2022年亞太杯APMCM數(shù)學(xué)建模大賽

B題 高速列車的優(yōu)化設(shè)計

原題再現(xiàn)：

??2022年4月12日，中國高鐵復(fù)興號CR450動車組在開放線上成功實現(xiàn)單車時速435公里，相對速度870公里，創(chuàng)造了高鐵動車組列車穿越開放線和隧道速度的世界紀(jì)錄。新一代標(biāo)準(zhǔn)動車組“復(fù)興號”是中國自主研發(fā)的具有完全知識產(chǎn)權(quán)的新一代高速列車。它集成了大量國內(nèi)現(xiàn)代高科技，在牽引、制動、網(wǎng)絡(luò)、轉(zhuǎn)向架、車軸等關(guān)鍵技術(shù)上取得了重要突破。這是中國科技創(chuàng)新的又一重大成果。圖1是高速鐵路幾何結(jié)構(gòu)的簡化模型。

??中國高速鐵路的車頭結(jié)構(gòu)為子彈頭，日本高速鐵路采用鴨嘴結(jié)構(gòu)。圖2顯示了四種典型高速鐵路頭部結(jié)構(gòu)的簡化模型，包括TP1、TP2、TP3和TP4。其中，高鐵軌頭結(jié)構(gòu)的設(shè)計主要考慮空氣阻力和噪聲水平。

??高速鐵路彈頭的設(shè)計過程不僅要以空氣動力學(xué)為基本原理，還要反復(fù)進行仿真和實驗。為了實現(xiàn)車頭和車身周圍的氣流、空氣動力等相關(guān)參數(shù)之間的優(yōu)化方案，可以經(jīng)過數(shù)千次計算和實驗進行優(yōu)化。圖3顯示了流線型高速軌頭結(jié)構(gòu)的不同區(qū)域。

??請收集相關(guān)數(shù)據(jù)，建立幾個數(shù)學(xué)模型，并回答以下問題：

??問題1：請建立高速鐵路空氣阻力的數(shù)學(xué)模型，考慮一般條件和極端天氣（如雨、雪、風(fēng)）下高速鐵路幾何形狀與受力之間的關(guān)系，模擬圓錐形和四種典型高速鐵路的空氣阻力分布，如圖2所示，并選擇空氣阻力最小的最佳高速鐵路形狀。

??問題2：請分析高鐵軌頭曲線弧度對空氣阻力的影響，建立高鐵外形優(yōu)化模型，設(shè)計出最佳的高鐵外形，使高鐵受空氣阻力最小，并繪制出優(yōu)化后的高鐵形狀草圖。

??問題3：請建立高鐵產(chǎn)生噪聲的數(shù)學(xué)模型，分析錐形和四種典型高鐵產(chǎn)生的噪聲強度，如圖2所示，模擬它們各自的噪聲分布，選擇產(chǎn)生噪聲最小的最佳高鐵形狀。

??問題4：請結(jié)合前三個問題的結(jié)果，建立高鐵形狀的綜合優(yōu)化模型，設(shè)計出最佳的高鐵形狀，同時提高高鐵列車的速度，降低噪音。繪制高速鐵路的形狀草圖，并給出相應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

整體求解過程概述(摘要)

??隨著計算領(lǐng)域的快速發(fā)展，追求高速、低噪聲污染的氣動外形顯得尤為重要。本文建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來研究高速鐵路的速度域和噪聲域，并進行了仿真。

??對于問題1，基于標(biāo)準(zhǔn)𝑘 ? 𝜀 模型，分別建立了四個初步的高速列車模型，并對通用車頭進行了二維受力分析，并利用RWIND風(fēng)洞軟件對四個模型進行了仿真，定義了用于描述的Δ因子，并對每個模型的Δ因子進行了比較，得出TP1是空氣阻力最小的最佳高速列車形狀。

??對于問題2，我們將TP1分為5個部分，采用Pareto搜索方法對其進行優(yōu)化和微調(diào)，并建立了優(yōu)化的高鐵模型。針對問題3，以及許多學(xué)者對高速列車噪聲污染進行了研究，許多國家也出臺了相應(yīng)的限速規(guī)定。基于湍流的物理特性，我們對以85m/s速度行駛的高速列車進行了建模和分析，并得出結(jié)論，TP4是產(chǎn)生最小噪聲的最佳高速列車形狀。

