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前言

之前寫過Lagrange插值與Newton插值法的內(nèi)容，這里介紹一些其他的插值方法，順便復習數(shù)值分析.

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一、Hermite插值

實際應用中，為了使插值函數(shù)更好地切合原函數(shù)，不僅要求節(jié)點的函數(shù)值相等，還要求導數(shù)值相同，甚至高階導數(shù)也相等，這類插值問題稱為Hermite插值

1.兩點三次Hermite插值

給定y=f(x)在節(jié)點x0,x1上的函數(shù)值和導數(shù)值：
$y_j=f(x_j),m_j=f^{\prime }(x_j),j=0,1.$
求多項式$H_3(x)$滿足插值條件
$$H_3(x_j)=y_j,H_3^{\prime }(x_j)=m_j,j=0,1.$$
類似Lagrange插值多項式，我們可以設
$$H_3(x)=y_0{\alpha }_0(x)+y_1{\alpha }_1(x)+m_0{\beta }_0(x)+m_1{\beta }_1(x)$$
為三次Hermite插值多項式，其中${\alpha }_0(x),{\alpha }_1(x),{\beta }_0(x),{\beta }_1(x)$稱為Hermite插值基函數(shù).
基函數(shù)滿足如下條件：
$$\begin{gathered} {\alpha }_j(x_j)={\delta }_{ji},{\alpha }_j^{\prime }(x_i)=0, \\ {\beta }_j(x_i)=0,{\beta }_j^{\prime }(x_i)={\delta }_{ji}, \\ i,j=0,1 \end{gathered}$$
其中${\delta }_{ji}=\{\begin{array}{ll}1& j=i\\ 0& j\ne i\end{array}$

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我們可以找到唯一的三次Hermite插值多項式（推導略），即
$$\begin{gathered} H_3(x)=y_0[1+2l_1(x)]l_0^2(x)+y_1[1+2l_0(x)]l_1^2(x) \\ +m_0(x?x_0)l_0^2(x)+m_1(x?x_1)l_1^2(x) \end{gathered}$$
這里的$l_i$為Lagrange插值基函數(shù)，$$l_0(x)=\frac{x?x_1}{x_0?x_1},l_1(x)=\frac{x?x_0}{x_1?x_0}$$

2.兩點三次Hermite插值的推廣

設$x_i\in [a,b](i=0,1,?,n)$為n+1個互異節(jié)點，給定$y=f(x)$在節(jié)點上的函數(shù)值和導數(shù)值：$y_j=f(x_j),m_j=f^{\prime }(x_j),j=0,?,n.$要求插值多項式$H_{2n+1}(x)$滿足插值條件
$$H_{2n+1}(x_j)=y_j,H_{2n+1}^{\prime }(x_j)=m_j,j=0,?,n.$$有n+1個函數(shù)值和n+1個導數(shù)值共2n+2個條件，可確定滿足插值條件次數(shù)不超過2n+1次的多項式$H_{2n+1}(x)$.

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公式：
H 2 n + 1 = ∑ j = 0 n { f ( x j ) [ 1 ? 2 ( x ? x j ) l j ′ ( x j ) ] l j 2 ( x ) + f ′ ( x j ) ( x ? x j ) l j 2 ( x ) } H_{2n+1}=\sum_{j=0}^n \{f(x_j)[1-2(x-x_j)l'_j(x_j)]l^2_j(x)+f'(x_j)(x-x_j)l^2_j(x)\} H2n+1?=j=0∑n?{f(xj?)[1?2(x?xj?)lj′?(xj?)]lj2?(x)+f′(xj?)(x?xj?)lj2?(x)}
其中$$l_j(x)=\frac{(x?x_0)?(x?x_{j?1})(x?x_{j+1})?(x?x_n)}{(x_j?x_0)?(x_j?x_{j?1})(x_j?x_{j+1})?(x_j?x_n)}$$

3.非標準型Hermite插值

給出的函數(shù)值和導數(shù)值不等的情況，例題：

二、三次樣條插值

Hermite只保證函數(shù)連續(xù)或其一階導數(shù)連續(xù)，滿足不了二階導數(shù)連續(xù)的問題. 針對這一問題，產(chǎn)生了樣條插值.

