一、方程組基礎(chǔ)概念

（一）定義

方程組是由若干個(gè)包含未知數(shù)的方程組合而成的集合。例如，$?\begin{array}{l}3x+2y?z=7\\ 2x?y+3z=5\\ x+4y?2z=3\end{array}$就是一個(gè)含有三個(gè)未知數(shù)$x$、$y$、$z$的方程組。方程組不一定是“方”的，即方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不一定相等。例如$?\begin{array}{l}x+y=5\\ 2x?y=1\\ 3x+2y=11\end{array}$，有兩個(gè)未知數(shù)但三個(gè)方程。

在方程組中，存在有效方程和無(wú)效方程的概念。有效方程是指不能由方程組中的其他方程通過(guò)線性組合得到的方程，它為求解未知數(shù)提供了獨(dú)立的信息。例如在方程組$\{\begin{array}{l}x+y=3\\ 2x+2y=6\end{array}$中，第二個(gè)方程$2x+2y=6$可以由第一個(gè)方程兩邊同時(shí)乘以$2$得到，所以它是無(wú)效方程，而第一個(gè)方程是有效方程。無(wú)效方程對(duì)求解未知數(shù)沒(méi)有額外的貢獻(xiàn)，在分析方程組時(shí)可以將其去除，不會(huì)影響方程組的本質(zhì)解情況。

（二）解的情況

方程組的解存在三種可能情況：

1. 唯一解：當(dāng)方程組中各個(gè)方程之間的約束關(guān)系恰好能確定每個(gè)未知數(shù)的唯一值時(shí)，方程組有唯一解。從幾何角度理解，對(duì)于二元一次方程組，每個(gè)方程可以表示平面上的一條直線，當(dāng)兩條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，這個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)就是方程組的唯一解。例如方程組$\{\begin{array}{l}x?y=1\\ 2x+y=8\end{array}$，通過(guò)消元法，將第一個(gè)方程加上第二個(gè)方程可得$3x=9$，解得$x=3$，把$x=3$代入第一個(gè)方程$3?y=1$，解得$y=2$，所以該方程組的唯一解為$x=3$，$y=2$。對(duì)于三元一次方程組，每個(gè)方程表示空間中的一個(gè)平面，當(dāng)三個(gè)平面相交于一點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的唯一解。
2. 無(wú)解：若方程組中存在矛盾的約束條件，就會(huì)導(dǎo)致方程組無(wú)解。比如方程組$\{\begin{array}{l}x+y=4\\ x+y=6\end{array}$，兩個(gè)方程對(duì)$x+y$的取值要求相互矛盾，不可能同時(shí)成立，所以此方程組無(wú)解。從矩陣的秩的角度來(lái)看，當(dāng)系數(shù)矩陣的秩小于增廣矩陣的秩時(shí)，方程組無(wú)解。例如對(duì)于方程組$\{\begin{array}{l}x+y=2\\ 2x+2y=5\end{array}$，其系數(shù)矩陣$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$，秩為$1$，增廣矩陣$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 2& 5\end{array}\right)$，秩為$2$，因?yàn)?span id="vxwlu0yf4" class="katex--inline">$1<2$，所以該方程組無(wú)解。
3. 無(wú)窮多解：當(dāng)方程組的約束條件不足以唯一確定每個(gè)未知數(shù)的值時(shí)，就會(huì)有無(wú)窮多解。此時(shí)往往存在自由變量，其取值可以是任意實(shí)數(shù)，進(jìn)而確定其他未知數(shù)的值。從幾何角度看，對(duì)于二元一次方程組，當(dāng)兩個(gè)方程表示的直線重合時(shí)，直線上的每一個(gè)點(diǎn)都是方程組的解，所以有無(wú)窮多個(gè)解。例如方程組$\{\begin{array}{l}2x+4y=6\\ x+2y=3\end{array}$，兩個(gè)方程實(shí)際上表示同一條直線，所以有無(wú)窮多解。對(duì)于三元一次方程組，當(dāng)三個(gè)平面相交于一條直線或重合時(shí)，方程組有無(wú)窮多解。

