一、題目

給定一個長度為?n+1?的數(shù)組nums，數(shù)組中所有的數(shù)均在?1～n1?的范圍內(nèi)，其中?n≥1。

請找出數(shù)組中任意一個重復(fù)的數(shù)。

樣例

給定 nums = [2, 3, 5, 4, 3, 2, 6, 7]。返回 2 或 3。

二、解析

解決這個問題的一種有效方法是使用快慢指針，也稱為龜兔賽跑算法（Floyd's Cycle Detection Algorithm）。該算法的基本思想是在一個循環(huán)鏈表中，快指針和慢指針分別以不同的速度移動，如果存在環(huán)，則兩者最終會相遇。

在這個問題中，可以將數(shù)組視為一個鏈表，數(shù)組中的元素值作為下一個節(jié)點(diǎn)的索引，構(gòu)成一個鏈表。因為題目保證了數(shù)組中的元素值在 1 到 n 的范圍內(nèi)，所以數(shù)組中不存在負(fù)數(shù)，也不存在索引超出數(shù)組范圍的情況。

原理：

當(dāng)我們把數(shù)組中的元素看作鏈表中的節(jié)點(diǎn)時，題目要求找到數(shù)組中的任意一個重復(fù)數(shù)，實際上就是在鏈表中找到環(huán)的入口點(diǎn)。快慢指針?biāo)惴ǖ暮诵乃枷胧抢脙蓚€不同速度的指針，如果存在環(huán)，這兩個指針最終會相遇。

下面是算法的基本思路：

1. 初始化：使用兩個指針，一個慢指針 slow 和一個快指針 fast，初始時都指向數(shù)組的第一個元素 nums[0]。

2. 尋找相遇點(diǎn)：快指針每次前進(jìn)兩步，慢指針每次前進(jìn)一步，直到兩者相遇。相遇時，說明鏈表中存在環(huán)。

3. 重置一個指針：將其中一個指針（例如慢指針）重置到數(shù)組的第一個元素 nums[0]，而另一個指針保持在相遇點(diǎn)。

4. 尋找環(huán)的入口點(diǎn)：兩個指針再以相同速度前進(jìn)，直到它們再次相遇。相遇點(diǎn)即為環(huán)的入口點(diǎn)，也即重復(fù)的數(shù)。

這個原理的關(guān)鍵在于，當(dāng)兩個指針相遇時，說明鏈表中存在環(huán)。在尋找環(huán)的入口點(diǎn)時，將一個指針重置到鏈表頭，然后兩個指針以相同的速度前進(jìn)，它們再次相遇的點(diǎn)就是環(huán)的入口點(diǎn)。在這個問題中，環(huán)的入口點(diǎn)對應(yīng)于數(shù)組中的重復(fù)數(shù)。

這個算法的時間復(fù)雜度為 O(n)，其中 n 是數(shù)組的長度。算法的空間復(fù)雜度為 O(1)，因為只使用了常數(shù)額外的空間。

下面是用C語言實現(xiàn)的代碼：

#include <stdio.h>int findDuplicate(int* nums, int numsSize) {// 初始化快慢指針int slow = nums[0];int fast = nums[0];// 尋找相遇點(diǎn)do {slow = nums[slow];fast = nums[nums[fast]];} while (slow != fast);// 重置其中一個指針，并尋找環(huán)的入口點(diǎn)——這里可以想一想為什么：Aslow = nums[0];while (slow != fast) {slow = nums[slow];fast = nums[fast];}// 返回環(huán)的入口點(diǎn)，即重復(fù)的數(shù)return slow;
}int main() {// 示例用法int nums[] = {1, 3, 4, 2, 2};int numsSize = sizeof(nums) / sizeof(nums[0]);int duplicate = findDuplicate(nums, numsSize);printf("Duplicate: %d\n", duplicate);return 0;
}

?A：讓我們來解釋一下為什么這個過程能找到環(huán)的入口點(diǎn)：

1. 首次相遇點(diǎn)：當(dāng)快指針和慢指針首次相遇時，它們分別走過的步數(shù)之間存在關(guān)系，快指針走過的步數(shù)是慢指針的兩倍。假設(shè)兩者相遇時，慢指針走了 k 步，則快指針走了 2k 步，其中 k 是環(huán)的長度的整數(shù)倍。

2. 重置指針位置：將慢指針重置到數(shù)組的第一個元素 nums[0]，保持快指針在相遇點(diǎn)不動。

3. 再次相遇：此時，慢指針從數(shù)組頭部開始，而快指針還停留在相遇點(diǎn)。它們以相同的速度前進(jìn)，當(dāng)慢指針再次走了 k 步時，快指針走了 2k 步，即正好走完了環(huán)的若干圈，同時再次相遇。

4. 相遇點(diǎn)即為入口點(diǎn)：再次相遇的點(diǎn)就是環(huán)的入口點(diǎn)。這是因為在第一次相遇后，慢指針已經(jīng)在環(huán)內(nèi)走了若干圈，而重置后再次相遇時，慢指針還需走若干圈才能達(dá)到入口點(diǎn)，而快指針已經(jīng)在環(huán)內(nèi)等待，因此它們在入口點(diǎn)相遇。

這個過程的本質(zhì)是根據(jù)快慢指針相遇時，快指針已經(jīng)走過的步數(shù)是慢指針的兩倍的特性，找到環(huán)的入口點(diǎn)。這個算法的關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)上的推理，而實際上這種方法是基于龜兔賽跑算法的原理。