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news 2025/7/13 8:30:31

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本文總結(jié)線性方程組求解的相關(guān)算法，特別是共軛梯度法的原理及流程。

零、預(yù)修

0.1 LU分解

設(shè) $\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{n\times n}$ ，若對于 $k\in \left [ 1,n-1 \right ]$ ，均有 $\left | \boldsymbol{A}\left ( 1:k,1:k \right ) \right |\neq 0$ ，則存在下三角矩陣 $\boldsymbol{L} \in\mathbb{R}^{n\times n}$ 和上三角矩陣 $\boldsymbol{U} \in\mathbb{R}^{n\times n}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{L}\boldsymbol{U}$ 。

設(shè) $\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{n\times n}$ ，若對于 $k\in \left [ 1,n \right ]$ ，均有 $\left | \boldsymbol{A}\left ( 1:k,1:k \right ) \right |\neq 0$ ，則存在唯一的下三角矩陣 $\boldsymbol{L} \in\mathbb{R}^{n\times n}$ 和上三角矩陣 $\boldsymbol{U} \in\mathbb{R}^{n\times n}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{L}\boldsymbol{U}$ ，并且 $\left |A \right |=U\left ( 1,1 \right )U\left ( 2,2 \right )\cdots U\left ( n,n \right )$ 。

0.2 Cholesky分解

若 $\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{n\times n}$ 對稱正定，則存在一個對角元均為正數(shù)的下三角矩陣 $\boldsymbol{L} \in\mathbb{R}^{n\times n}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{L}\boldsymbol{L}^{T}$ 。

一、總論：迭代法求解線性方程組的一般思路

對于非奇異矩陣 $\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{n\times n}$ ， $\boldsymbol\in \mathbb{R}^{n}$ ，使用迭代法求解線性方程組 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol$ 過程中，一般需要以下流程進行：

給定一個初始向量 $\boldsymbol{x}_{0}$ ；
構(gòu)造一個遞推公式 $\boldsymbol{x}_{k+1}=\boldsymbol{f}\left ( \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{A},\mathbf \right )$ ；
不斷遞推 $\boldsymbol{x}_{k+1}$ ，使其近似收斂于 $\boldsymbol{x}_{*}$ ；

下表列出了若干迭代算法的迭代公式。

方法	$\boldsymbol{A}$	迭代公式	備注
Jacobi迭代	非奇異	$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{D}-\boldsymbol{L}-\boldsymbol{U} \\ \boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{D}^{-1}\left ( \boldsymbol{L}+\boldsymbol{U} \right ) \boldsymbol{x}_{k-1}+\boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol$
Gausss-Seidel迭代	非奇異	$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{D}-\boldsymbol{L}-\boldsymbol{U} \\ \boldsymbol{x}_{k}=\left ( \boldsymbol{D}-\boldsymbol{L }\right )^{-1}\boldsymbol{U}\boldsymbol{x}_{k-1}+\left ( \boldsymbol{D}-\boldsymbol{L} \right )^{-1}b$
SOR迭代	非奇異	$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{D}-\boldsymbol{L}-\boldsymbol{U} \\ \boldsymbol{L}_{\omega }=\left ( \boldsymbol{D}-\omega \boldsymbol{L}\right )^{-1} \left ( \left ( 1-\omega \right )\boldsymbol{D}+\omega \boldsymbol{U} \right )\\ \boldsymbol{x}_{k+1}= \boldsymbol{L}_{\omega }\boldsymbol{x}_{k}+\omega \left ( \boldsymbol{D}-\omega \boldsymbol{L} \right )^{-1}\boldsymbol$
Steepest Descent	對稱正定	$\boldsymbol{r}_{k}=\boldsymbol-\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\\ \boldsymbol{p}_{k}=\boldsymbol{r}_{k}\\ \alpha_{k}=\frac{\boldsymbol{r}_{k}^{T}\boldsymbol{p}_{k}}{\boldsymbol{p}_{k}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}_{k}}\\ \boldsymbol{x}_{k+1}=\boldsymbol{x}_{k}+\alpha _{k}\boldsymbol{p}_{k}$
Conjugate Gradient	對稱正定	當 $k=1$ 時 ? ? ? $\boldsymbol{r}_{k}=\boldsymbol-\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\\ \boldsymbol{p}_{k}=\boldsymbol{r}_{k}\\ \alpha_{k}=\frac{\boldsymbol{r}_{k}^{T}\boldsymbol{p}_{k}}{\boldsymbol{p}_{k}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}_{k}}\\ \boldsymbol{x}_{k+1}=\boldsymbol{x}_{k}+\alpha _{k}\boldsymbol{p}_{k}$ 當 $k>1$ 時 ? ?? $\alpha _{k}=\frac{\boldsymbol{r}_{k}^{T}\boldsymbol{r}_{k}}{\boldsymbol{p}_{k}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}_{k}}\\ \boldsymbol{x}_{k+1}=\boldsymbol{x}_{k}+\alpha \boldsymbol{p}_{k} \\ \boldsymbol{r}_{k+1}=\boldsymbol{r}_{k}-\alpha _{k}\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}_{k} \\ \beta _{k}=\frac{\boldsymbol{r}_{k+1}^{T}\boldsymbol{r}_{k+1}}{\boldsymbol{r}_{k}^{T}\boldsymbol{r}_{k}}\\ \boldsymbol{p}_{k+1}=\boldsymbol{r}_{k+1}+\beta _{k}\boldsymbol{p}_{k}$