三、矩陣行的初等變換

（一）類型

矩陣的初等變換有三種重要類型：

1. 倍乘變換：將矩陣的某一行（列）的所有元素乘以一個(gè)非零常數(shù)。設(shè)矩陣$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$，若對(duì)第一行進(jìn)行倍乘變換，乘以常數(shù)$k(k\ne 0)$，則得到新矩陣$\left(\begin{array}{ccc}k{a}_{11}& k{a}_{12}& k{a}_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$。例如，對(duì)于矩陣$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$，將第二行乘以$2$，得到$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 8& 10& 12\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$。倍乘變換的作用在于可以調(diào)整某一行（列）元素的數(shù)值大小，以便在后續(xù)的矩陣化簡(jiǎn)過(guò)程中更好地實(shí)現(xiàn)目標(biāo)形式。
2. 倍加變換：將矩陣的某一行（列）的所有元素乘以一個(gè)常數(shù)后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上。對(duì)于上述矩陣$A$，若將第一行乘以$k$后加到第二行，則得到新矩陣$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}+k{a}_{11}& a_{22}+k{a}_{12}& a_{23}+k{a}_{13}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$。比如，在矩陣$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$中，將第一行乘以$2$后加到第二行，得到$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 6& 9& 12\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$。倍加變換常用于消除矩陣中的某些元素，使矩陣逐步化為行階梯形或行最簡(jiǎn)型。
3. 對(duì)換變換：交換矩陣的兩行（列）。設(shè)矩陣$A$，交換其第一行和第二行，得到新矩陣$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$。例如，對(duì)于矩陣$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$，交換第一行和第三行，得到$\left(\begin{array}{ccc}7& 8& 9\\ 4& 5& 6\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$。對(duì)換變換可以改變矩陣行（列）的順序，在矩陣化簡(jiǎn)過(guò)程中也經(jīng)常用到。

（二）應(yīng)用

在求解線性方程組時(shí)，矩陣初等變換起著關(guān)鍵作用。我們可以將線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)組成增廣矩陣，然后通過(guò)初等變換將其化簡(jiǎn)，從而更方便地分析方程組的解的情況以及求解未知數(shù)。例如，對(duì)于方程組$?\begin{array}{l}x+2y+3z=6\\ 2x+3y+z=4\\ 3x+y+2z=7\end{array}$，其增廣矩陣為$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 6\\ 2& 3& 1& 4\\ 3& 1& 2& 7\end{array}\right)$。

首先，進(jìn)行倍加變換，將第一行乘以$?2$加到第二行，第一行乘以$?3$加到第三行，得到$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 6\\ 0& ?1& ?5& ?8\\ 0& ?5& ?7& ?11\end{array}\right)$。

然后，對(duì)第二行進(jìn)行倍乘變換，乘以$?1$，得到$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 6\\ 0& 1& 5& 8\\ 0& ?5& ?7& ?11\end{array}\right)$。

接著，再進(jìn)行倍加變換，將第二行乘以$5$加到第三行，得到$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 6\\ 0& 1& 5& 8\\ 0& 0& 18& 29\end{array}\right)$。

繼續(xù)進(jìn)行倍乘變換，將第三行乘以$\frac{1}{18}$，得到$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 6\\ 0& 1& 5& 8\\ 0& 0& 1& \frac{29}{18}\end{array}\right)$。

再通過(guò)回代的方式，逐步求出$x$、$y$、$z$的值。

（三）與行列式對(duì)比

行列式和矩陣的初等變換有所不同。行列式是一個(gè)數(shù)值，其初等變換會(huì)改變行列式的值。例如，對(duì)行列式進(jìn)行倍乘變換，若將行列式的某一行（列）乘以常數(shù)$k$，則行列式的值變?yōu)樵瓉?lái)的$k$倍；進(jìn)行倍加變換，行列式的值不變；進(jìn)行對(duì)換變換，行列式的值變號(hào)。而矩陣的初等變換主要是為了化簡(jiǎn)矩陣，不改變矩陣所代表的線性方程組的本質(zhì)解的情況。矩陣通過(guò)初等變換可以化為行階梯形矩陣或行最簡(jiǎn)型矩陣，以便于分析方程組的解。

四、行階梯形矩陣與行最簡(jiǎn)型矩陣

（一）行階梯形矩陣

通過(guò)初等行變換可將矩陣化為行階梯形。其特點(diǎn)是：

1. 非零行的第一個(gè)非零元素（稱為主元）的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大。例如矩陣$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 5& 6& 7\\ 0& 0& 8& 9\end{array}\right)$，第一行主元$1$在第一列，第二行主元$5$在第二列，第三行主元$8$在第三列，滿足列標(biāo)隨著行標(biāo)增大而嚴(yán)格增大。
2. 主元所在列的其他元素為零。例如上述矩陣中，主元$1$所在列的第二、三行元素為$0$，主元$5$所在列的第三行元素為$0$。
3. 所有元素全為零的行（如果存在）都在矩陣的最下方。

