1. 積分的基本含義要從積分符號(hào)說(shuō)起，積分號(hào)含有加號(hào)的意思，${\int }_a^{b}f(x)dx$可以理解為：區(qū)間[a,b]無(wú)限細(xì)分為無(wú)窮多個(gè)dx,無(wú)窮多個(gè)f(x)乘以dx的累積和。
2. 根據(jù)上面的描述，面積可以理解為${\int }_a^b|f(x)|dx,并且dx為正向（即a<b）$。f(x)取絕對(duì)值和dx的正向是為了保證積分表達(dá)式是正值，面積沒(méi)有方向僅僅是一個(gè)標(biāo)量。那么考慮一個(gè)問(wèn)題：“積分值等于被積函數(shù)和積分元素x(or y)之間的面積”，這句話到底對(duì)不對(duì)呢？當(dāng)然不全對(duì)。也就是說(shuō)，這句話某些情況下是對(duì)的，某些情況下是錯(cuò)的。當(dāng)被積函數(shù)的值在積分區(qū)間同號(hào)時(shí)是對(duì)的，當(dāng)被積函數(shù)的值不同號(hào)時(shí)是錯(cuò)的，因?yàn)榉e分表達(dá)式f(x)dx有符號(hào)！
3. 積分對(duì)稱性的隱含條件也包含dx的正向。假設(shè) f(x) 是偶函數(shù)，根據(jù)定義有f(-x) = f(x), dx大于0，則${\int }_{?a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx=2{\int }_{?a}^{0}f(x)dx(積分表達(dá)式f(x)dx處處相等)（a>0)$；若f(x)是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義有f(-x) = - f(x)，則${\int }_0^{a}f(x)dx=?{\int }_0^{a}f(?x)dx={\int }_0^{?a}f(t)dt(將?x帶換為t)=?{\int }_{?a}^{0}f(t)dt（a>0)$，即可得到結(jié)論${\int }_{?a}^{a}f(x)dx=0$

參照下圖幫助理解：

明白了這幾者的關(guān)系，在碰到積分與面積、對(duì)稱性有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，就不會(huì)犯迷糊了。

羅祥曾經(jīng)說(shuō)過(guò)一句話，“學(xué)習(xí)過(guò)于深入細(xì)節(jié)，這樣的人，往往會(huì)失敗，連通過(guò)考試都困難”。我覺(jué)得也是這樣，學(xué)習(xí)沒(méi)必要花費(fèi)太多精力，犧牲自己絕大多數(shù)的精力和資源。創(chuàng)新講究的是發(fā)散思維，學(xué)霸都是能集中注意力、用最少的時(shí)間獲得最大收益的人。讀書或者做事情過(guò)于苛刻會(huì)導(dǎo)致思想僵化、古板、鉆牛角尖，這樣的人往往只會(huì)死讀書，讀死書。