集合

定義

集合難以嚴(yán)格定義

直觀描述：若干個(gè)（有限或無(wú)限）具有某種共同性質(zhì)的事物的全體

稱：組成集合的單個(gè)事物為該集合元素或成員

通常用大寫英文字母 $A,B,C,?$ 表示集合
用小寫英文字母 $a,b,c,?$ 表示元素

例如：全中國(guó)人的集合，它的元素是每一個(gè)中國(guó)人，共同性質(zhì)是中國(guó)人

元素與集合的關(guān)系

屬于

若元素 $a$ 在集合 $A$ 中，則稱 $a$ 屬于 $A$，記作 $a\in A$

不屬于

若元素 $a$ 不在集合 $A$ 中，則稱 $a$ 不屬于 $A$，記作 $a\notin A$

類型

有限集合

包含有限個(gè)元素（包含0個(gè)）的集合稱為有限集合

無(wú)限集合

參考無(wú)限集合的定義

表示方法

列舉法

將集合中的元素在一對(duì)大括號(hào) “ { } \{\} {}” 中一一列舉出來(lái)
如： { 1 , 2 , 3 } \{1,2,3\} {1,2,3}

當(dāng)集合的元素較多且具有一定規(guī)律時(shí)，可簡(jiǎn)寫為
先列一些元素，用省略號(hào)表示其他元素，寫出規(guī)律項(xiàng)，省略號(hào)，若是有限集還需列出末尾元素
如：

1. 正偶數(shù)集 { 2 , 4 , ? , 2 n , ? } \{2,4,\cdots,2n,\cdots\} {2,4,?,2n,?}
2. 小于 $100$ 的正偶數(shù)集 { 2 , 4 , ? , 2 n , ? , 100 } \{2,4,\cdots,2n,\cdots,100\} {2,4,?,2n,?,100}

適用情況：

1. 集合元素較少
2. 有規(guī)律的無(wú)限集和元素較多的有限集

描述法

描述出集合中元素的共同性質(zhì)，描述法的形式為：
{ 代表元素 ∣ 滿足的性質(zhì) } \{代表元素|滿足的性質(zhì)\} {代表元素∣滿足的性質(zhì)}
如：中國(guó)省份集合 A = { x ∣ x 是中國(guó)的省份 } A=\{x|x是中國(guó)的省份\} A={x∣x是中國(guó)的省份}

歸納定義法

一個(gè)集合 $S$ 的歸納定義由三部分組成：

1. 基礎(chǔ)條款：給定集合 $S$ 初始元素，使得 $S$ 為非空集合
2. 歸納條款：給定由集合 $S$ 中已有的元素構(gòu)造出新元素的方法
3. 極小性條款：集合 $S$ 中的元素必須能通過(guò)有限次應(yīng)用基礎(chǔ)條款和歸納條款構(gòu)成，否則其不屬于 $S$

   這個(gè)條款還可寫成：
   集合 $S$ 是滿足基礎(chǔ)條款和歸納條款的最小集合或
   若 $T?S$，$T$ 又滿足基礎(chǔ)條款和歸納條款，那么 $T=S$

下面是用歸納定義發(fā)給出能被 $3$ 整除的正整數(shù)集合 $S$：

1. 基礎(chǔ)：$3\in S$
2. 歸納：若 $x,y\in S$，則 $x+y\in S$
3. 極小性：當(dāng)且僅當(dāng)有限次使用條款1和條款2得到的元素才屬于集合 $S$

集合中元素的特點(diǎn)

無(wú)序性

集合中的元素是無(wú)序的

如：集合 { 1 , 2 , 3 } \{1,2,3\} {1,2,3} 等于集合 { 3 , 2 , 1 } \{3,2,1\} {3,2,1}

互異性

集合中不能有兩個(gè)相同的元素

如：不會(huì)有集合 { 1 , 2 , 2 } \{1,2,2\} {1,2,2}

確定性

任意元素要么屬于某個(gè)集合，要么不屬于該集合

集合與集合的關(guān)系

子集（包含）

若集合 $A$ 的每個(gè)元素都是集合 $B$ 的元素，則稱 $A$ 為 $B$ 的子集或 $A$ 包含 $B$，又稱 $B$ 包含于 $A$，記作 $A?B$ 或 $B?A$
若 $A$ 不是 $B$ 的子集，則記作 $A?B$