矩陣化為行階梯形后，不影響原方程組的本質(zhì)，同一方程組可以通過(guò)不同的行階梯形矩陣表示，但它們都反映了方程組的解的信息。例如，對(duì)于方程組$?\begin{array}{l}x+2y+3z=4\\ 2x+4y+6z=8\\ 3x+6y+9z=12\end{array}$，其增廣矩陣通過(guò)不同的初等行變換順序可以得到不同形式的行階梯形矩陣，但都能表明該方程組有無(wú)窮多解。

（二）行最簡(jiǎn)型矩陣

在行階梯形矩陣的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步進(jìn)行自下而上的操作，使每個(gè)非零行的主元為$1$，且主元所在列其余元素為零，就得到了行最簡(jiǎn)型矩陣。

例如，對(duì)于行階梯形矩陣$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，要將其化為行最簡(jiǎn)型矩陣，先將第一行減去第二行乘以$2$，得到$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$（這一步保持不變，因?yàn)榈谝恍兄髟幸呀?jīng)符合要求），此時(shí)該矩陣就是行最簡(jiǎn)型矩陣。

行最簡(jiǎn)型矩陣在求解方程組時(shí)非常有用，因?yàn)樗梢灾苯忧逦仫@示出方程組的解的結(jié)構(gòu)。例如，對(duì)于上述行最簡(jiǎn)型矩陣對(duì)應(yīng)的方程組$\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ z=3\end{array}$，可以很容易地看出$z$的值已經(jīng)確定為$3$，$x$可以用$y$表示為$x=5?2y$，如果$y$是自由變量，那么就可以通過(guò)給定$y$的任意值來(lái)確定$x$的值，從而得到方程組的解。

五、方程組解的判定條件

（一）無(wú)解

當(dāng)方程組經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后，出現(xiàn)零等于非零常數(shù)的矛盾等式時(shí)，方程組無(wú)解。從矩陣角度看，若系數(shù)矩陣的秩小于增廣矩陣的秩，方程組無(wú)解。例如方程組$?\begin{array}{l}x+y+z=2\\ 2x+2y+2z=5\\ 3x+3y+3z=7\end{array}$，其系數(shù)矩陣$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 2& 2\\ 3& 3& 3\end{array}\right)$，對(duì)其進(jìn)行初等行變換，將第二行減去第一行乘以$2$，第三行減去第一行乘以$3$，得到$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，秩為$1$。增廣矩陣$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 2& 2& 2& 5\\ 3& 3& 3& 7\end{array}\right)$，同樣進(jìn)行初等行變換，得到$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$，秩為$2$。因?yàn)?span id="vxwlu0yf4" class="katex--inline">$1<2$，所以該方程組無(wú)解。

（二）唯一解

系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，且秩等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組有唯一解。此時(shí)可通過(guò)對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行變換，化為行最簡(jiǎn)型矩陣，直接得出未知數(shù)的值。例如方程組$\{\begin{array}{l}x?y=1\\ 2x+y=8\end{array}$，其增廣矩陣為$\left(\begin{array}{ccc}1& ?1& 1\\ 2& 1& 8\end{array}\right)$，進(jìn)行初等行變換，將第一行乘以$?2$加到第二行，得到$\left(\begin{array}{ccc}1& ?1& 1\\ 0& 3& 6\end{array}\right)$，再將第二行乘以$\frac{1}{3}$，得到$\left(\begin{array}{ccc}1& ?1& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$，然后將第二行加到第一行，得到行最簡(jiǎn)型矩陣$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$，所以方程組的唯一解為$x=3$，$y=2$。

（三）無(wú)窮多解

當(dāng)系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，且秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解。此時(shí)需要確定自由變量，用自由變量表示主變量，形成向量形式來(lái)表示解。

例如，對(duì)于方程組$\{\begin{array}{l}x+y+z=3\\ 2x+2y+2z=6\end{array}$，其系數(shù)矩陣$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 2& 2\end{array}\right)$，經(jīng)過(guò)初等行變換得到$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，秩為$1$。增廣矩陣$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 2& 2& 2& 6\end{array}\right)$，同樣變換后得到$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，秩為$1$，未知數(shù)個(gè)數(shù)為$3$，$1<3$，所以方程組有無(wú)窮多解。