??最后，我們結(jié)合TP1和TP4的特點，使用多目標(biāo)粒子群算法設(shè)計了一種新的列車，該列車在風(fēng)洞實驗中具有更平衡的力分布，即良好的速度上限和對環(huán)境的低噪聲，并且與Δ因子相比，新列車的Δ非常好。𝚫TP1＝0.0105，𝚫TP4＝0.0031，𝚫TPbest=0.0029。比較優(yōu)化前后的模型可以發(fā)現(xiàn)，鼻錐高度減小，鼻錐長度增加，鼻錐變得更光滑；駕駛員室的高度向下調(diào)整，流線型的前半部分變得更窄，后半部分的寬度增加。

模型假設(shè)：

??1.不同高速鐵路的材料相同。

??2.高鐵是直的。

??3.風(fēng)速相同。

??4.身體長度相同。

問題分析：

??問題1
??通過我們對流體連續(xù)性原理的分析，本質(zhì)上流體在流動中的質(zhì)量守恒，對于理想流體可以得到伯努利方程它是機械能守恒，對于實際流體可以得到泊肅耳定理它是粘性摩擦的存在，這種粘性摩擦?xí)α黧w和固體的相對運動產(chǎn)生一種阻力，據(jù)此建立空氣阻力模型來研究高速鐵路的空氣阻力。當(dāng)流體速度非?？鞎r，會產(chǎn)生湍流。在這方面𝑘 ? 𝜀 應(yīng)用該模型求解湍流動能及其耗散率方程。對于四種高速鐵路形狀，在極端天氣（如雨雪）下，我們使用受力分析方法來表示受力關(guān)系，對于不同形狀的高速鐵路，我們使用Blender軟件制作了四個高速鐵路前端模型，并對這四個模型進行了風(fēng)洞實驗，可以直觀地感受到空氣對每個部件的阻力，通過比較空氣阻力分布來選擇空氣阻力分布，我們選擇了空氣阻力最小的高速鐵路形狀。最終的TP1是空氣阻力最小的最佳高速鐵路模型。

??問題2
??在TP1的基礎(chǔ)上，基于Pareto搜索過程建立了優(yōu)化模型，設(shè)計出空氣阻力最小的最優(yōu)高鐵模型。

??問題3
??我們首先收集了相關(guān)的噪聲數(shù)據(jù)，對各國高速列車（列車）的噪聲有了一定的了解，然后得出當(dāng)車速很快時，波面加速了積聚，使空氣摩擦增加，噪聲也隨之增加。對此，建立了高速列車的外部空氣動力學(xué)噪聲模型，并通過湍流中的空氣阻力模型提取每個節(jié)點的湍流動能湍流耗散率，從而確定每個節(jié)點的聲功率。然后將Lighthill-Colle聲學(xué)類比理論與高速鐵路壓力分布進行比較，實現(xiàn)了空氣動力學(xué)噪聲仿真。TP4最終被確定為產(chǎn)生最小噪聲的高速鐵路的最佳形狀。

??問題4
??在第二個問題中Pareto搜索的基礎(chǔ)上，我們使用多目標(biāo)粒子群算法（MOPSO）結(jié)合TP1和TP4的特性來找到近似模型，并在風(fēng)洞中對該模型進行模擬以獲得相關(guān)數(shù)據(jù)。結(jié)合第三個問題中理論圓錐曲線的模擬值，優(yōu)化模型𝚫TPbest=0.0029是TP1和TP4中Δ系數(shù)最小的（越小越好），與TP1相比降低了72.38%，降低了6.45%，驗證了模型的可行性。