1.概念

給定區(qū)間[a,b]一個劃分：
$$a=x_0<x_1?<x_{n?1}<x_n=b$$
若函數(shù)S(x)滿足

• 在每個小區(qū)間$[x_i,x_{i+1}]$是分段三次多項式
• 具有二階連續(xù)導數(shù)，即$S(x)\in C^2[a,b]$
• 還滿足插值條件：$S(x_i)=f(x_i)=y_i,i=0,1,2,?,n$

則稱S(x)為f(x)在[a,b]上的三次樣條插值函數(shù)，
$$S(x)=?\begin{array}{ll}{s}_0(x),& x\in [x_0,x_1],\\ s_1(x),& x\in [x_1,x_2],\\ ?& \\ s_{n?1}(x),& x\in [x_{n?1},x_n],\end{array}$$
其中，$s_i(x)$為$[x_i,x_{i+1}](i=0,1,2,?,n?1)$上的三次多項式，設
$$s_i(x)=a_i{x}^3+b_i{x}^2+c_{i}x+d_i(i=0,1,?,n?1),$$
且滿足$s_i(x_i)=y_i,s_{i+1}(x_{i+1})$. 由三次樣條函數(shù)的定義可知，$S(x)$滿足下列條件：
$$?\begin{array}{ll}S(x_i?0)=S(x_i+0)& (i=1,2,?,n?1),\\ S^{\prime }(x_i?0)=S^{\prime }(x_i+0)& (i=1,2,?,n?1),\\ S^{\prime \prime }(x_i?0)=S^{\prime \prime }(x_i+0)& (i=1,2,?,n?1),\\ S(x_i)=y_i& (i=0,1,2,?,n)\end{array}$$
每個$s_i(x)$有4個待定系數(shù)，所以S(x)共有4n個待定系數(shù)，故需4n個方程才能確定. 前面已經(jīng)得到2n+2(n-1)=4n-2個方程，還缺2個方程. 實際問題通常對樣條函數(shù)在兩個端點處的狀態(tài)有要求，即所謂的邊界條件. 常用的邊界條件如下：
第一類邊界條件：給定函數(shù)在端點處的一階導數(shù)，即
$$S^{\prime }(x_0)=f_0^{\prime },S^{\prime }(x_n)=f_n^{\prime }$$
第二類邊界條件：給定函數(shù)在端點處的二階導數(shù)，即
$$S^{\prime \prime }(x_0)=f_0^{\prime \prime },S^{\prime \prime }(x_n)=f_n^{\prime \prime }$$
第三類邊界條件：設$f(x)$是周期函數(shù)，并設$x_n?x_0$是一個周期，于是要求$S(x)$滿足
$$S^{\prime }(x_0)=S^{\prime }(x_n),S^{\prime \prime }(x_0)=S^{\prime \prime }(x_n)$$

2.三彎矩方程

設$S^{\prime \prime }(x_j)=M_j,j=0,1,2,?,n$，下面計算$S(x)$在$[x_j,x_{j+1}]$的表達式$s_j(x)$.由于$s_j(x)$是三次多項式，故$s_j^{\prime \prime }(x)$為線性函數(shù)，且$s_j^{\prime \prime }(x_j)=M_j,s_j^{\prime \prime }(x_{j+1})=M_{j+1}$.由線性插值公式可得
$$s_j^{\prime \prime }(x)=\frac{x_{j+1}?x}{h_j}{M}_j+\frac{x?x_j}{h_j}{M}_{j+1}$$
其中$h_j=x_{j+1}?x_j$，求積分，可得
$$s_j(x)=\frac{(x_{j+1}?x{)}^3}{6h_j}{M}_j+\frac{(x?x_j{)}^3}{6h_j}{M}_{j+1}+c_{1}x+c_2$$
將插值條件$s_j(x_j)=y_j,s_j(x_{j+1})=y_{i+1}$代入，即課確定積分常數(shù)$c_1$和$c_2$. 整理后可得$s_j(x)$的表達式為$$\begin{gathered} s_j(x)=\frac{(x_{j+1}?x{)}^2}{6h_j}{M}_j+\frac{(x?x_j{)}^3}{6h_j}{M}_{j+1} \\ +\left(y_j?\frac{M_j{h}_j^2}{6}\right)\frac{x_{j+1}?x}{h_j}+\left(y_{i+1}?\frac{M_{j+1}{h}_j^2}{6}\right)\frac{x?x_j}{h_j},j=0,1,?,n?1 \end{gathered}$$
只需確定$M_0,M_1,?,M_n$的值，即可給出$s_j(x)$的表達式，從而可以得到$S(x)$的表達式
$$s_j^{\prime }(x)=?\frac{(x_{j+1}?x{)}^2}{2h_j}{M}_j+\frac{(x?x_j{)}^2}{2h_j}{M}_{j+1}+\frac{y_{j+1}?y_j}{h_j}?\frac{h_j}{6}(M_{j+1}?M_j)$$
根據(jù)條件$s_{j?1}^{\prime }(x_j?0)=s_j^{\prime }(x_j+0)$可知
$$\begin{gathered} \frac{h_{j?1}}{6}{M}_{j?1}+\frac{h_{j?1}+h_j}{3}{M}_j+\frac{h_j}{6}{M}_{j+1}=\frac{y_{j+1}?y_j}{h_j}?\frac{y_j?y_{j?1}}{h_{j?1}}, \\ \frac{h_{j?1}}{h_{j?1}+h_j}{M}_{j?1}+2M_j+\frac{h_j}{h_{j?1}+h_j}{M}_{j+1}=6\frac{f[x_j,x_{j+1}]?f[x_{j?1},x_j]}{h_{j?1}+h_j}, \end{gathered}$$
整理后得到關于$M_{j?1},M_j,M_{j+1}$的方程：
$${\mu }_j{M}_{j?1}+2M_j+{\lambda }_j{M}_{j+1}=d_j,$$
其中$$\begin{gathered} {\mu }_j=\frac{h_{j?1}}{h_{j?1}+h_j},{\lambda }_j=\frac{h_j}{h_{j?1}+h_j} \\ {d}_j=6f[x_{j?1},x_j,x_{j+1}],{\mu }_j+{\lambda }_j=1 \\ j=1,2,?,n?1 \end{gathered}$$
這里一共有n-1個方程，補充兩個方程后可確定$M_0,M_1,?,M_n$共n-1個未知量.