用謂詞公式表示為：$A?B??x(x\in A\to x\in B)$

子集具有傳遞性，即
若 $A?B$ 且 $B?C$，則 $A?C$

子集具有自反性，即 $A?A$

真子集

若集合 $A$ 的每個(gè)元素都是集合 $B$ 的元素，但 $B$ 至少有一個(gè)元素不屬于 $A$，則稱 $A$ 是 $B$ 的真子集，記作 $A?B$ 或 $B?A$
若 $A$ 不是 $B$ 的真子集，則記作 $A/?B$

用謂詞公式表示為：
$$\begin{array}{rl}A?B& ??x(x\in A\to x\in B)\wedge ?y(y\in B\wedge y\notin A)\\ & ?(A?B)\wedge (A\ne B)\end{array}$$

相等

$A=B$ 當(dāng)且僅當(dāng) $A$ 和 $B$ 具有相同的元素
不相等記作 $A\ne B$

用謂詞公式表示為：
$$\begin{array}{rl}A=B& ??x(x\in A?x\in B)\\ & ?(A?B)\wedge (B?A)\end{array}$$

屬性

大小（基數(shù)或勢(shì)）

對(duì)于一個(gè)有限集合 $A$，其大小為集合所含元素的個(gè)數(shù)，記作 $|A|$
如：集合 A = { 1 , 2 , 3 } A=\{1,2,3\} A={1,2,3} 的大小 $|A|=3$

對(duì)于無(wú)限集合的大小，請(qǐng)參考無(wú)限集合的大小

冪集

以集合 $A$ 的所有子集為元素的集合稱作 $A$ 的冪集，記作 $\rho (A)$

如集合 A = { 1 , 2 , 3 } A=\{1,2,3\} A={1,2,3} 的冪集：
ρ ( A ) = { ? , { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 2 , 3 } , { 1 , 2 , 3 } } \rho(A)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\} ρ(A)={?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

若集合 $A$ 大小 $|A|=n$，則其冪集大小：
$$\begin{array}{rl}|\rho (A)|& =C_n^0+C_n^1+C_n^2+?+C_n^n\\ & =2^n\end{array}$$

由冪集可知：集合的元素可以是集合
如：可以有集合 A = { 1 , { 2 , 3 } } A=\{1,\{2,3\}\} A={1,{2,3}}，此時(shí) { 2 , 3 } ∈ A \{2,3\}\in A {2,3}∈A 但 $2\notin A$

幾個(gè)特殊的集合

空集

不含任何元素的集合稱為空集，記作 $?$

空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集

需要注意的是：空集是唯一的

全集

一定范圍內(nèi)所有事物組成的集合稱為該范圍內(nèi)的全集，記為 $U$

基本運(yùn)算

交

集合 $A$ 與 $B$ 的交集就是同時(shí)屬于 $A$ 和 $B$ 的元素所構(gòu)成的集合，記作 $A\cap B$

用謂詞公式表示為：
A ∩ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∈ B } A\cap B=\{x|x\in A\land x\in B\} A∩B={x∣x∈A∧x∈B}

用文氏圖表示為：

并

集合 $A$ 與 $B$ 的并集就是屬于 $A$ 或 $B$ 其中之一的元素所構(gòu)成的集合，記作 $A\cup B$

用謂詞公式表示為：
A ∪ B = { x ∣ x ∈ A ∨ x ∈ B } A\cup B=\{x|x\in A\lor x\in B\} A∪B={x∣x∈A∨x∈B}

用文氏圖表示為：

補(bǔ)

集合 $A$ 的就是屬于全集 $U$ 但不屬于 $A$ 的元素所構(gòu)成的集合，記作 $\overline{A}$

用謂詞公式表示為：
A ￣ = { x ∣ x ∈ A ∧ x ? U } \begin{aligned} \overline A &=\{x|x\in A\land x\notin U\}\\ \end{aligned} A?={x∣x∈A∧x∈/U}?

