根據(jù)上述章節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道：

• 空間中對(duì)某一點(diǎn)的表述，需要3個(gè)位姿參數(shù)（比如點(diǎn)的坐標(biāo)）——即需要3個(gè)約束方程；
• 空間中對(duì)某一矢量的表述，需要2個(gè)位姿參數(shù)（比如球坐標(biāo)系下的兩個(gè)角度值）——即需要2個(gè)約束方程；
• 空間中對(duì)某一直線(xiàn)的表述，需要5個(gè)位姿參數(shù)（給定點(diǎn)+給定矢量）——即需要5個(gè)約束方程；
• 空間中對(duì)某一平面的表述，需要4個(gè)位姿數(shù)（給定矢量+矢量方向上的位置）——即需要4個(gè)約束方程；
• 空間中對(duì)某一剛體的表述，需要6個(gè)位姿參數(shù)（給定點(diǎn)+矢量方向+沿矢量方向的轉(zhuǎn)角）——即需要6個(gè)約束方程；

這些例子對(duì)于我們理解運(yùn)動(dòng)副有很大的作用

而對(duì)于剛體系統(tǒng)而言，其運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的參考坐標(biāo)具體表示，與所選擇的表示方法有關(guān)：用符號(hào)${\vec{q}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F$來(lái)表示剛體${\Sigma }_{\mathrm{M}}$在坐標(biāo)系 { F } \left\{ F \right\} {F}下的廣義坐標(biāo)參數(shù)。展開(kāi)可寫(xiě)為：
$${\vec{q}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F=\left[\begin{array}{c}{\vec{R}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F\\ {\vec{\theta }}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F\end{array}\right]$$
其中：${\vec{R}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F$表示體坐標(biāo)系 { M } \left\{ M \right\} {M}在固定坐標(biāo)系 { F } \left\{ F \right\} {F}下的位置參數(shù)，${\vec{\theta }}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F$表示剛體的姿態(tài)參數(shù)（歐拉角，四元數(shù)，羅德里格斯參數(shù)等），對(duì)于不同的表達(dá)方式，${\vec{q}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F$有不同的維數(shù)。

1.2 約束

若一個(gè)系統(tǒng)由多個(gè)剛體之間的相互作用組成（存在運(yùn)動(dòng)副連接），此時(shí)該系統(tǒng)中每個(gè)單獨(dú)剛體的運(yùn)動(dòng)，都會(huì)受到其他部分的影響——確立一組相互獨(dú)立的廣義坐標(biāo)（即自由度——此時(shí)的自由度表示為所需的廣義坐標(biāo)數(shù)量，即需要幾個(gè)自由度才能完整的描述該系統(tǒng)各個(gè)構(gòu)件狀態(tài)），運(yùn)動(dòng)學(xué)約束即上述的約束方程，幾個(gè)約束方程即限制了幾個(gè)自由度。

對(duì)于一個(gè)多體系統(tǒng)而言，其廣義坐標(biāo)的數(shù)目為$n$，這些剛體之間存在$n_{\mathrm{c}}$個(gè)約束方程

若能將約束方程寫(xiě)成如下的矩陣形式：
$$\mathbf{C}\left(\vec{\mathbf{q}},t\right)=\left[\begin{array}{c}{C}_1\left(\vec{\mathbf{q}},t\right)\\ C_2\left(\vec{\mathbf{q}},t\right)\\ ?\\ C_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{c}}}\left(\vec{\mathbf{q}},t\right)\end{array}\right]=\mathbf{C}({\vec{q}}_1,{\vec{q}}_2,?,$$