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復(fù)合泊松過程的均值、方差與特征函數(shù)
復(fù)合泊松過程的定義
復(fù)合泊松過程 ( Y(t) ) 是一種常見的隨機(jī)過程,通常定義為:
Y ( t ) = ∑ k = 1 N ( t ) X k Y(t) = \sum_{k=1}^{N(t)} X_k Y(t)=k=1∑N(t)?Xk?
其中:
- ( N(t) ) 是一個(gè)強(qiáng)度為 ( \lambda ) 的泊松過程,表示在時(shí)間 ( t ) 內(nèi)發(fā)生的事件個(gè)數(shù);
- ( X_k ) 是一組獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,表示每次事件的獨(dú)立增量。
均值推導(dǎo)
為了推導(dǎo)復(fù)合泊松過程的均值 ( \mathbb{E}[Y(t)] ),我們首先利用泊松過程和條件期望的性質(zhì)。
泊松過程的均值:
泊松過程 ( N(t) ) 的均值為:
E [ N ( t ) ] = λ t \mathbb{E}[N(t)] = \lambda t E[N(t)]=λt
復(fù)合泊松過程的均值:
復(fù)合泊松過程的均值通過以下公式計(jì)算:
E [ Y ( t ) ] = E [ ∑ k = 1 N ( t ) X k ] \mathbb{E}[Y(t)] = \mathbb{E}\left[ \sum_{k=1}^{N(t)} X_k \right] E[Y(t)]=E ?k=1∑N(t)?Xk? ?
由于 ( X_k ) 是獨(dú)立同分布的,因此可以利用條件期望的性質(zhì):
E [ Y ( t ) ] = E [ N ( t ) ] ? E [ X k ] \mathbb{E}[Y(t)] = \mathbb{E}[N(t)] \cdot \mathbb{E}[X_k] E[Y(t)]=E[N(t)]?E[Xk?]
我們需要知道隨機(jī)變量 ( X_k ) 的均值 ( \mathbb{E}[X_k] )。假設(shè) ( X_k ) 的概率密度函數(shù) ( f(x) ) 已知,那么我們可以通過以下積分計(jì)算期望:
E [ X k ] = ∫ a b x f ( x ) d x \mathbb{E}[X_k] = \int_{a}^ x f(x) dx E[Xk?]=∫ab?xf(x)dx
在本例中,假設(shè) ( f(x) ) 為均勻分布,計(jì)算結(jié)果為:
E [ X k ] = 1500 \mathbb{E}[X_k] = 1500 E[Xk?]=1500
因此,復(fù)合泊松過程的均值為:
E [ Y ( t ) ] = 7500 t \mathbb{E}[Y(t)] = 7500t E[Y(t)]=7500t
方差推導(dǎo)
復(fù)合泊松過程的方差公式為:
Var ( Y ( t ) ) = E [ N ( t ) ] ? Var ( X k ) \text{Var}(Y(t)) = \mathbb{E}[N(t)] \cdot \text{Var}(X_k) Var(Y(t))=E[N(t)]?Var(Xk?)
我們已經(jīng)知道泊松過程的期望 ( E [ N ( t ) ] = 5 t ( \mathbb{E}[N(t)] = 5t (E[N(t)]=5t)。接下來,我們需要計(jì)算 ( X_k ) 的方差。
隨機(jī)變量 ( X_k ) 的方差:
復(fù)合泊松過程的方差為:
Var [ Y ( t ) ] = λ t E [ X 2 ] . \text{Var}[Y(t)] = \lambda t \mathbb{E}[X^2]. Var[Y(t)]=λtE[X2].
$$
具體推導(dǎo)可以看我的另一篇文章。
接下來計(jì)算 E [ X 2 ] \mathbb{E}[X^2] E[X2]
E [ X 2 ] = ∫ a b x 2 f ( x ) d x \mathbb{E}[X^2] = \int_{a}^ x^2 f(x) dx E[X2]=∫ab?x2f(x)dx
什么是特征函數(shù)?