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1. 第一類邊界條件：$S^{\prime }(x_0)=f_0^{\prime },S^{\prime }(x_n)=f_n^{\prime }$
   直接代入$s_j(x)$的一階導數(shù)表達式即得
   $$\begin{gathered} 2M_0+M_1=6((y_1?y_0)/h_0?f_0^{\prime })/h_0\equiv d_0, \\ {M}_{n?1}+2M_n=6(f_n^{\prime }?(y_n?y_{n?1})/h_{n?1})/h_{n?1}\equiv d_n. \end{gathered}$$
   與上面n-1個方程組聯(lián)立可得n+1階線性方程組
   $$\left[\begin{array}{ccccccc}2& 1& & & & & \\ {\mu }_1& 2& {\lambda }_1& & & & \\ & {\mu }_2& 2& {\lambda }_2& & & \\ & & ?& ?& ?& & \\ & & & {\mu }_{n?1}& 2& {\lambda }_{n?1}& \\ & & & & 1& 2& \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{M}_0\\ M_1\\ M_2\\ ?\\ M_{n?1}\\ M_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{d}_0\\ d_1\\ d_2\\ ?\\ d_{n?1}\\ d_n\end{array}\right]$$
   此方程組的系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)，因此為非奇異矩陣，方程存在唯一解.可用追趕法求出三彎矩方程的解$M_j.$
2. 第二類邊界條件：$M_0=f_0^{\prime \prime },M_n=f_n^{\prime \prime }$
   此時只需解n-1階線性方程組
   $$\left[\begin{array}{ccccc}2& {\lambda }_1& & & \\ {\mu }_2& 2& {\lambda }_2& & \\ & ?& ?& ?& \\ & & {\mu }_{n?2}& 2& {\lambda }_{n?2}\\ & & & {\mu }_{n?1}& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{M}_1\\ M_2\\ ?\\ M_{n?1}\\ M_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{d}_1?{\mu }_1{f}_0^{\prime \prime }\\ d_2\\ ?\\ d_{n?2}\\ d_{n?1}?{\lambda }_{n?1}{f}_n^{\prime \prime }\end{array}\right]$$
   此方程嚴格對角占優(yōu)，存在唯一解.
3. 第三類邊界條件：$S^{\prime }(x_0)=S^{\prime }(x_n),S^{\prime \prime }(x_0)=S^{\prime \prime }(x_n)$
   由此邊界條件可得$$\begin{gathered} M_0=M_n, \\ {\lambda }_n{M}_1+{\mu }_n{M}_{n?1}+2M_n=d_n, \end{gathered}$$
   其中$$\begin{gathered} {\lambda }_n=h_0/(h_0+h_{n?1}),{\mu }_n=h_{n?1}/(h_0+h_{n?1}), \\ {d}_n=6[(y_1?y_0)/h_0?(y_n?y_{n?1})/h_{n?1}]/(h_0+h_{n?1}). \end{gathered}$$
   與前面n-1個方程聯(lián)立可得n階線性方程組：
   $$\left[\begin{array}{ccccc}2& {\lambda }_1& & & \\ {\mu }_2& 2& {\lambda }_2& & \\ & ?& ?& ?& \\ & & {\mu }_{n?2}& 2& {\lambda }_{n?2}\\ {\lambda }_n& & & {\mu }_2& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{M}_1\\ M_2\\ ?\\ M_{n?1}\\ M_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{d}_0\\ d_1\\ d_2\\ ?\\ d_{n?1}\\ d_n\end{array}\right]$$
   此方程組系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)，存在唯一解.

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參考書目：《數(shù)值分析》張雪瑩