模型的建立與求解整體論文縮略圖

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程序代碼：

部分程序如下:

present00=importdata(’ex00_.txt’);
present01=importdata(’ex01_.txt’);
present02=importdata(’ex02_.txt’);
present03=importdata(’ex03_.txt’);
present04=importdata(’ex04_.txt’);
a00=present00(1:300,3:3);
a01=present01(1:300,3:3);
a02=present02(1:300,3:3);
a03=present03(1:300,3:3);
a04=present04(1:300,3:3);
x=present00(1:300,1:1);
deltaY1 = (a01-a00).?2;
deltaY2 = (a02-a00).?2;
deltaY3 = (a03-a00).?2;
deltaY4 = (a04-a00).?2;
k1=sum(deltaY1);
k2=sum(deltaY2);
k3=sum(deltaY3);
k4=sum(deltaY4);

\begin{tikzpicture}
\draw[->](0,0.1)arc(165:120:5 and 3);
\draw[->](0,-0.3)arc(165:120:5 and 3);
\draw[->](0,-0.5)arc(165:120:5 and 3);
\draw[->](0,-0.7)arc(165:120:5 and 3);
\draw[->](0,-0.1)arc(165:120:5 and 3) ;
\draw[->](0,0.3)arc(165:120:5 and 3);
\draw[rotate around={93:(1.8,1.42)}](1.8,1.3) ellipse(0.5 and 0.3);
\draw[rotate around={-45:(0.4,-0.2)}](0,0) ellipse(0.3 and 0.15);
\end{tikzpicture}

\begin{tikzpicture}
\draw(0,0)arc(80:20:5 and 3);
\draw(0,1)arc(80:20:5 and 3);
\draw(0,-3)--(4,-3);
\draw(0.5,-3)--(0.5,-0.1);
\draw(2.8,-0.9)--(2.8,-3);
\draw(0.6,0.41) ellipse(0.2 and 0.49);
\draw(0.4,0.45) ellipse(0.2 and 0.48);
\draw[rotate around={-45:(3.2,-0.75)}](3.2,-0.75) ellipse(0.15 and 0.38);
\draw(2.5,-0.75)arc(149:100:0.8 and 1.4);
\node[left]at(0.5,-2){$h_{1}$};
\node[left]at(2.8,-2){$h_{2}$};
\node[above]at(0.5,1){$a_{1}b_{1}$};
\draw[->](-0.5,0.45)--(0.2,0.45);
\draw[->](3.8,-1.4)--(3.3,-0.9);
\node[below]at(3.8,-1.4){$p_{2}S_{2}$};
\node[above]at(-0.2,0.45){$p_{1}S_{1}$};
\node[above]at(3.2,-0.2){$a_{2}$};
\node[above]at(3.6,-0.6){$b_{2}$};
\end{tikzpicture}

\begin{tikzpicture}
\draw(2,2) ellipse(1 and 3);
\draw(2,2)ellipse(0.8 and 2.5);
\draw(10,2) ellipse(1 and 3);
\draw(10,2) ellipse(0.8 and 2.5);
\draw(2,-1)--(10,-1);
\draw(2,5)--(10,5);
\draw(2,-0.5)--(10,-0.5);
\draw(2,4.5)--(10,4.5);
\node[above]at (2,5){$a$};
\node[above]at (10,5){$b$};
\draw(2,-1.1)--(2,-2);
\draw(10,-1.1)--(10,-2);
\draw[->](6,-1.5)--(2,-1.5);
\draw[->](6.3,-1.5)--(10,-1.5);
\node[right]at(6,-1.5){$l$};
\draw[->](7,5.2)--(5,5.2);
\draw(1.9,5)--(0.1,5);
\draw(10,4.5)--(0.9,4.5);
\draw[->](5,4.3)--(7,4.3);
\draw(0.3,2)--(1.8,2);
\draw[->](2.1,2)--(4,2);
\draw(4.2,2)--(8,2);
\draw(8.2,2)--(10,2);
\draw(10.2,2)--(12,2);
\draw[->](0.5,3.8)--(0.5,5);
\node[below]at(0.5,3.8){$r+dr$};
\draw[->](0.5,3.3)--(0.5,2);
\draw[->](1,3.3)--(1,4.5);
\node[below]at(1,3.3){$r$};
\draw[->](1,3)--(1,2);
\node[below]at(10.5,2){$p_{b}$};
\node[above]at(6,5.2){$f_{r+dr}$};
\node[below]at(6,4.3){$f_{r}$};
\node[below]at(0.5,2){$P_{a}$};
\node[above]at(4,2){$v$};
\end{tikzpicture}

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