梅氏定理和塞瓦定理

一、說明

?? 在射影幾何中，梅涅勞斯（Menelaus）定理和塞瓦定理是非常重要的基本定理。通過這兩個定理，可以導(dǎo)出多項結(jié)論，如：極點-極線性質(zhì)、德薩格定理、pascal定理等；本篇專門敘述這兩個定理證明。及相關(guān)啟發(fā)。

二、梅涅勞斯（Menelaus）定理

?? 梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）最早出現(xiàn)在由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯的著作《球面學(xué)》（Sphaerica）中。
定理定義
?? 當(dāng)一條直線交$\Delta ABC$三邊所在的直線$BC,AC,AB$分別于點$D,E,F$時，則有
$$\frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}=1$$

?? 分析：顯然，$D,E,F$分別為線段$BC,AC,AB$的定比分點。因此：
$$\frac{AF}{FB}={\lambda }_1;\frac{BD}{DC}={\lambda }_2;\frac{CE}{EA}={\lambda }_3$$
因此，等價說法是：
$${\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=1$$
[定理證明]

?? 過點A作$AG\parallel DB$交$BC$的延長線于G點, 則:
$$\frac{AF}{FB}={\lambda }_1=\frac{DG}{BD}$$
$$\frac{CE}{EA}={\lambda }_3=\frac{CD}{DG}$$
$$\therefore \frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=\frac{DG}{BD}\frac{BD}{DC}\frac{CD}{DG}=1$$
[證畢]

三、塞瓦(Giovanni Ceva）定理

?? 塞瓦(Giovanni Ceva，1648~1734)意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家。塞瓦定理載于塞瓦于1678年發(fā)表的《直線論》一書，也有書中說塞瓦定理是塞瓦重大發(fā)現(xiàn)。
【定理說明】
?? 塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點O，延長AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。

分析：

四、塞瓦點的推廣

?? 當(dāng)塞瓦點在三角形外部，如下圖：🔺ABC的三條線段的交點O位于三角形ABC的外部：
$$\frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}=1$$

【證明】
$$\frac{BD}{DC}=\frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta ADC}}=\frac{S_{\Delta OBD}}{S_{\Delta ODC}}$$
更比定理：
$$\frac{BD}{DC}=\frac{S_{\Delta ABD}?S_{\Delta OBD}}{S_{\Delta ADC}?S_{\Delta OBD}}=\frac{S_{\Delta OBA}}{S_{\Delta CAO}}$$
$$\frac{CE}{EA}=\frac{S_{\Delta BCO}}{S_{\Delta ABO}}$$
$$\frac{AF}{FB}=\frac{S_{\Delta CAO}}{S_{\Delta BCO}}$$

$$\frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}=\frac{S_{\Delta CAO}}{S_{\Delta BCO}}\frac{S_{\Delta OBA}}{S_{\Delta CAO}}\frac{S_{\Delta BCO}}{S_{\Delta ABO}}=1$$

【證畢】