正態(tài)分布的奇妙性質(zhì)：為什么奇數(shù)階矩為零？

正態(tài)分布（Normal Distribution）是統(tǒng)計學中最常見的分布之一，它的鐘形曲線幾乎無處不在，從身高體重到測量誤差，都能看到它的影子。除了均值和方差這兩個核心參數(shù)，正態(tài)分布還有一個有趣的特性：它的奇數(shù)階中心矩（odd central moments）全部為零，比如 ( $E[x?\mu ]=0$ ) 和 ( $E[(x?\mu {)}^3]=0$ )。這到底是怎么回事？今天我們就來聊聊這個性質(zhì)的由來、證明，以及它背后的意義。

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什么是中心矩？

在探討奇數(shù)階矩之前，我們先明白什么是中心矩。中心矩是描述隨機變量偏離其均值 ( $\mu$ ) 的統(tǒng)計量，定義為：

$${\mu }_k=E[(x?\mu {)}^k]$$

• ( $k=1$ )：一階中心矩，( $E[x?\mu ]$ )，總是等于零（因為 ( $E[x]=\mu$ )）。
• ( $k=2$ )：二階中心矩，就是方差 ( ${\sigma }^2$ )。
• ( $k=3$ )：三階中心矩，衡量分布的偏度（skewness）。
• ($k=4$ )：四階中心矩，與峰度（kurtosis）相關(guān)。

對于正態(tài)分布，我們關(guān)心的是這些矩的特性，尤其是奇數(shù)階（( $k=1,3,5,\dots$ )）的中心矩。

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正態(tài)分布的奇數(shù)階矩為零

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為：

$$p(x|\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(?\frac{(x?\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$

它的一個顯著特點是對稱性：以均值 ( $\mu$ ) 為中心，左右兩側(cè)完全對稱。這種對稱性直觀地暗示了一個結(jié)論：奇數(shù)階中心矩為零。為什么呢？

通俗解釋

想象你在玩一個對稱的蹺蹺板，中間是均值 ( $\mu$ )。你把 ( $x?\mu$ )（偏離均值的距離）拿來計算奇數(shù)次方，比如 ( $(x?\mu {)}^3$ )。因為正態(tài)分布是對稱的，對于每一個正的 ( $x?\mu$ )（比如 +2），總有一個對應的負的 ( $?(x?\mu )$ )（比如 -2），它們的概率密度相等。奇數(shù)次方會保留正負號：

• ( $(+2{)}^3=8$ )
• ( $(?2{)}^3=?8$ )

當你把這些值按概率加權(quán)平均時，正負項正好抵消，結(jié)果為零。這種對稱性是奇數(shù)階矩為零的直觀原因。

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數(shù)學證明

現(xiàn)在，讓我們用數(shù)學來證明這個性質(zhì)。以 ( $k=3$ )（三階中心矩）為例，證明 ( $E[(x?\mu {)}^3]=0$ )，其他奇數(shù)階的證明類似。

步驟 1：定義期望

對于 ( $x～N(\mu ,{\sigma }^2)$ )，三階中心矩是：

$$E[(x?\mu {)}^3]={\int }_{?\infty }^{\infty }(x?\mu {)}^3?\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(?\frac{(x?\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)dx$$

步驟 2：變量替換

為了簡化計算，令 ( $z=\frac{x?\mu }{\sigma }$ )，則 ( $x?\mu =\sigma z$ )，( $dx=\sigma dz$ )，且 ( $z～N(0,1)$)（標準正態(tài)分布），概率密度為：

$$?(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{z^2}{2}}$$

代入后：

$$E[(x?\mu {)}^3]={\int }_{?\infty }^{\infty }(\sigma z{)}^3?\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{z^2}{2}}?\sigma dz$$

$$={\sigma }^3{\int }_{?\infty }^{\infty }{z}^3?\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{z^2}{2}}dz$$

步驟 3：分析被積函數(shù)

被積函數(shù)是 ( $f(z)=z^3?\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{z^2}{2}}$ )。我們需要判斷這個積分是否為零。關(guān)鍵在于 ( $f(z)$ ) 的性質(zhì)：

• ( $z^3$ ) 是奇函數(shù)（odd function），因為 ( $(?z{)}^3=?z^3$ )。
• ( $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{z^2}{2}}$ ) 是偶函數(shù)（even function），因為 ( $e^{?\frac{(?z{)}^2}{2}}=e^{?\frac{z^2}{2}}$ )。

奇函數(shù)乘以偶函數(shù)的結(jié)果還是奇函數(shù)：

$$f(?z)=(?z{)}^3?\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{(?z{)}^2}{2}}=?z^3?\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{z^2}{2}}=?f(z)$$