二、Projection Method

投影法將線性方程組求解問題轉(zhuǎn)換成了最優(yōu)值求解問題，是求解線性方程組的一大類方法。

在投影法中，令 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol-\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ ，構(gòu)造列滿秩矩陣 $\mathcal{K}\in \mathbb{R}^{n\times m}$ 與 $\mathcal{L}\in \mathbb{R}^{n\times m}$ ，尋找 $\boldsymbol{\tilde{x}}\in\mathcal{K}$ ，滿足Petrov-Galerkin條件，即 $\forall \boldsymbol{y}\in \mathcal{L}$ ，均有 $\mathcal{L}^{T}\left ( \boldsymbol-\boldsymbol{A}\boldsymbol{\tilde{x}} \right )=\boldsymbol{0}$ 。 $\mathcal{K}$ 稱為搜索空間， $\mathcal{L}$ 稱為約束空間。若 $\mathcal{L}=\mathcal{K}$ 時，稱為正投影算法，否則稱為斜投影算法。

三、Krylov Subspace Method

Krylov子空間法本質(zhì)上也是一種投影法，其核心思想是在更小維度的Krylov子空間內(nèi)尋找滿足精度要求的近似解。即令 $\boldsymbol{r}_{0}=\boldsymbol-\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_{0}$ ，構(gòu)造了 $m$ 維Krylov子空間 $\mathcal{K}\left ( \boldsymbol{A},\boldsymbol{r}_{0} \right )=span\left ( \boldsymbol{r}_{0} , \boldsymbol{A}\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{r}_{0},\cdots ,\boldsymbol{A}^{m-1}\boldsymbol{r}_{0} \right )$ ，使得 $\mathcal{L}^{T}\left (\boldsymbol-\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} \right )=\boldsymbol{0}$ 。

選擇不同的 $\mathcal{L}$ ，就對應(yīng)不同的Krylov子空間法。

3.1?Steepest Descent Method

3.2?Hestenes-Stiefel Conjugate Gradient Method

3.3?Preconditioned Conjugate Gradient

參考書籍

Golub G H , Loan C F V .Matrix Computations.Johns Hopkins University Press,1996.

Ford W .Numerical Linear Algebra with Applications using MATLAB. 2014.

徐樹方. 數(shù)值線性代數(shù)(第二版). ?北京大學(xué)出版社, 2010.

參考文獻

Hestenes M R , Stiefel E L .Methods of Conjugate Gradients for Solving Linear Systems. Journal of Research of the National Bureau of Standards (United States), 1952.?

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http://www.risenshineclean.com/news/21768.html

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零、預(yù)修

0.1 LU分解

0.2 Cholesky分解

一、總論：迭代法求解線性方程組的一般思路

二、Projection Method

三、Krylov Subspace Method

3.1?Steepest Descent Method

3.2?Hestenes-Stiefel Conjugate Gradient Method

3.3?Preconditioned Conjugate Gradient

參考書籍

參考文獻

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零、預(yù)修

0.1 LU分解

0.2 Cholesky分解

一、 總論：迭代法求解線性方程組的一般思路

二、Projection Method

三、Krylov Subspace Method

3.1?Steepest Descent Method

3.2?Hestenes-Stiefel Conjugate Gradient Method

3.3?Preconditioned Conjugate Gradient

參考書籍

參考文獻

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零、預(yù)修

一、總論：迭代法求解線性方程組的一般思路

三、Krylov Subspace Method