令$z$為自由變量，設(shè)$z=k$（$k$為任意常數(shù)），由第一個(gè)方程$x+y+z=3$可得$x+y=3?k$，則$x=3?k?y$，令$y=t$（$t$為任意常數(shù)），那么$x=3?k?t$，方程組的解可以表示為向量形式$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3?k?t\\ t\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}?1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+k\left(\begin{array}{c}?1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$，其中$t$，$k$為任意實(shí)數(shù)。

六、齊次線性方程組解情況

（一）性質(zhì)

齊次線性方程組是指常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組，例如$?\begin{array}{l}x+y+z=0\\ 2x?y+3z=0\\ 3x+2y?z=0\end{array}$。齊次線性方程組一定有解，因?yàn)橹辽儆辛憬?#xff08;即所有未知數(shù)都為$0$的解），$x=0$，$y=0$，$z=0$顯然滿足上述方程組。

（二）解的分類

1. 唯一解（零解）：當(dāng)系數(shù)矩陣的秩等于未知數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)，齊次線性方程組有唯一解，即零解。例如方程組$\{\begin{array}{l}x+y=0\\ x?y=0\end{array}$，其系數(shù)矩陣$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& ?1\end{array}\right)$，行列式$|A|=1\times (?1)?1\times 1=?2\ne 0$，所以秩為$2$，未知數(shù)個(gè)數(shù)也為$2$
2. 無(wú)窮多解：當(dāng)系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)，齊次線性方程組有無(wú)窮多解，其中包含零解。例如齊次線性方程組$\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ 2x+2y+2z=0\end{array}$，其系數(shù)矩陣$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 2& 2\end{array}\right)$，對(duì)其進(jìn)行初等行變換，將第二行減去第一行的$2$倍，得到$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，秩為$1$，而未知數(shù)個(gè)數(shù)是$3$，$1<3$，所以該方程組有無(wú)窮多解。

令$z=k$，$y=t$（$k,t$為任意實(shí)數(shù)），由第一個(gè)方程$x+y+z=0$可得$x=?y?z=?t?k$。

則方程組的解可表示為向量形式$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}?t?k\\ t\\ k\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}?1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+k\left(\begin{array}{c}?1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$，這里$t$和$k$可以取任意實(shí)數(shù)，這意味著方程組存在無(wú)窮多個(gè)解，當(dāng)$t=k=0$時(shí)，就是零解。

七、求解流程總結(jié)

（一）構(gòu)建增廣矩陣

拿到一個(gè)線性方程組后，首先將其系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)按照一定的順序排列，組成增廣矩陣。例如對(duì)于方程組$?\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+?+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+?+a_{2n}{x}_n=b_2\\ ?\\ a_m{x}_1+a_{m2}{x}_2+?+a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$，其增廣矩陣為$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& ?& a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& ?& a_{2n}& b_2\\ ?& ?& ?& ?& ?\\ a_{m1}& a_{m2}& ?& a_{mn}& b_m\end{array}\right)$。

（二）矩陣初等變換

利用矩陣的倍乘變換、倍加變換和對(duì)換變換這三種初等變換，將增廣矩陣逐步化為行階梯形矩陣，再進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)型矩陣。在進(jìn)行變換時(shí)，要遵循一定的策略，通常是從左上角開(kāi)始，先將第一列主元下方的元素化為$0$，再處理第二列，以此類推。

例如，若第一行第一列的元素$a_{11}\ne 0$，可以通過(guò)倍加變換將第二行第一列元素$a_{21}$化為$0$（將第一行乘以$?\frac{a_{21}}{a_{11}}$加到第二行），然后對(duì)第三行、第四行等做類似操作，使得第一列主元下方元素全為$0$。接著處理第二列，若第二行第二列元素為新的主元且不為$0$，繼續(xù)用倍加變換將其下方元素化為$0$，依此類推，直到得到行階梯形矩陣。再通過(guò)適當(dāng)?shù)谋冻俗儞Q使主元都為$1$，并利用倍加變換將主元所在列其余元素化為$0$，得到行最簡(jiǎn)型矩陣。

