李代數(shù)與李群的關(guān)系
$\dot{R}{R}^T$ 是一個反對稱矩陣，所以這個矩陣可以用一個1×3向量進行反對稱來表示
$\dot{R}{R}^T={\Phi }^{\hat{}}$ ，
根據(jù)十四講 4.8 的推導(dǎo)，最后則有 $\dot{R(t)}={\Phi }^{\hat{}}?R(t)$
這個李代數(shù) $\Phi$ 反映了 $R$ 的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，所以李代數(shù)是李群 $SO(3)$ 的正切空間，因為這里李群是9維的，所以切向量也是一個空間

李代數(shù)由一個方向和夾角構(gòu)成，$\Phi =\theta a，||\vec{a}||=1$
指數(shù)映射，也是羅德里格斯公式
$exp({\Phi }^{\wedge })=exp(\theta a^{\wedge })=cos\theta I+(1?cos\theta )a{a}^T+sin\theta a^{\wedge }=R$
$exp({\Phi }^{\wedge })=R$
意思就是李代數(shù) $\Phi$ 可以由角度 $\theta$ 和方向向量 $\vec{a}$ 表示，通過羅德里格斯公式可以變換成對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣 $SO(3)$

用李代數(shù)表示旋轉(zhuǎn)會有個問題，就是周期性，就是多個李代數(shù)可以對應(yīng)一個旋轉(zhuǎn)矩陣，如果固定旋轉(zhuǎn)角度在±π時就是唯一對應(yīng)的

由旋轉(zhuǎn)矩陣 $R$ 求李代數(shù) $\Phi$ ，$\theta =arccos\frac{tr(R)?1}{2},Ra=a$，由 $ln(R{)}^{\vee }=\Phi$ 表示

BCH一階線性近似表達
$ln(exp({?}_1^{\wedge })exp({?}_2^{\wedge }){)}^{\vee }$

當(dāng)左邊的 ${?}_1$ 為小量時，此時相當(dāng)于左乘，則
$=>J_l({?}_2{)}^{?1}{?}_1+{?}_2$
其實就是相當(dāng)于在 ${?}_2$ 的基礎(chǔ)上加上微量 $J_l({?}_2{)}^{?1}{?}_1$

當(dāng)右邊的 ${?}_2$ 為小量時，此時相當(dāng)于右乘，則
$=>J_l({?}_1{)}^{?1}{?}_2+{?}_1$

SLAM中我們構(gòu)建了與位姿相關(guān)的函數(shù)后，需要討論該函數(shù)對位姿的求導(dǎo)，以估計當(dāng)前值
有兩種方法求導(dǎo)
1、用李代數(shù)表示位姿，根據(jù)李代數(shù)加法對李代數(shù)求導(dǎo)
2、對李群進行左乘或右乘進行擾動，對擾動求導(dǎo)

由于使用李代數(shù)求導(dǎo)要計算 雅可比 $J$ ，這個形式比較復(fù)雜，工程中不用這個方法，都是用擾動模型，所以只看擾動模型
$\frac{?(Rp)}{?\phi }=li{m}_{\phi \to 0}\frac{exp({\phi }^{\wedge })exp({?}^{\wedge })p?exp({?}^{\wedge })p}{\phi }$
$exp({\phi }^{\wedge })$ 是微量，相當(dāng)于是對旋轉(zhuǎn)的導(dǎo)數(shù)，則等于 $(I+{\phi }^{\wedge })$
具體推導(dǎo)如下
左乘擾動求導(dǎo)
這里是旋轉(zhuǎn) $R$ 對向量 $p$ 進行旋轉(zhuǎn)，不停地左乘擾動來改變向量 $p$ 的方向，左擾動 $\Delta R$ 對應(yīng)的李代數(shù) $\phi$ ，$Rp$ 的結(jié)果也是向量

$\frac{?(Rp)}{?\phi }=li{m}_{\phi \to 0}\frac{exp({\phi }^{\wedge })exp({?}^{\wedge })p?exp({?}^{\wedge })p}{\phi }$
$=li{m}_{\phi \to 0}\frac{(I+{\phi }^{\wedge })exp({?}^{\wedge })p?exp({?}^{\wedge })p}{\phi }$
乘進去相減，很明顯
$=li{m}_{\phi \to 0}\frac{{\phi }^{\wedge }Rp}{\phi }$

叉乘有一個性質(zhì)，$\vec{a}\times \vec{b}=?\vec{b}\times \vec{a}$
$\vec{a}\times \vec{b}=a^{\wedge }?b$
$?\vec{b}\times \vec{a}=?b^{\wedge }?a$

則上式等于
$=li{m}_{\phi \to 0}\frac{?(Rp{)}^{\wedge }\phi }{\phi }$
約掉 $\phi$ 則 $li{m}_{\phi \to 0}=?(Rp{)}^{\wedge }$
這里省去了雅可比 $J$ 的計算
對右乘也是一樣的方法

矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)
$(A+B{)}^T=A^T+B^T$
$(\lambda A{)}^T=\lambda A^T$
$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

SO(3)的伴隨性質(zhì)
$R^{T}Exp(?)R=Exp(R^T?)$
$?$ 為擾動量 $\Delta R$ 對應(yīng)的李代數(shù)

對復(fù)合旋轉(zhuǎn)進行求導(dǎo)

$\frac{?Log(R_1{R}_2)}{?R_1}$

這里是對兩個相乘的旋轉(zhuǎn)矩陣中的其中一個旋轉(zhuǎn)進行求導(dǎo)，上面的左乘擾動例子是對矩陣相乘向量進行求導(dǎo)的，所以可以直接對矩陣進行擾動

但是這里不能直接對矩陣 $SO(3)$ 進行擾動，不能直接說$R_1{R}_2$ 對 $R_1$ 或 $R_2$ 的導(dǎo)數(shù)，這樣就變成矩陣對向量的求導(dǎo)，因為擾動量是可以用向量表示的，前面的例子 $Rp$ 相乘后也是個向量，所以可以直接對擾動量進行求導(dǎo)，但是這里兩個矩陣相乘還是矩陣，所以得用 $Log$ 將矩陣相乘結(jié)果變?yōu)槔畲鷶?shù)，這樣才符合求導(dǎo)的定義
$Log(R)=log(R{)}^{\vee }$，用 $Log$ 就是為了懶得寫 $\vee$

對 $R_1$ 進行右擾動
$\frac{?Log(R_1{R}_2)}{?R_1}=li{m}_{\phi \to 0}\frac{Log(R_{1}Exp(?)R_2)?Log(R_1{R}_2)}{?}$
推導(dǎo)明天再寫了