---

博客主頁： [小????????] 本文專欄: C++

---

---

---

💯前言

• 青蛙跳躍問題是一道經(jīng)典的遞歸與路徑優(yōu)化題目，考察了遞歸思維、問題分解能力以及邏輯推理能力。在本篇文章中，我們將詳細分析題目的背景、題目規(guī)則、解決方案、代碼實現(xiàn)以及優(yōu)化思路。
  通過逐步拆解問題和總結(jié)規(guī)律，幫助讀者深入理解遞歸的本質(zhì)以及其在路徑問題中的應(yīng)用。本文不僅關(guān)注基本解法，還會深入探討題目的擴展性和優(yōu)化空間，力求幫助讀者掌握這種遞歸思維在實際問題中的應(yīng)用。
  C++ 參考手冊
  

---

💯題目描述

本題分為兩個部分，分別如下：

---

第一部分：基本青蛙過河問題

題目背景：

（2000年全國青少年信息學(xué)奧林匹克試題）

一條小溪尺寸不大，青蛙可以從左岸跳到右岸。在左岸有一石柱 L，面積只容得下一只青蛙落腳；同樣，右岸也有一石柱 R，面積也只容得下一只青蛙落腳。有一隊青蛙從尺寸上一個比一個小。我們將青蛙從小到大，用 1, 2, …, n 編號。

要求：

1. 初始時青蛙只能跳到左岸的石柱 L 上，按編號一個落一個，小的青蛙落在大的青蛙上面。不允許大的在小的上面。
2. 將所有青蛙從 L 移動到 R，保持大小順序不變。

分析重點：
這個問題與經(jīng)典的漢諾塔問題極其相似，可以通過遞歸來解決。我們需要借助中間的石柱或荷葉，逐步將青蛙從左岸移動到右岸。

---

第二部分：石柱和荷葉問題

新增規(guī)則：

1. 青蛙從左岸 L 跳出后，不允許再跳回左岸。
2. 青蛙跳到右岸 R 或中途的荷葉/石柱后，也不能再離開。

已知條件：

• 溪中有 ( s ) 根石柱和 ( y ) 片荷葉。

目標(biāo)：求 最多能跳過多少只青蛙。

---

💯解題思路與分析

---

第一部分：青蛙過河問題

這個問題的解決思路與 漢諾塔問題 極其相似。漢諾塔問題是一種經(jīng)典的遞歸問題，通過將盤子逐個移動來達到最終目標(biāo)。在青蛙過河問題中，我們將遞歸思想進行遷移，借助中間位置完成青蛙的轉(zhuǎn)移。

解法思路：遞歸拆解

1. 基本思路：將青蛙分為兩部分。

   • 先將 ( n-1 ) 只青蛙從 L 移動到輔助位置（荷葉/石柱）。
   • 然后將第 ( n ) 只青蛙直接從 L 移動到 R。
   • 最后將 ( n-1 ) 只青蛙從輔助位置移動到 R。

2. 遞歸關(guān)系可以總結(jié)為：
   $T(n)=2?T(n?1)+1$
   其中 ( T(n) ) 是將 ( n ) 只青蛙移動到右岸所需的最少步數(shù)。

3. 遞歸終止條件：當(dāng)只剩下一只青蛙時，直接將其移動到目標(biāo)位置。這一步與漢諾塔的最小子問題完全一致，青蛙跳到終點即可。

4. 路徑可視化：
   遞歸的核心在于分解問題?？梢酝ㄟ^樹形結(jié)構(gòu)將每一步的移動過程展示出來，使得解法更加清晰直觀。

---

第二部分：最多能跳多少只青蛙

---

思路與公式推導(dǎo)

新增了 石柱 和 荷葉 后，溪中的路徑可以看作是多次跳躍的落腳點。題目要求青蛙跳到這些落腳點后不能再移動，問題變?yōu)?#xff1a;

• 每次增加一個石柱時，路徑數(shù)量會 翻倍。
• 荷葉提供了額外的停留點。

關(guān)鍵分析：

1. 當(dāng) ( s = 0 )（無石柱）時，最多能跳過的青蛙數(shù)量為：
   $k=y+1$
   其中 ( y ) 是荷葉數(shù)量，右岸 ( R ) 也算一個位置。
2. 當(dāng) ( s > 0 )（有石柱）時，每增加一根石柱，路徑會 翻倍，滿足以下遞歸關(guān)系：
   $k=2?extJump(s?1,y)$
3. 最終遞歸公式可以總結(jié)為：
   $k=2^s?(y+1)$
   其中：
   • ( s ) 是石柱數(shù)。
   • ( y ) 是荷葉數(shù)。
   • ( 2^s ) 表示路徑翻倍的次數(shù)。

---

💯代碼實現(xiàn)

---

遞歸函數(shù)實現(xiàn)

#include <iostream>
using namespace std;// 遞歸函數(shù)：計算最多能跳過多少只青蛙
int Jump(int s, int y) {int k = 0; // 結(jié)果變量if (s == 0) // 遞歸終止條件k = y + 1; // 沒有石柱，直接加上荷葉數(shù)和右岸elsek = 2 * Jump(s - 1, y); // 每增加一根石柱，路徑翻倍return k; // 返回結(jié)果
}int main() {int s, y; // 定義變量cout << "請輸入溪中的石柱數(shù) s 和荷葉數(shù) y：" << endl;cin >> s >> y; // 輸入石柱數(shù)和荷葉數(shù)int result = Jump(s, y); // 調(diào)用函數(shù)cout << "最多能跳過的青蛙數(shù)為：" << result << endl; // 輸出結(jié)果return 0;
}

---

示例輸出

假設(shè)輸入：

請輸入溪中的石柱數(shù) s 和荷葉數(shù) y：
3 2

程序輸出：

最多能跳過的青蛙數(shù)為：24

驗證：
根據(jù)公式 ( k = 2^s \cdot (y + 1) )：

• ( s = 3 )，( y = 2 )：
  $k=2^3?(2+1)=8?3=24$

---

💯遞歸的理解與優(yōu)化

遞歸是一種通過將大問題分解為小問題逐步解決的方法。在本題中：

• 終止條件：當(dāng) ( s = 0 ) 時，直接求解。
• 遞歸關(guān)系：路徑翻倍，通過 ( k = 2 \cdot Jump(s-1, y) ) 實現(xiàn)。

---

優(yōu)化思路

如果問題規(guī)模較大（例如 ( s ) 很大），遞歸會占用較多?？臻g?？梢允褂?迭代法 替代遞歸，將結(jié)果逐步累積：

int JumpIterative(int s, int y) {int k = y + 1; // 初始值，當(dāng) s = 0 時for (int i = 0; i < s; ++i) {k *= 2; // 每增加一根石柱，路徑翻倍}return k;
}

---

💯小結(jié)

• 
  通過本題，我們深入理解了遞歸的本質(zhì)和路徑問題的解法：

1. 青蛙過河問題 與 漢諾塔問題 類似，通過遞歸分解問題逐步求解。
2. 在 石柱和荷葉問題 中，路徑數(shù)量隨著石柱數(shù) ( s ) 指數(shù)級增長，滿足公式：
   $k=2^s?(y+1)$
3. 提供了遞歸和迭代兩種解法，遞歸結(jié)構(gòu)清晰，迭代更高效。
4. 通過圖示和示例輸出，直觀展示了問題的解決過程。

掌握這類問題的解法，有助于培養(yǎng)遞歸思維和問題分解能力，為解決更復(fù)雜的算法問題打下堅實的基礎(chǔ)。這類問題也為動態(tài)規(guī)劃和搜索算法提供了重要的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。

---

---