步驟 4：奇函數(shù)積分的性質(zhì)

對于任意奇函數(shù) ( $f(z)$ )，在對稱區(qū)間 ( $[?\infty ,\infty ]$ ) 上積分（假設(shè)積分收斂）：

$${\int }_{?\infty }^{\infty }f(z)dz={\int }_{?\infty }^{0}f(z)dz+{\int }_0^{\infty }f(z)dz$$

令 ( $u=?z$ )，則：

$${\int }_{?\infty }^{0}f(z)dz={\int }_{\infty }^{0}f(?u)(?du)={\int }_0^{\infty }?f(u)du=?{\int }_0^{\infty }f(u)du$$

所以：

$${\int }_{?\infty }^{\infty }f(z)dz=?{\int }_0^{\infty }f(z)dz+{\int }_0^{\infty }f(z)dz=0$$

對于 ( $f(z)=z^3?\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{z^2}{2}}$ )，由于 ( $e^{?\frac{z^2}{2}}$ ) 衰減很快，積分收斂，奇函數(shù)性質(zhì)保證：

$${\int }_{?\infty }^{\infty }{z}^3?\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{z^2}{2}}dz=0$$

因此：

$$E[(x?\mu {)}^3]={\sigma }^3?0=0$$

推廣到所有奇數(shù)階

對于任意奇數(shù) ( $k=2n+1$ )（( $n=0,1,2,\dots$ )），( $(x?\mu {)}^{2n+1}$ ) 是奇函數(shù)，乘以偶函數(shù) ( $\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{?\frac{(x?\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$ ) 后仍為奇函數(shù)，積分從 ( $?\infty$ ) 到 ( $\infty$ ) 為零。所以，所有奇數(shù)階中心矩都為零。

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補充信息

1. 為什么偶數(shù)階矩不為零？

偶數(shù)次方（如 ( $(x?\mu {)}^2$ ) 或 ( $(x?\mu {)}^4$ )）是偶函數(shù)，乘以偶函數(shù)后仍是偶函數(shù)，積分不會抵消。例如：

• ( $E[(x?\mu {)}^2]={\sigma }^2$ )（方差）
• ( $E[(x?\mu {)}^4]=3{\sigma }^4$ )（四階矩）

這些值反映了分布的寬度和形狀。

2. 偏度的含義

三階中心矩 ( $E[(x?\mu {)}^3]$ ) 與偏度相關(guān)。偏度為零意味著分布沒有左偏或右偏，正態(tài)分布的對稱性恰好保證了這一點。如果分布不對稱（例如指數(shù)分布），奇數(shù)階矩就不為零。

3. 在統(tǒng)計中的應用

奇數(shù)階矩為零在統(tǒng)計推斷中很有用。例如，在計算Fisher信息矩陣時：

$$I_{12}=E\left[\frac{x?\mu }{{\sigma }^2}?\left(?\frac{1}{2{\sigma }^2}+\frac{(x?\mu {)}^2}{2({\sigma }^2{)}^2}\right)\right]$$

因為 ( $E[x?\mu ]=0$ ) 和 ( $E[(x?\mu {)}^3]=0$ )，交叉項為零，說明 ( $\mu$ ) 和 ( ${\sigma }^2$ ) 信息正交。
具體參考參考筆者的另一篇博客：Fisher信息矩陣（Fisher Information Matrix，簡稱FIM）

4. 其他分布呢？

并非所有分布的奇數(shù)階矩都為零。例如：

• 指數(shù)分布 ( $f(x)=\lambda e^{?\lambda x}$ )（( $x\ge 0$ )），( $E[(x?\mu {)}^3]\ne 0$ )，因為它右偏。
• 對稱的均勻分布也有奇數(shù)階矩為零，但范圍有限。

正態(tài)分布的無限對稱支持和指數(shù)衰減共同造就了這個特性。

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總結(jié)

正態(tài)分布的奇數(shù)階中心矩為零源于其完美的對稱性。奇函數(shù)與偶函數(shù)相乘后，積分在對稱區(qū)間上抵消，數(shù)學上嚴謹?shù)刈C明了這一點。這個性質(zhì)不僅讓正態(tài)分布更加“優(yōu)雅”，還在統(tǒng)計估計、信息理論中簡化了計算，比如保證參數(shù)間的正交性。下次看到正態(tài)分布的鐘形曲線，不妨想想它隱藏的這些奇妙特性！

后記

2025年2月24日22點07分于上海，在Grok3大模型輔助下完成。