用文氏圖表示為：

差（相對(duì)補(bǔ)）

集合 $A$ 與 $B$ 的差集就是屬于 $A$ 但不屬于 $B$ 的元素所構(gòu)成的集合，記作 $A?B$

用謂詞公式表示為：
A ? B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ? B } = A ∩ B ￣ \begin{aligned} A-B&=\{x|x\in A\land x\notin B\}\\ &=A\cap \overline B \end{aligned} A?B?={x∣x∈A∧x∈/B}=A∩B?

用文氏圖表示為：

對(duì)稱差

集合 $A$ 與 $B$ 的對(duì)稱差集就是屬于 $A$ 但不屬于 $B$ 及屬于 $B$ 但不屬于 $A$ 的元素所構(gòu)成的集合，記作 $A\oplus B$

用謂詞公式表示為：
A ⊕ B = { x ∣ ( x ∈ A ∧ x ? B ) ∨ ( x ∈ B ∧ x ? A ) } = ( A ∪ B ) ? ( A ∩ B ) = ( A ? B ) ∪ ( B ? A ) \begin{aligned} A\oplus B&=\{x|(x\in A\land x\notin B)\lor(x\in B\land x\notin A)\}\\ &=(A\cup B)-(A\cap B)\\ &=(A-B)\cup (B-A) \end{aligned} A⊕B?={x∣(x∈A∧x∈/B)∨(x∈B∧x∈/A)}=(A∪B)?(A∩B)=(A?B)∪(B?A)?

用文氏圖表示為：

環(huán)積

集合 $A$ 與 $B$ 的環(huán)積集就是屬于 $A$ 且屬于 $B$ 或不屬于 $A$ 且不屬于 $B$ 的元素所構(gòu)成的集合，記作 $A?B$

用謂詞公式表示為：
A ? B = { x ∣ ( x ∈ A ∧ x ∈ B ) ∨ ( x ? A ∧ x ? B ) } = A ⊕ B ￣ = ( A ∩ B ) ∪ ( A ￣ ∩ B ￣ ) \begin{aligned} A\otimes B&=\{x|(x\in A\land x\in B)\lor (x\notin A\land x\notin B)\}\\ &=\overline{A\oplus B}\\ &=(A\cap B)\cup(\overline A\cap \overline B) \end{aligned} A?B?={x∣(x∈A∧x∈B)∨(x∈/A∧x∈/B)}=A⊕B?=(A∩B)∪(A∩B)?

用文氏圖表示為：

交并補(bǔ)的運(yùn)算定律

交、并、補(bǔ)運(yùn)算是集合最基本的三種運(yùn)算，其他運(yùn)算都可用交、并、補(bǔ)的組合表示

基本定律

定律	描述
交換律	$A\cap B=B\cap A$ $A\cup B=B\cup A$
結(jié)合律	$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$ $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$
分配律	$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cap C)$
吸收律	$A\cap (A\cup B)=A$ $A\cup (A\cap B)=A$
對(duì)合律	$\overline{\overline{A}}=A$
等冪律	$A\cap A=A$ $A\cup A=A$
零一律	$A\cap ?=?$ $A\cup U=U$
同一律	$A\cap U=A$ $A\cup ?=A$
矛盾律	$A\cap \overline{A}=?$
排中律	$A\cup \overline{A}=U$
德·摩根律	$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$ $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$
以上定理用真值表即可很容易地證明

容斥原理

參考容斥原理

參考

[1] 離散數(shù)學(xué)西安電子科技大學(xué)出版社第二版
[2] CSDN 博客離散數(shù)學(xué) 集合論
[3] 集合的百度百科