基于傅立葉神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（FNN）與物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（PINN）求解泊松方程

一、引言

偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）在科學(xué)與工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。傳統(tǒng)數(shù)值方法（如有限差分法、有限元法）在求解這類問題時，盡管已經(jīng)非常成熟，但隨著問題復(fù)雜度的增加，其計(jì)算成本也顯著提高。近年來，深度學(xué)習(xí)技術(shù)的發(fā)展為偏微分方程的求解提供了新的思路。物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Physics-Informed Neural Network, PINN）通過將偏微分方程的物理規(guī)律直接融入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的損失函數(shù)中，實(shí)現(xiàn)了對偏微分方程的直接求解。

在此基礎(chǔ)上，傅立葉神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Fourier Neural Network, FNN）利用傅立葉基函數(shù)增強(qiáng)了對周期性函數(shù)的表達(dá)能力，從而能夠更高效地捕獲偏微分方程解的頻譜信息。本文結(jié)合 PINN 和 FNN 兩種方法，通過 PyTorch 框架實(shí)現(xiàn)了對泊松方程的求解，并詳細(xì)展示了實(shí)現(xiàn)過程及實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

二、傅立葉神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（FNN）的構(gòu)建

1. 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

傅立葉神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵在于引入傅立葉基函數(shù)，通過頻率參數(shù)