（三）判斷解的情況并求解

1. 無(wú)解：若在化簡(jiǎn)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)增廣矩陣的秩大于系數(shù)矩陣的秩，即出現(xiàn)類似$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$這樣的形式（第二行表示$0x+0y+0z=1$，這是矛盾等式），則方程組無(wú)解。
2. 唯一解：當(dāng)系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，且等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，從行最簡(jiǎn)型矩陣中可以直接讀出未知數(shù)的值。例如行最簡(jiǎn)型矩陣$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& a\\ 0& 1& 0& b\\ 0& 0& 1& c\end{array}\right)$，則方程組的解為$x_1=a$，$x_2=b$，$x_3=c$。
3. 無(wú)窮多解：若系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，但小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，需要確定自由變量。自由變量的個(gè)數(shù)等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)減去系數(shù)矩陣的秩。然后用自由變量表示主變量，將解表示為向量形式。例如，若確定$x_3$和$x_4$為自由變量，設(shè)$x_3=s$，$x_4=t$（$s,t$為任意實(shí)數(shù)），通過(guò)行最簡(jiǎn)型矩陣中方程的關(guān)系得到$x_1$和$x_2$關(guān)于$s$和$t$的表達(dá)式，最終將解寫(xiě)成$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}f(s,t)\\ g(s,t)\\ s\\ t\end{array}\right)$的向量形式，其中$f(s,t)$和$g(s,t)$是關(guān)于$s$和$t$的表達(dá)式。

八、實(shí)際應(yīng)用案例

（一）電路分析

在電路分析中，經(jīng)常會(huì)遇到求解線性方程組的問(wèn)題。例如，一個(gè)包含多個(gè)電阻、電源的復(fù)雜電路，根據(jù)基爾霍夫定律可以列出一系列線性方程組。假設(shè)一個(gè)電路中有三個(gè)回路，根據(jù)基爾霍夫電壓定律（KVL）列出如下方程組：
$?\begin{array}{l}{R}_1{I}_1+R_2{I}_2?E_1=0\\ ?R_2{I}_2+R_3{I}_3+E_2=0\\ ?R_1{I}_1?R_3{I}_3+E_1?E_2=0\end{array}$
其中$R_1,R_2,R_3$是電阻值，$E_1,E_2$是電源電動(dòng)勢(shì)，$I_1,I_2,I_3$是回路電流。將其系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)組成增廣矩陣，通過(guò)矩陣初等變換求解該方程組，就可以得到各個(gè)回路的電流值，從而對(duì)電路的工作狀態(tài)進(jìn)行分析。

（二）經(jīng)濟(jì)投入 - 產(chǎn)出模型

在經(jīng)濟(jì)學(xué)的投入 - 產(chǎn)出模型中，用于描述各個(gè)產(chǎn)業(yè)部門(mén)之間的相互依存關(guān)系。假設(shè)一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)由三個(gè)產(chǎn)業(yè)部門(mén)組成，分別為農(nóng)業(yè)、工業(yè)和服務(wù)業(yè)。每個(gè)部門(mén)在生產(chǎn)過(guò)程中需要消耗其他部門(mén)的產(chǎn)品作為投入，同時(shí)也向其他部門(mén)提供產(chǎn)品作為產(chǎn)出。根據(jù)投入 - 產(chǎn)出的關(guān)系可以建立如下線性方程組：
$?\begin{array}{l}{x}_1=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3+y_1\\ x_2=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3+y_2\\ x_3=a_{31}{x}_1+a_{32}{x}_2+a_{33}{x}_3+y_3\end{array}$
其中$x_1,x_2,x_3$分別表示農(nóng)業(yè)、工業(yè)和服務(wù)業(yè)的總產(chǎn)出，$a_{ij}$表示第$j$部門(mén)生產(chǎn)單位產(chǎn)品對(duì)第$i$部門(mén)產(chǎn)品的直接消耗系數(shù)，$y_1,y_2,y_3$分別表示三個(gè)部門(mén)的最終需求。通過(guò)將其轉(zhuǎn)化為矩陣形式并求解，可以分析各個(gè)產(chǎn)業(yè)部門(mén)的生產(chǎn)規(guī)模和相互之間的供應(yīng)關(guān)系，為制定經(jīng)濟(jì)政策和規(guī)劃提供依據(jù)。

通過(guò)以上全面的講解，希望能夠幫助大家深入理解線性代數(shù)中方程組解情況與求解方法的相關(guān)知識(shí)，并能夠在實(shí)際問(wèn)題中靈活運(yùn)用。