最近再次細(xì)細(xì)的閱讀了向量施密特正交化，重新系統(tǒng)梳理一下

一、正交基地與向量的正交分解

二、基化成標(biāo)準(zhǔn)正交基，是什么意思

將一個(gè)向量空間中的基向量通過(guò)某種方式轉(zhuǎn)化為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，是指將原有的基向量進(jìn)行調(diào)整，使得它們滿足兩個(gè)條件：

1. 彼此之間兩兩正交（即內(nèi)積為零）；
2. 歸一化（長(zhǎng)度為1）。

這樣的轉(zhuǎn)換可以用來(lái)簡(jiǎn)化向量空間中的運(yùn)算，使得向量的表示更加方便和直觀。標(biāo)準(zhǔn)正交基在線性代數(shù)和向量空間理論中非常重要

三、原始的基向量為什么要化為標(biāo)準(zhǔn)正交基

將原始的基向量轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正交基有一些重要的好處：

1. 方便計(jì)算：標(biāo)準(zhǔn)正交基的向量彼此之間兩兩正交，這意味著它們的內(nèi)積為零。這種性質(zhì)簡(jiǎn)化了向量運(yùn)算的計(jì)算過(guò)程，減少了計(jì)算量和復(fù)雜度。

2. 簡(jiǎn)化表示：由于標(biāo)準(zhǔn)正交基的向量彼此正交且長(zhǎng)度為1，使用這樣的基向量表示向量時(shí)，各個(gè)基向量的系數(shù)就可以直接表示向量的分量。這使得向量的表示更加簡(jiǎn)潔和直觀。

舉個(gè)例子，考慮一個(gè)三維空間中的向量空間。假設(shè)原始的基向量是線性相關(guān)的（不是正交的），可能是(1, 1, 0)和(2, -1, 1)。如果我們將它們轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正交基，我們可以使用Gram-Schmidt正交化過(guò)程來(lái)獲得新的標(biāo)準(zhǔn)正交基。

通過(guò)Gram-Schmidt正交化過(guò)程，我們可以得到兩個(gè)彼此正交的向量(1, 1, 0)和(-1, 4, 1)。這兩個(gè)向量可以作為新的標(biāo)準(zhǔn)正交基。利用這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基向量，我們可以將原始的基表示的向量(3, 2, -1)進(jìn)行投影和線性組合，從而得到向量在新基下的表示。

這種轉(zhuǎn)換使得向量的表示更加簡(jiǎn)單明了，計(jì)算過(guò)程也更加便捷。這是為什么將原始的基向量轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正交基的一個(gè)重要原因。

四、施密特正交化過(guò)程形象理解

五、單位正交基的轉(zhuǎn)換保持向量之間的內(nèi)積關(guān)系不變

施密特正交化是一種將一組線性獨(dú)立的向量轉(zhuǎn)化為正交的過(guò)程，同時(shí)保持原有向量所張成的子空間。這個(gè)過(guò)程不會(huì)改變?cè)蓟鶑埑傻淖涌臻g，也就是說(shuō)，通過(guò)施密特正交化得到的正交基在子空間方面與原始基是等價(jià)的。

我們可以通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。假設(shè)我們有一組線性獨(dú)立的向量 {v?, v?, v?} 作為我們的原始基。通過(guò)施密特正交化的過(guò)程，我們可以得到一個(gè)新的正交基 {u?, u?, u?}。新基中的每個(gè)向量 u? 都與前面的向量正交。

盡管新基中的向量彼此正交，但是在原始基中的向量組合仍然可以用新基的向量來(lái)表示。換句話說(shuō)，由原始基張成的子空間仍然可以用新基的向量來(lái)表示。

數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，如果一個(gè)向量 v 在原始基中可以表示為原始基向量的線性組合（v = c?v? + c?v? + c?v?），那么它也可以用新基向量來(lái)表示（v' = c?u? + c?u? + c?u?），其中 v' 和 u? 分別表示新基和向量。

因此，盡管施密特正交化過(guò)程中的個(gè)別向量與原始基不同，所得到的正交基在子空間方面仍然與原始基是等價(jià)的。

六、同一向量，在原始基和對(duì)應(yīng)施密特轉(zhuǎn)化之后的正交基中，用來(lái)表示該向量坐標(biāo)是否一致

在原始基和對(duì)應(yīng)施密特轉(zhuǎn)化之后的正交基中，用來(lái)表示同一個(gè)向量的坐標(biāo)是不一致的。原始基中的坐標(biāo)與施密特轉(zhuǎn)化后的正交基中的坐標(biāo)不具有直接的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

在施密特正交化過(guò)程中，我們通過(guò)線性組合得到了一組正交的基向量，這使得向量的表示更加簡(jiǎn)化。由于正交基的性質(zhì)，向量的坐標(biāo)會(huì)發(fā)生變化。通過(guò)施密特正交化，向量在新的正交基中的表達(dá)方式可能會(huì)發(fā)生改變，即坐標(biāo)值不同。

因此，在原始基和施密特轉(zhuǎn)化后的正交基中，用來(lái)表示同一個(gè)向量的坐標(biāo)是不一致的。這是因?yàn)槭┟芴卣换^(guò)程會(huì)改變向量的表示形式，但維持了向量的方向和長(zhǎng)度不變。