特征函數(shù)(Characteristic Function)是描述隨機(jī)變量分布的一種工具,它可以捕捉隨機(jī)變量的全部統(tǒng)計(jì)信息。特征函數(shù)定義為:
φ X ( t ) = E [ e i t X ] \varphi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}] φX?(t)=E[eitX]
其中,( t ) 是實(shí)數(shù),( i ) 是虛數(shù)單位 ( i = ? 1 ( i = \sqrt{-1} (i=?1?),而 ( X ) 是一個(gè)隨機(jī)變量。
特征函數(shù)的重要性質(zhì)
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唯一性:特征函數(shù)唯一確定一個(gè)隨機(jī)變量的分布。如果兩個(gè)隨機(jī)變量的特征函數(shù)相同,它們的分布也是相同的。
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求和性質(zhì):若 ( X_1 ) 和 ( X_2 ) 是兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量,則它們和的特征函數(shù)為:
φ X 1 + X 2 ( t ) = φ X 1 ( t ) ? φ X 2 ( t ) \varphi_{X_1 + X_2}(t) = \varphi_{X_1}(t) \cdot \varphi_{X_2}(t) φX1?+X2??(t)=φX1??(t)?φX2??(t)
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期望與方差:特征函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以用于計(jì)算期望和方差。若特征函數(shù)在 ( t = 0 ) 處可導(dǎo),則:
- 期望: E [ X ] = i d d t φ X ( t ) ∣ t = 0 \mathbb{E}[X] = i \fracvxwlu0yf4{dt} \varphi_X(t) \Big|_{t=0} E[X]=idtd?φX?(t) ?t=0?
- 方差: Var ( X ) = ? d 2 d t 2 φ X ( t ) ∣ t = 0 \text{Var}(X) = -\frac{d^2}{dt^2} \varphi_X(t) \Big|_{t=0} Var(X)=?dt2d2?φX?(t) ?t=0?
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總是存在:無論隨機(jī)變量的分布是什么,它的特征函數(shù)總是存在,因?yàn)閷?duì)于任意 ( X ), ( e i t X ( e^{itX} (eitX) 的期望是有限的。
特征函數(shù)的例子
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正態(tài)分布的特征函數(shù):對(duì)于均值為 ( μ ( \mu (μ) ,方差為 ( σ 2 ( \sigma^2 (σ2) 的正態(tài)分布 ( X ~ N ( μ , σ 2 ) ( X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) (X~N(μ,σ2)),特征函數(shù)為:
φ X ( t ) = exp ? ( i t μ ? 1 2 σ 2 t 2 ) \varphi_X(t) = \exp\left(it\mu - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2\right) φX?(t)=exp(itμ?21?σ2t2)
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泊松分布的特征函數(shù):對(duì)于參數(shù)為 ( λ ( \lambda (λ) 的泊松分布 ( X ~ Poisson ( λ ) ( X \sim \text{Poisson}(\lambda) (X~Poisson(λ)),特征函數(shù)為:
φ X ( t ) = exp ? ( λ ( e i t ? 1 ) ) \varphi_X(t) = \exp\left(\lambda (e^{it} - 1)\right) φX?(t)=exp(λ(eit?1))
應(yīng)用
特征函數(shù)在概率論中有廣泛的應(yīng)用:
- 求解獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布:通過特征函數(shù)的乘積性質(zhì),可以很方便地計(jì)算獨(dú)立隨機(jī)變量的和的分布。
- 極限理論:在證明中心極限定理時(shí),特征函數(shù)是一個(gè)非常有用的工具。
- 簡化復(fù)雜計(jì)算:特征函數(shù)在處理隨機(jī)變量的卷積或變換時(shí),提供了簡潔的計(jì)算方式。
總結(jié)
通過復(fù)合泊松過程的均值和方差推導(dǎo),我們可以更清晰地理解這一隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。特征函數(shù)作為概率論中的重要工具,不僅能幫助我們描述隨機(jī)變量的分布,還可以通過它的性質(zhì)簡化許多復(fù)雜的概率計(jì)算。了解這些概念對(duì)于深入掌握概率論中的隨機(jī)過程非常有幫助。